Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования «Российский университет транспорта (МИИТ)»
Российская открытая академия транспорта

СОГЛАСОВАНО:

Выпускающей кафедрой
«Железнодорожная автоматика,
телемеханика и связь»

Зав. кафедрой ________ А.В. Горелик

(подпись, Ф.И.О.)

« » 20 г.

УТВЕРЖДАЮ:

Проректор - директор Российской
открытой академии транспорта

________________ В.И. Апатцев

(подпись, Ф.И.О.)

« » 20 г.

Кафедра: «Железнодорожная автоматика, телемеханика и связь»
Автор: Сёмочкин Е.В., к.т.н.

Дорохов В.С.

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ С МЕТОДИЧЕСКИМИ

УКАЗАНИЯМИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

«ИНФОРМАТИКА»

Направление/специальность: 23.05.05 Системы обеспечения движения

поездов

Профиль/специализация:

«Автоматика и телемеханика на железнодорожном транспорте» (СА)

«Телекоммуникационные системы и сети железнодорожного транспорта» (СТ)

«Электроснабжение железных дорог» (СЭ)

Квалификация (степень) выпускника: инженер путей сообщения

Форма обучения: заочная

Москва 2017 г.

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ

Провести статистический и регрессионный анализ экспериментальных
данных.

На основании результатов измерения уровня помехи (таблица 1) требуется
провести статистический анализ выборки случайной величины:

• Провести оценку характеристик выборки случайных величин:

o среднее арифметическое выборки,
o дисперсия и среднее квадратическое отклонение выборки.
• Провести оценку частоты выборочного значения.
• Выдвинуть гипотезу о виде распределения выборки случайной величины.
• Провести проверку гипотезы о виде распределения выборки случайной
величины.

Таблица 1. Результаты измерения уровня помехи

№ п/п	Уровень помехи, В (номер столбца выбирается по предпоследней цифре номера шифра)
№ п/п	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1,361	-0,957	0,015	8,146	1,479	1,533	1,325	0,803	1,943	0,225
2	2,545	1,934	1,844	0,084	1,831	2,848	2,316	0,135	0,136	0,516
3	0,474	2,163	0,141	16,598	2,203	6,516	2,253	0,619	1,046	0,350
4	1,829	-2,656	0,072	0,991	2,955	0,450	1,645	1,387	1,559	1,351
5	1,100	-0,414	0,244	2,238	0,951	1,680	1,589	0,441	2,172	0,477
6	0,306	0,053	0,348	5,851	1,625	0,931	2,090	0,047	1,402	0,618
7	1,779	2,813	0,917	2,546	0,429	0,378	0,471	1,930	4,800	2,805
8	1,433	3,201	0,347	0,491	-0,837	2,348	2,136	0,153	1,504	1,272
9	0,495	0,217	0,126	3,954	2,861	1,827	1,463	0,300	4,956	3,921
10	-0,347	1,016	0,313	0,600	1,091	1,360	0,968	0,215	0,208	-1,187
11	0,432	1,294	0,030	0,746	-0,123	1,254	2,439	2,136	0,584	1,111
12	0,138	1,786	2,123	2,301	0,027	1,092	0,950	0,059	0,493	1,589
13	0,885	1,454	1,131	1,720	1,705	1,318	1,045	1,595	0,926	3,278
14	0,393	0,750	0,120	3,037	1,964	2,551	3,323	1,621	0,465	1,868
15	0,725	1,104	0,091	0,305	0,677	0,424	2,104	0,274	0,376	-1,404
16	1,957	0,132	0,410	0,553	2,976	1,473	2,733	0,047	0,741	-0,922
17	1,844	1,992	2,763	2,163	2,036	2,757	2,165	0,456	1,205	4,354
18	0,934	0,144	0,552	1,400	2,667	1,272	2,512	0,861	2,048	2,026
19	-0,239	0,700	0,608	0,108	1,935	6,867	1,652	0,930	3,248	0,996
20	1,740	1,596	1,721	1,696	0,359	2,984	2,915	0,265	1,385	-0,184

21	-0,965	0,703	2,633	8,002	2,394	0,002	0,276	0,368	3,326	-0,424
22	1,005	1,590	0,204	2,095	0,447	0,269	2,158	0,696	0,870	-1,283
23	0,109	0,188	0,801	3,240	1,475	1,003	1,788	2,482	0,298	-0,475
24	0,563	1,424	0,066	1,380	1,208	0,621	2,355	1,702	0,528	2,562
25	0,714	1,098	0,932	0,166	0,632	0,867	2,651	0,476	1,082	2,324
26	1,005	1,531	2,146	2,311	-0,022	0,627	1,846	0,021	0,193	2,064
27	1,464	4,357	1,001	1,100	1,813	0,236	2,681	0,019	1,384	-0,486
28	2,107	1,384	2,616	0,629	2,079	1,386	0,872	2,888	3,503	0,421
29	0,714	0,749	0,443	2,742	1,306	0,226	3,346	0,881	0,835	3,250
30	0,710	3,157	0,560	5,393	2,331	3,362	2,918	0,922	0,681	1,033
31	0,328	3,726	2,747	2,643	1,453	1,793	2,043	1,196	0,106	0,536
32	0,779	-0,847	1,330	2,632	1,167	0,150	2,063	2,949	1,919	0,361
33	0,955	3,561	0,728	0,257	-0,293	1,356	1,069	0,517	0,117	1,556
34	1,082	-0,365	1,311	2,038	0,643	7,007	1,249	1,096	0,632	1,695
35	0,419	-0,740	0,502	0,790	2,473	1,009	1,916	0,081	0,575	0,889
36	0,973	0,675	0,701	2,479	1,345	0,346	1,776	3,664	0,271	1,116
37	0,915	1,215	0,256	4,639	1,247	0,402	2,642	0,453	0,692	1,591
38	0,285	2,527	0,707	5,212	2,509	2,245	0,842	2,267	0,489	-0,081
39	1,124	1,168	0,003	2,155	1,708	2,317	2,409	0,512	2,526	0,812
40	0,986	-1,020	0,723	0,645	1,530	0,471	1,839	3,882	4,148	-1,048

На основании результатов измерения зависимости напряжения сигнального
тока от силы тока (таблица 2) требуется провести регрессионный анализ:

• Провести оценку параметров линейной парной регрессии.
• Провести оценку параметров нелинейно парной регрессии.
• Сделать прогноз значения напряжения сигнального тока при силе тока
равной 5А.

Таблица 2. Результаты измерения зависимости напряжения сигнального тока от

силы тока.

I, А	U, В (номер столбца выбирается по последней цифре номера шифра)
I, А	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,800	11,367	15,393	25,725	1,527	5,817	48,135	0,533	6,546	0,201	23,189
1,000	10,868	15,475	25,975	5,005	7,878	47,335	1,375	7,212	1,975	22,645
1,400	8,991	14,589	25,617	10,685	10,312	44,363	2,009	7,546	4,881	20,507
1,500	8,680	14,494	25,694	12,184	11,086	43,679	2,294	7,767	5,819	20,099
1,800	7,718	14,105	25,917	16,465	13,198	41,363	3,045	8,359	8,733	18,771
1,900	7,988	14,544	26,592	18,423	14,735	41,106	3,864	9,136	10,341	18,897
2,100	7,562	14,425	26,993	21,287	16,288	39,516	4,505	9,709	12,662	18,152
2,200	6,520	13,521	26,373	21,846	15,784	37,836	3,981	9,160	13,029	16,935
2,300	6,363	13,493	26,645	23,261	16,584	37,004	4,333	9,492	14,306	16,594
2,500	6,729	14,091	27,891	26,691	19,137	35,916	5,691	10,829	17,616	16,566
2,800	5,591	13,237	28,129	29,944	20,269	32,332	5,977	11,133	21,085	14,773
2,900	5,526	13,252	28,540	31,289	21,076	31,382	6,372	11,547	22,609	14,475
3,000	5,134	12,933	28,633	32,283	21,374	30,073	6,433	11,634	23,833	13,843
3,300	4,071	12,046	29,078	35,220	22,316	26,053	6,686	12,011	27,779	12,017
3,400	4,823	12,843	30,351	37,255	24,251	25,753	7,863	13,245	30,255	12,501
3,500	4,337	12,397	30,397	38,027	24,311	24,182	7,797	13,243	31,522	11,742
3,600	3,477	11,571	30,079	38,400	23,791	22,204	7,351	12,870	32,443	10,603

3,700	3,848	11,970	31,002	39,981	25,101	21,426	8,130	13,730	34,623	10,689
3,900	3,500	11,663	31,791	41,979	26,033	18,682	8,583	14,372	37,980	9,756
4,000	3,520	11,697	32,397	43,137	26,765	17,457	8,997	14,893	39,897	9,477
4,100	3,867	12,051	33,339	44,597	27,969	16,526	9,731	15,744	42,168	9,518
4,200	3,306	11,494	33,386	45,126	27,797	14,656	9,554	15,694	43,562	8,648
4,400	3,221	11,402	34,550	47,152	28,958	11,860	10,222	16,645	47,474	7,930
4,600	2,990	11,148	35,616	48,940	29,838	8,794	10,728	17,475	51,360	7,050
4,700	3,039	11,179	36,331	49,964	30,501	7,379	11,139	18,064	53,512	6,768

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1 Статистический анализ случайной величины с использованием табличного
процессора
- 1.1 Оценка характеристик случайных величин

В качестве основных характеристик случайных величин рассматриваются:

o среднее арифметическое выборки;
o дисперсия и среднее квадратическое отклонение выборки;
o доверительный интервал математического ожидания.

Пусть имеется выборка случайной величины X: X₁, X₂, … , X_n , где n – объем
выборки.

Средним арифметическим выборки называется частное от деления суммы
всех значений выборки на объем этой выборки:

X X.

X = -=1---.

Средним линейным отклонением называется среднее из абсолютных (по
модулю) отклонений значений выборки от их среднего арифметического:

XIX - X

d = -=1---------.

Дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений
значений от их среднего арифметического:

X (X. - X )2

D = -=1----------.

Средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из
дисперсии:

.=1

Для вычисления приведенных показателей в табличном процессоре
(например, MS Excel) необходимо использовать функции:

=СРЗНАЧ(число1; число2; ...),

=СРОТКЛ(число1; число2; ...),

=ДИСПР(число1; число2; ...),

=СТАНДОТКЛОНП(число 1; число2; .).

1.2 Определение закона распределения случайной величины

Закон распределения случайной величины - это соотношение,
устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и
соответствующими им вероятностями.

Закон распределения случайной величины характеризуется функцией и
плотностью распределения.

Функция распределения - функция F(x), равная для каждого значения x
вероятности того, что случайная величина X примет значение меньше x:

F (x ) = P (X < x).

Плотность распределения - это функция f(x), равная производной от
функции распределения:

f (x ) = F' (x).

Среди основных законов распределения случайной величины можно

выделить следующие.

Равномерный закон распределения.

Пусть x - это случайное число, распределенное по равномерному закону в
интервале (a, b). Тогда функция равномерного закона распределения имеет вид:

'0	,при x< a
F (x )JxZa b - a ⁰	, при a < x < b ,при x> b

Плотность равномерного закона распределения (рис. 1):

^{f (x} ) =

b — a
[0

, при a < x < b

, при x < a или x > b

Рисунок 1. График плотности распределения вероятностей равномерной
случайной величины

Нормальный закон распределения.

Функция нормального закона распределения имеет вид:

I x (t - x )²

F(x) = [ e ²°² dt.

V 2na 1

Плотность нормального закона распределения (рис. 2):

f⁽x) =

V2n^

( x - x )²

Рисунок 2. График плотности распределения вероятностей нормальной случайной

величины

Экспоненциальный (показательный) закон распределения.

Функция экспоненциального закона распределения имеет вид:

F (x ) =

'1 - Л- e^-

,при x> 0

,при x< 0

где Л - параметр экспоненциального распределения.

Плотность экспоненциального закона распределения (рис. 3):

- Л-x

f (x) =

Л-e

1°

,при x> °
,при x<°

Рисунок 3. График плотности распределения вероятностей экспоненциальной

случайной величины

Чтобы сделать предположение о том, к какому закону распределения
относится выборка случайной величины, можно использовать график частоты
выборочного значения, который при достаточном объеме выборки по характеру
совпадает графиком плотности распределения вероятности случайной величины.
Построение графика или гистограммы частоты выборочного значения
производится с помощью функции табличного процессора MS Excel
«Гистограмма». Вызов данной функции выполняется во вкладке панели быстрого
доступа «Данные», в разделе «Анализ», далее кнопка «Анализ данных». В
появившемся окне необходимо выбрать пункт «Гистограмма». В графе «Входной
интервал» требуется указать диапазон округлённых значений оцениваемых
случайных величин. Для получения значений округлённых значений случайных
величин необходимо воспользоваться функцией =ОКРУГЛ (число; число
разрядов). В графе «Интервал карманов» указывается диапазон содержащий
перечень различных округлённых значений оцениваемых случайных величин.
«Выходной интервал» – интервал ячеек предназначенных для вывода результата
функции «Гистограмма». Так же необходимо поставить галочку в пункте «Вывод
графика».

Проверка гипотезы о виде распределения выборки случайной величины
производится по критерию Пирсона. Сначала формулируются нулевая (Н0) и
альтернативная (Н1) гипотезы. Гипотеза Н0 – это гипотеза о том, что выборка
случайной величины подчиняется предполагаемому закону распределения.
Гипотеза Н1 – это гипотеза о том, что выборка случайной величины не

подчиняется предполагаемому закону распределения.

Используя уровень значимости равный 0,05, критическое значение χ²статистики (критерий Пирсона) определяется по формуле:

X² = S

(f 0 - f в )2 .

;

где f0 – наблюдаемая частота,

f_в – теоретическая, или ожидаемая частота.

Решающее правило формулируется следующим образом: гипотеза Н0
отклоняется, если %² > %2_KP, в противном случае гипотеза Н0 не отклоняется.

X2_КР — это табличное значение критерия, которое берётся в соответствии с
заданными значениями уровня значимости, количества степеней свободы и
количества оцениваемых параметров.

Чтобы провести проверку гипотезы о виде распределения выборки
случайной величины по критерию Пирсона с использованием табличного
процессора MS Excel выполняется следующая последовательность действий.

Сначала производится вычисление n_i (частоты выборочных значений x_i).
Это возможно сделать воспользовавшись функцией =СЧЁТЕСЛИ(диапазон
проверяемых значений; критерий по которому производится проверка).

Затем требуется вычислить значение теоретической вероятности p_i.
Проверка гипотез о равномерном, нормальном или экспоненциальном
распределении отличается формулой вычисления p_i.

Для проверки гипотезы о равномерном распределении значение
теоретической вероятности pi вычисляется по формуле: p_t = a - b. Параметры
равномерного распределения a и b являются решением системы уравнений:

X=^a-+b
2
b - a ’

° = ITT

Для проверки гипотезы о нормальном распределении используется функция
=НОРМРАСП(xi; X ; о; 1).

Для проверки гипотезы об экспоненциальном распределении используется
функция =ЭКСПРАСП(х_г; Л; 1),

где Л - параметр экспоненциальной функции, вычисляется по формуле:

^Л=Dd ■

Вычисляется теоретическая частота выборочного значения xi по формуле:

П = n • P,,

где n - количество наблюдений, объём выборки.

Затем вычисляется наблюдаемое значение случайной величины:

X² =Z
=i

(п ^- n)
п

Для упрощения написания формулы в табличном процессоре процесс
вычисления формулы для вычисления наблюдаемого значение случайной
величины возможно разделить на два действия: деление и сумма результатов
деления.

Критическое значение случайной величины х2 возможно определить с
помощью функции

х² кр =ХИ2ОБР( а, r)

где a - уровень значимости, требуемая вероятность, которая принимается равной
значению 0,05;

r - количество степеней свободы.

Расчет количества степеней свободы производится по формуле:

r = k - p -1,

где k - количество категорий (количество различных округлённых значений),

р - количество оцениваемых параметров закона распределения.

Если проводиться проверка гипотезы о нормальном распределении
случайной величины, то количество оцениваемых параметров (p) равно 2
(средние арифметическое и среднее квадратическое отклонение выборки). Если
проводиться проверка гипотезы о равномерном распределении случайной
величины, то p также равно 2 (параметры a и b). При проверке гипотезы об
экспоненциальном распределении случайной величины p = 1 (параметр λ).

Сравнив χ²кр и χ² можно сделать вывод о значимости гипотезы: если χ²кр > χ²,
то гипотеза принимается с уровнем значимости a, в противном случае гипотеза
отвергается.

2 Регрессионный анализ парных случайных величин с использованием
табличного процессора

Зачастую, регрессия подаётся в виде простого уравнения, которое

раскрывает зависимость и силу связи между двумя группами числовых
переменных, одна из которых называется зависимой (эндогенной), а вторая -
независимой (экзогенной или фактором). Если есть группа взаимосвязанных
показателей, то зависимая переменная выбирается логическими размышлениями,
а остальные выступают независимыми. То есть, если у нас есть расстояние между
городами и затраты на путешествие, то вполне ясно, что затраты будут зависеть
от расстояния. Уравнения бывают двух видов: линейные и нелинейные (это уже
чистая математика). Стоит рассмотреть каждый из видов.

Линейное уравнение иллюстрирует строго линейную связь между
переменными, то есть в нём отсутствуют степени, дроби, тригонометрические
функции. Решается стандартными математическими способами.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: y = f (x) = a + bx.

Логично предположить, что в нелинейный класс уравнений входит всё то,
что не вошло в линейный. Решаются такие уравнения сведением к линейному
типу, а дальше – по накатанной дорожке.

Уравнения нелинейной регрессии:

— полиномиальная функция	y = f (x) = a + bx + bx² + bx³;
— гиперболическая	y = f (x) = a + b + e; x
— степенная модель	y = f (x ) = ax^b;
— показательная модель	y = f (x ) = ab^x;
— экспоненциальная модель	y = f (x ) = ea^+bx.
Регрессия бывает двух видов:	парная (линейная и нелинейная) и

множественная (линейная и нелинейная). Разница между ними в виде уравнения и
количестве независимых переменных. Парная регрессия – это, когда одна
зависимая переменная и одна независимая, в множественной – независимых
переменных несколько. В природе имеет место исключительно множественная

регрессия, так как нельзя ограничить внешнее влияние на какое-то явление строго
одним фактором.

Парная (её ещё называют двухфакторной) модель проста в использовании,
так как имеется всего две переменные: эндогенная и экзогенная. Что позволяет
просто решить уравнение и провести анализ.

2.1 Построение линейной регрессии

Данный раздел посвящён построению и исследованию уравнения линейной
регрессии вида y = f (x) = a + bx

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров a, b.

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии
основан на методе наименьших квадратов (МНК).

Коэффициенты, определяемые на основе МНК, являются решением
системы уравнений:

na + b^ x = ^ y
a ^ x + b ^ x² =^ xy^.

Решая эту систему уравнений, получим

a = y - bx,

xy - xy _ cov(x,y)

2 ²

x xx

где cov(x, y)=xy - xy - выборочная ковариация;

S ² – выборочное значение дисперсии величины x, определяемой по формуле:

s; =-(XI

В вычислительной среде табличного процессора MS Excel эта задача
(нахождение коэффициентов уравнения линейной регрессии) решается при
помощи статистических функций НАКЛОН(наклон прямой относительно оси Х,
коэффициент b) и ОТРЕЗОК(отрезок, отсекаемый прямой на оси Y, коэффициент
a ).

Статистическая функция КВПИРСОН вычисляет значение коэффициента

детерминации.

2.2 Построение линейной и нелинейной регрессий с использованием команды
«Добавить линию тренда»

Команда «Добавить линию тренда» используется для выделения тренда
(медленных изменений) при анализе временных рядов. Однако эту команду
можно использовать и для построения уравнения нелинейной регрессии,
рассматривая в качестве времени t независимую переменную x.

Эта команда позволяет построить следующие уравнения регрессии:

— линейная;
— полиноминальная;
— логарифмическая;
— степенная;

— экспоненциальная.

Для построения одной из перечисленных регрессий необходимо выполнить
следующие шаги:

Шаг 1. Ввести по столбцам исходные данные

Шаг 2. По этим данным построить график в декартовой системе координат

Шаг 3. Установить курсор на любую точку построенного графика, сделать
щелчок правой кнопкой и в появившемся контекстном меню выполнить
команду «Добавить линию тренда».

Шаг 4. В появившемся диалоговом окне выбрать нужное уравнение
регрессии.

Шаг 5. «Включить» необходимые опции:

«Показать уравнение на диаграмме» – на диаграмме будет показано
выбранное уравнение регрессии с вычисленными коэффициентами;

«Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации
(R²)» – на диаграмме будет показано значение коэффициента детерминации (для
нелинейной регрессии индекс детерминации R²).

Если по построенному уравнению регрессии необходимо выполнить
прогноз, то нужно указать число периодов прогноза.

Шаг 6. После задания всех перечисленных опций на диаграмме появится
формула построенного уравнения регрессии и значение индекса детерминации R².

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ

Исходные данные

Шифр: 1210-п/СДс5681

Результаты измерения уровня помехи, для которых необходимо провести
статистический анализ выборки, приведен в таблице 1.

Таблица 1. Результаты измерения уровня помехи

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
U, В	3,484	3,443	2,763	1,934	1,574	1,925	2,648	2,197	1,257	2,074
№ п/п	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
U, В	1,73	1,94	2,9	0,501	3,013	2,262	2,737	3,25	2,526	0,506
№ п/п	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
U, В	3,224	0,462	2,654	2,962	3,08	2,431	3,774	2,566	4,314	1,609
№ п/п	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
U, В	2,564	4,321	3,458	3,433	1,306	2,212	3,577	2,09	1,992	2,61

Результаты измерения зависимости напряжения сигнального тока от
значения силы тока, на основании которых необходимо провести регрессионный
анализ, приведены в таблице 2.

Таблица 2. Результаты измерения зависимости напряжения сигнального тока от

силы тока

I, А	0,80	1,00	1,40	1,50	1,80	1,90	2,10	2,20	2,30
U, В	9,975	10,045	9,207	9,139	8,867	9,357	9,358	8,523	8,570
I, А	2,50	2,80	2,90	3,00	3,30	3,40	3,50	3,60	3,70
U, В	9,336	8,779	8,905	8,703	8,203	9,141	8,842	8,169	8,727
I, А	3,90	4,00	4,10	4,20	4,40	4,60	4,70
U, В	8,756	8,967	9,504	9,136	9,440	9,606	9,856

1 Статистический анализ случайной величины с использованием
табличного процессора
- 1.1 Оценка характеристик случайных величин

Для оценки характеристик выборки, которой являются результаты
измерения уровня помехи, необходимо перенести данные из таблицы 1 на
рабочий лист табличного процессора MS Excel. Указанные данные размещены в
ячейках A11:A50 (рисунок 1).

Рисунок 1. Данные результатов измерений уровня помехи, перенесенные на
рабочий лист MS Excel

Среднее арифметическое выборки

Среднее арифметическое выборки представляет собой частное от деления
суммы всех значений выборки на объем этой выборки:

_ L X
x = ^—

(1)

Также в табличном процессоре Excel существует встроенная функция для
вычисления среднего: СРЗНАЧ(диапазон ячеек со значениями выборки).

Результат расчета среднего арифметического выборки двумя способами
приведен на рисунке 2. В ячейке С3 записана формула (1) для вычисления
среднего арифметического выборки записанной в диапазоне ячеек A11:A50. А в
ячейке D3 та же задача реализована с помощью функции Excel =СРЗНАЧ.

C3^ A I =СУММ(А11:А50)/С2

A BCD

_____________n=|_____________4o|_____________
Сред. Арифм.=| 2,482575| 2,482575

Рисунок 2. Среднее арифметическое выборки

Среднее линейное отклонение

LI Xi - XI

d = ------- (2)

Для расчета среднего линейного отклонения выборки в табличном
процессоре Excel необходимо сначала рассчитать отклонение каждого значения
выборки от среднего арифметического выборки (рисунок 3, ячейки B11:B50).

	СИ		£ =В11^Л2
	А	В	С	D
11	3,484	1,0014250	1,0028520	з
12	3,443	0,9604250	0,9224162	3
13	2,763	0,2804250	0,0786382	3
14	1,934	0,5485750	0,3009345	2
15	1,574	0,9085750	0,8255085	2
16	1,925	0,5575750	0,3108899	2
17	2,648	0,1654250	0,0273654	3
18	2,197	0,2855750	0,0815531	2
19	1,257	1,2255750	1,5020341	1
20	2,074	0,4085750	0,1659335	2
21	1=73	0,7525750	0,5663691	2
22	1,94	0,5425750	0,2943876	2
23	2,9	0,4174250	0,1742436	3
24	0,501	1,9815750	3,9266395	1
25	3,013	0,5304250	0,2813507	3
26	2,262	0,2205750	0,0486533	2
27	2,737	0,2544250	0,0647321	3
28	3,25	0,7674250	0,5889411	3
29	2,526	0,0434250	0,0018857	3
30	0,506	1,9765750	3,9058487	1
31	3,224	0,7414250	0,5497110	3
32	0,462	2,0205750	4,0827233	0
33	2,654	0,1714250	0,0293855	3
34	2,962	0,4794250	0,2298483	3
35	3,08	0,5974250	0,3559166	3
36	2,431	0,0515750	0,0025600	2
37	3,774	1,2914250	1,6677785	4
38	2,566	0,0834250	0,0059597	3
39	4,314	1,8314250	3,3541175	4
40	1,609	0,8735750	0,7631333	2
41	2,564	0,0814250	0,0055300	3
42	4,321	1,8384250	3,3798055	4
43	3,458	0,9754250	0,9514539	3
44	3,433	0,9504250	0,9033077	3
45	1,306	1,1765750	1,3843287	1
46	2 212	0,2705750	0,0732108	2
47	3,577	1,0944250	1,1977651	4
48	2,09	0,3925750	0,1541151	2
49	1,992	0,4905750	0,2406638	2
50	2,61	0,1274250	0,0162371	3

Рисунок 3. Результаты расчета отклонения каждого значения выборки от их
среднего арифметического

Затем производится расчет среднего линейного отклонения выборки на
основании формулы (2). Результат данного расчета представлен на рисунке 4.

Рисунок 4. Среднее линейное отклонение выборки

Дополнительно произведен расчет среднего линейного отклонения выборки
с помощью встроенной функции Excel (рисунок 5): СРОТКЛ(диапазон ячеек со
значениями выборки).

Рисунок 5. Среднее линейное отклонение, определенное с использованием
встроенной функции

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение выборки

Z (X, - X )2

D = ^------- (3)

Для вычисления дисперсии выборки в табличном процессоре Excel
необходимо рассчитать квадрат отклонения каждого значения выборки от
среднего арифметического выборки (рисунок 3, ячейки B11:B50).

Затем производится непосредственный расчет дисперсии выборки на
основании формулы (3). Результат расчета дисперсии выборки представлен на
рисунке 6.

Рисунок 6. Дисперсия выборки

В дополнение произведен расчет дисперсии выборки с помощью
встроенной функции Excel (рисунок 7): ДИСПР(диапазон ячеек со значениями
выборки).

Рисунок 7. Дисперсия выборки, рассчитанная с использованием встроенной
функции

Средним квадратическим отклонением называется квадратный корень из

дисперсии:

Z(Xi - X)2

(4)

Результат расчета среднее квадратического отклонения выборки

представлен на рисунке 8.

Рисунок 8. Среднее квадратическое отклонение выборки

Дополнительно произведен расчет среднего квадратического отклонения
выборки с помощью встроенной функции Excel (рисунок 9): СТАНДОТКЛОНП
(диапазон ячеек со значениями выборки).

Рисунок 9. Среднее квадратическое отклонение выборки, рассчитанное с
использованием встроенной функции

Таким образом, получены следующие значения характеристик выборки
случайной величины:

• среднее арифметическое выборки - 2,48 В;
• среднее линейное отклонение (d) - 0,73 В;
• дисперсия – 0,86 В²;
• среднее квадратическое отклонение – 0,93 В.

1.2 Оценка вида и параметров выборки случайной величины
Частота выборочного значения

Для определения вида распределения выборки можно использовать график
частоты выборочного значения, который при достаточном объеме выборки по
характеру совпадает графиком плотности распределения вероятности случайной
величины. Для этого необходимо воспользоваться функцией табличного
процессора MS Excel «Гистограмма». Вызов данной функции возможно сделать
перейдя во вкладку панели быстрого доступа «Данные», в разделе «Анализ»
выбрать «Анализ данных», затем выбрать пункт «Гистограмма». В графе
«Входной интервал» требуется указать диапазон округлённых значений
оцениваемых случайных величин. Для получения значений округлённых
значений случайных величин необходимо воспользоваться функцией
=ОКРУГЛ(число; число разрядов). В графе «Интервал карманов» указывается
диапазон ячеек содержащий перечень различных округлённых значений
оцениваемых случайных величин. «Выходной интервал» - интервал ячеек
предназначенных для вывода результата функции «Гистограмма». Так же следует
поставить галочку в пункте «Вывод графика».

Рисунок 10. Частота выборочного значения и гистограмма распределения
значений помехи

Построенная гистограмма (рисунок 10) позволяет сделать предположение

о нормальном виде распределения величины значения уровня помехи.

Проверка гипотезы о виде распределения

Применение критерия Пирсона для оценки гипотезы распределения
случайной величины с помощью табличного процессора Excel.

Сравнив χ²_кр и χ² можно сделать вывод о значимости гипотезы: если
χ²кр > χ², то гипотеза принимается с уровнем значимости a, в противном случае
гипотеза отвергается.

В первую очередь, производится округление значений выборки до целого
числа (рисунок 11А) и вычисление ni (частоты выборочных значений xi) (рисунок
11Б, ячейки F11:F15). Это возможно сделать воспользовавшись функцией
=СЧЁТЕСЛИ(диапазон проверяемых значений; критерий по которому
производится проверка). Значений совпадают с результатами, полученными в
предыдущем пункте (рисунок 10).

D11 ’ Л=ОКРУГЛ(А11;0)

	А	В	С	D
11	3,484	1,001425	1,002852031	3
12	3,443	0,960425	0,922416181	з(
13	2,763	0,280425	0,078638181	3
14	1,934	0,548575	0,300934531	2

Рисунок 11.А Округление выборочных значений

F11 ’ А =СЧЁТЕСЛИ($О$11:$О$5О;Е11)

	D	Е	F	G	H	1
10		xi	ni	Pi	ni'	ХИ2
11		0	1	1 0,011979	0,479147	0,566189
12	3	1	4	0,119922	4,796898	0,132387
13	3	2	13	0,375621	15,02483	0,272878
14	2	3	18	0,368092	14,72357	0,729051
15	2	4	4	0,112855	4,514195	0,05857
16	2
17	3				ХИ2=	1,759074
18	2				ХИ2кр=	5,991455

Рисунок 11.Б Частота выборочных значений

Затем производится вычисление теоретической вероятности p_i выборочного

значения x_i.

Для проверки гипотезы о нормальном распределении используется функция
=НОРМРАСП(xi; среднее арифметическое; средне квадратическое отклонение; 1)
(рисунок 12).

G11 ▼ А =НОРМРАСП(Е11;$С$3;$С$6;0)

	D	E	F	6	H	1
10		xi	ni	Pi	ni'	ХИ2
11	3	0	1	0,0119791	0,479147	0,566189
12	3	1	4	0,119922	4,796898	0,132387
13	3	2	13	0,375621	15,02483	0,272878
14	2	3	18	0,368092	14,72367	0,729051
15	2	4	4	0,112855	4,514195	0,05857

Рисунок 12. Теоретическая вероятность выборочного значения

Расчёт теоретической частоты n’i выборочного значения xi представлен на

рисунке 13.

Затем вычисляется теоретическая частота выборочного значения xi по
формуле:

ni = n • Pi,
где n – количество наблюдений, объём выборки.

НИ ▼ Ji =$C$2*G11

	E	F	G	H	1
10	xi	ni	Pi	ni'	ХИ2
u	0	1	0,011979	0,479147	0,566189
12	1	4	0,119922	4,796898	0,132387
13	2	13	0,375621	15,02483	0,272878
14	3	18	0,368092	14,72367	0,729051
15	4	4	0,112855	4,514195	0,05857

Рисунок 13. Теоретическая частота выборочного значения

Наблюдаемое значение случайной величины χ² определяется по формуле:

X² =Z
i=1

(ni - ni)²ni

Для упрощения написания формулы в табличном процессоре порядок
расчета наблюдаемого значения случайной величины можно разделить на два
действия: деление (диапазон ячеек I11:I15) и сумма результатов деления (ячейка

I16) (рисунок 14).

111 ’ A \| =(F11-H11)^A2/H11							117 ▼ А =СУММ(111:115)
								E	F	G	H 1
	E F G H 1					10		xi	ni	Pi	ni¹	ХИ2
10	Xi	ni	P’	ni¹	ХИ2			0	1	0,011979	0,479147	0,566189
							12	1	4	0,119922	4,796898	0,132387
11	D	1	0,011979	0,479147	0,566189
								2	13	0,375621	15,02483	0,272878
12 13 14	1	4	0,119922	4,796898	0,132387	13
							14 15	3	18	0,368092	14,72367	0,729051
	2	13	0,375621	15,02483	0,272878
								4	4	0,112855	4,514195	0,05857
	3	18	0,368092	14,72367	0,729051
							16
15	4	4	0,112855	4,514195	0,05857		17				ХИ2= \|[ 1,7590741

Рисунок 14. Вычисление наблюдаемого значения случайной величины χ²

Критическое значение случайной величины χ2 (рисунок 15) определяется с
помощью функции:

χ2кр =ХИ2ОБР(a,r),
где a – уровень значимости, требуемая вероятность (принимается равной
значению 0,05),

r – количество степеней свободы.

Расчет количества степеней свободы производится по формуле:
r = k - p -1,

где k – количество категорий (количество различных округлённых значений),
р – количество оцениваемых параметров закона распределения.

Из рисунка 14 видно (ячейки E11:E15), что имеется 5 различных
округлённых значений оцениваемой случайной величины (количество категорий
k). Так как рассматривается гипотеза о нормальном распределении, то
оцениваются два параметра (среднее арифметическое и среднее квадратическое
отклонение), то есть количество оцениваемых параметров p равно 2. Тогда
количество степеней свободы равно 2.

Рисунок 15. Критическое значение случайной величины

Так как неравенство χ² < χ²кр выполняется, тогда гипотеза о том, что
выборка случайной величины подчиняется закону нормального распределения
при уровне значимости a = 0,05, является верной.

2 Регрессионный анализ парных случайных величин

2.1 Оценка параметров линейной парной регрессии

Для проведения регрессионного анализа результатов измерения
зависимости напряжения сигнального тока от силы тока (таблица 2) необходимо
перенести эти результаты на рабочий лист табличного процессора MS Excel.
Указанные данные размещены в ячейках N4:P29 (рисунок 16).

NOP

4	№ п/п	1, А	и, В
5	1	0,80	9,975
6	2	1,00	10,045
7	3	1,40	9,207
8	4	1,50	9,139
9	5	1,80	8,867
10	6	1,90	9,357
11	7	2,10	9,358
12	8	2,20	8,523
13	9	2,30	8,570
14	10	2,50	9,336
15	11	2,80	8,779
16	12	2,90	8,905
17	13	3,00	8,703
18	14	3,30	8,203
19	15	3,40	9,141
20	16	3,50	8,842
21	17	3,60	8,169
22	18	3,70	8,727
23	19	3,90	8,756
24	20	4,00	8,967
25	21	4,10	9,504
26	22	4,20	9,136
27	23	4,40	9,440
28	24	4,60	9,606
29	25	4,70	9,856
30 Сумма		73,60	227,111
31	Среднее	2,94	9,084

Рисунок 16. Исходные данные

Точечный график результатов измерения зависимости напряжения
сигнального тока от силы тока U(I) представлен на рисунке 17.

Рисунок 17. График зависимости U(I)

Расчет коэффициентов уравнения линейной регрессии

Построение линейной регрессии вида y = f (x) = a + bx сводится к оценке ее
параметров a, b.

Коэффициенты, определяемые на основе МНК, являются решением
системы уравнений

I na + b ^ x = ^ у

[ a ^ x + b ^ x² =^ xy ^.

Решением этой системы уравнение является:

a = у - bx,

_ xy - xy _ cov(x, у),
2^{2 2}

x —(x) Sx

где cov(x, y)= xy - xy - выборочная ковариация;

S ² – выборочное значение дисперсии величины x, определяемой по формуле:

Sx = x²-(xJ.

	N	0	P	Q	R	S
4	№ n/n	t, A	U, В	ru	Г2	U^A2
5	1	0.80	9,975	7,98	0,64	99,50
Б	2	LOO	10,045	10,05	1,00	100,90
7	3	L40	9,207	12,89	1,96	84,77
8	4	1-50	9,139	13,71	2,25	83,52
9	5	1.80	8.867	15,96	3,24	78,62
10	6	1.90	9,357	17,78	3,61	87,55
11	7	2.10	9,358	19,65	4,41	87,57
12	8	2,20	8,523	18,75	4,84	72,64
13	9	2,30	8,570	19,71	5,29	73,44
14	10	2,50	9,336	23,34	6,25	87,16
15	11	2.80	8,779	24,58	7,84	77,07
16	12	2,90	8,905	25,82	8,41	79,30
17	13	3,00	8,703	26,11	9,00	75,74
18	14	3,30	8,203	27,07	10,89	67,29
19	15	3.40	9,141	31,08	11,56	83,56
20	16	3,50	8,842	30,95	12,25	78,18
21	17	3,60	8,169	29,41	12,96	66,73
22	18	3,70	8,727	32,29	13,69	76,16
23	19	3,90	8,756	34,15	15,21	76,67
24	20	4,00	8,967	35,87	16,00	80,41
25	21	4,10	9,504	38,97	16,81	90,33
26	22	4,20	9,136	38,37	17,64	83,47
27	23	4,40	9,440	41,54	19,36	89,11
28	24	4,60	9,606	44,19	21,16	92,28
29	25	4,70	9,856	46,32	22,09	97,14
30	Сумма	73,60	227,111	666,53	248,36	2069,12
31	Среднее	2,94	9,084	26,66	9,93	82,76

Рисунок 18. Предварительные расчёты для вычисления коэффициентов
уравнения линейной регрессии

Коэффициент b вычисляется по формуле (рисунок 19):

xy - xy ₌ cov(x, y)
=-(xT ’ Sx

Рисунок 19. Вычисление коэффициента b уравнения линейной регрессии

Коэффициент a вычисляется по формуле (рисунок 20):
a = y - bx.

Рисунок 20. Вычисление коэффициента a уравнения линейной регрессии

В вычислительной среде табличного процессора MS Excel задача
нахождения коэффициентов уравнения линейной регрессии решается при помощи
статистических функций НАКЛОН (наклон прямой относительно оси Х,
коэффициент b) и ОТРЕЗОК (отрезок, отсекаемый прямой на оси Y, коэффициент

a). Статистическая функция КВПИРСОН вычисляет значение коэффициента
детерминации R². Расчет представленных функций для исходных данных

представлены на рисунках 21 и 22.

Рисунок 21. Функции вычисления коэффициентов a, b и R² с указанием адресов

ячеек содержащих аргументы

N	0
Коэффициент b	-0,065939978
Коэффициент a	9,278567295
Коэффициент детерминации R^A2	0,023178752

Рисунок 22. Результаты вычисления функций коэффициентов a, b и R²

Таким образом, уравнение линейной парной регрессии, построенное по
результатам измерения зависимости напряжения сигнального тока от силы тока,
имеет следующий вид:

y = -0,06594x + 9,27857 .

Коэффициент детерминации (R²) приведенного линейного уравнения с
результатами измерений составляет 0,023.

2.2 Оценка параметров нелинейной парной регрессии

Оценка параметров нелинейной парной регрессии на основании результатов
измерения зависимости напряжения сигнального тока от силы тока в данной
работе проводиться с применением команды «Добавить линию тренда»
табличного процессора.

Эта команда позволяет построить уравнения регрессии различного вида. Но
в рамках данной работы требуется только следующие виды:

- линейная;
- экспоненциальная;
- полиноминальная.

Для построения уравнения регрессии необходимо выполнить следующие
шаги:

Шаг 1. Ввести по столбцам исходные данные.

Шаг 2. По этим данным построить график в декартовой системе координат.

Шаг 3. Установить курсор на любую точку построенного графика, сделать
щелчок правой кнопкой и в появившемся контекстном меню выполнить команду
Добавить линию тренда.

Шаг 4. В появившемся диалоговом окне выбрать нужное уравнение
регрессии (рисунок 23).

Шаг 5. Включить необходимые опции:

«Показать уравнение на диаграмме» ‒ на диаграмме будет показано
выбранное уравнение регрессии с вычисленными коэффициентами;

«Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации
(R²)» ‒ на диаграмме будет показано значение коэффициента детерминации (для
нелинейной регрессии ‒ индекс детерминации R²).

Рисунок 23. Настройка параметров линии тренда
в табличном процессоре MS Excel

При использовании приведенных выше шагов для построения линии тренда
линейной регрессии (рисунок 24) коэффициент детерминации (R²) равен 0,023, а

уравнение имеет вид:

y = -0,065x + 9,278 .

Эти результаты подтверждают результаты, полученные при оценке

параметров линейной регрессии в параграфе 2.1.

Рисунок 24. График зависимости U(I) с линией тренда линейной регрессии

График линии тренда экспоненциальной регрессии, уравнение этой линии и
значение коэффициента детерминации приведен на рисунке 25.

Рисунок 25. График зависимости U(I) с линией тренда экспоненциальной

регрессии

Для построения линии тренда полиноминальной регрессии используется
степень полинома равная 2. График линии тренда полиноминальной регрессии,
уравнение этой линии и значение коэффициента детерминации приведен на

Рисунок 26. График зависимости U(I) с линией тренда полиномиальной

регрессии

2.3 Прогнозирование значений парной регрессии

Согласно полученным результатам оценки параметров парной регрессии
различных видов (рисунки 24-26), полиноминальная регрессия является ближе
всего к исходной кривой. Так как значение коэффициента детерминации этого
вида регрессии ближе к единице, чем значение R² других видов. Тогда можно
сделать предположение, что исходное уравнение зависимости U(I) носит характер
полинома второй степени.

Так как результатом использования команды «Линия тренда» является
также уравнение этой линии, то можно провести прогноз значений функции U(I)
при значениях силы тока, которые выходят за пределы проведенных измерений.

Тогда при значении силы тока I = 5A, мы получим соответствующее
значение напряжения сигнального тока U, которое составляет 10,07 В (рисунок
27).

Рисунок 27. Прогноз значения напряжения сигнального тока
при силе тока I = 5А

Заключение

В рамках данной работы были выполнены:

- статистический анализ выборки случайной величины, полученной на
основании результатов измерения уровня помехи (таблица 1);
- регрессионный анализ на основании результатов измерения зависимости
напряжения сигнального тока от силы тока (таблица 2).

В ходе проведения статистического анализа получены значения
характеристик выборки результатов измерения уровня помехи:

• среднее арифметическое выборки - 2,48 В;
• среднее линейное отклонение (d) - 0,73 В;
• дисперсия - 0,86 В²;
• среднее квадратическое отклонение - 0,93 В.

Также проведена проверка гипотезы о том, что выборка результатов
измерения уровня помехи подчиняется закону нормального распределения, и при
уровне значимости a = 0,05 эта гипотеза оказалась верной.

В ходе проведения регрессивного анализа зависимости U(I) получены
уравнения линейных и нелинейных парных регрессий и соответствующие
значения коэффициента детерминации (таблица 3).

Таблица 3. Уравнения парных регрессий зависимости U(I)

Вид уравнения	Уравнение парной регрессии	Коэффициент детерминации (R²)
линейное	у = -0,065x + 9,278	0,023
экспоненциальное	Л О/СП —0,007.x у = 9,262-e	0,022
полиноминальное 2-й степени	у = 0,318-x² -1,853-x +11,385	0,628

По результатам расчета коэффициента детерминации сделано
предположение, что исходное уравнение зависимости U(I) носит характер
полинома второй степени. На основании этого предположения сделан прогноз,
что значение напряжения сигнального тока равно 10,07 В при силе тока I = 5А.

Литература

1. Брандт З. Анализ данных. Статистические и вычислительные методы для
научных работников и инженеров : учеб. пособие / З. Брандт ; пер. с англ. О.
И. Волкова. ‒ М. : Мир, 2003. ‒ 686 с.
2. Вадзинский Р. Статистические вычисления в среде Excel. Библиотека
пользователя Р. Вадзинский. ‒ СПб. : Питер, 2008. ‒ 608 с.
3. Горелова Г. В. Теория вероятностей и математическая статистика в
примерах и задачах с применением Excel : учеб. пособие / Г. В. Горелова,
4. И. А. Кацко. – 3-е изд., доп. и перераб. – Ростов н/Д : Феникс, 2005. – 480 с.
Колемаев В. А. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник
/ В. А. Колемаев, В. Н. Калинина. ‒ М. : ИНФРА-М, 2000. ‒ 336 с.
5. Минько А. А. Статистический анализ в MS Excel / А. А. Минько. – М. :
Издательский дом «Вильямс», 2004. – 448 с.
6. Розанов Ю. А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая
статистика : учебник / Ю. А. Розанов. ‒ 2-е изд., доп. ‒ М. : Наука, 1989. ‒
312 с.
7. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ / Дж. Себер ; пер. с англ. В. П.
Носко. ‒ М. : Мир, 1980. ‒ 456 с.
8. Тюрин Ю. Н. Анализ данных на компьютере / Ю. Н. Тюрин, А. А. Макаров ;
под ред. В. Э. Фигурнова. – 3-е изд., перераб. и доп. –М. : ИНФРА-М, 2003.
– 544 с.

Скачать методический материал

Комментарии (0)

Чтобы оставить комментарий, нужно войти в личный кабинет или зарегистрироваться.

Информатика

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ С МЕТОДИЧЕСКИМИ

УКАЗАНИЯМИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

«ИНФОРМАТИКА»

Направление/специальность: 23.05.05 Системы обеспечения движения

поездов

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ

X X.

1.2 Определение закона распределения случайной величины

^{f (x} ) =

2 Регрессионный анализ парных случайных величин с использованием
табличного процессора

2.1 Построение линейной регрессии

na + b^ x = ^ y
a ^ x + b ^ x² =^ xy^.

2.2 Построение линейной и нелинейной регрессий с использованием команды
«Добавить линию тренда»

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ

Исходные данные

1.1 Оценка характеристик случайных величин

_ L X
x = ^—

LI Xi - XI

1.2 Оценка вида и параметров выборки случайной величины
Частота выборочного значения

2 Регрессионный анализ парных случайных величин

2.1 Оценка параметров линейной парной регрессии

2.2 Оценка параметров нелинейной парной регрессии

2.3 Прогнозирование значений парной регрессии

Заключение

Литература

Комментарии (0)

Информатика

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ С МЕТОДИЧЕСКИМИУКАЗАНИЯМИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

«ИНФОРМАТИКА»

Направление/специальность: 23.05.05 Системы обеспечения движенияпоездов

ОГЛАВЛЕНИЕ

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ

X X.

1.2 Определение закона распределения случайной величины

f (x ) =

2 Регрессионный анализ парных случайных величин с использованиемтабличного процессора

2.1 Построение линейной регрессии

na + b^ x = ^ ya ^ x + b ^ x2 =^ xy.

2.2 Построение линейной и нелинейной регрессий с использованием команды«Добавить линию тренда»

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ

Исходные данные

1.1 Оценка характеристик случайных величин

_ L Xx = ^—

LI Xi - XI

1.2 Оценка вида и параметров выборки случайной величиныЧастота выборочного значения

2 Регрессионный анализ парных случайных величин2.1 Оценка параметров линейной парной регрессии

2.2 Оценка параметров нелинейной парной регрессии

2.3 Прогнозирование значений парной регрессии

Заключение

Литература

Комментарии (0)

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ С МЕТОДИЧЕСКИМИ

УКАЗАНИЯМИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

Направление/специальность: 23.05.05 Системы обеспечения движения

поездов

^{f (x} ) =

2 Регрессионный анализ парных случайных величин с использованием
табличного процессора

na + b^ x = ^ y
a ^ x + b ^ x² =^ xy^.

2.2 Построение линейной и нелинейной регрессий с использованием команды
«Добавить линию тренда»

_ L X
x = ^—

1.2 Оценка вида и параметров выборки случайной величины
Частота выборочного значения

2 Регрессионный анализ парных случайных величин

2.1 Оценка параметров линейной парной регрессии