ПГУПС Математика 4

КР №6 Линейные математические модели

Специализации УПП, УПЛ, УПГ.

(1-10) Записать задачу в математической форме, указав экономический
смысл вводимых переменных

• 1.    Строительная организация планирует сооружение домов типа Д1, Д2, Д3 с одноком-
  натными, двухкомнатными и трёхкомнатными квартирами. Один дом Д1 состоит из
  10 одно-, 50 двух- и 35 трех- комнатных квартир. Для домов Д2 и Д3 эти данные рав-
  ны соответственно 20, 60, 10 и 15, 30, 5. Годовой план ввода жилой площади состав-
  ляет не менее 700 однокомнатных, 2000 двухкомнатных и 600 трёхкомнатных квар-
  тир. Требуется составить программу строительства так, чтобы выполнить годовой
  план с наименьшими затратами, естественно известно, что затраты на возведение
  одного дома Д1, Д2 и Д3 составляют соответственно 700, 400 и 300 тыс. руб.

• 2.    Для выращивания порции овощей по способу гидропоники необходимо не менее 20
  кг питательной смеси, содержащей более 1% фосфора, 1.5% азота, 2% калия и 0.01%
  различных микроэлементов и не более 1.5% фосфора, 2% азота, 5% калия и 0.03%
  микроэлементов. Для составления питательной смеси используют 4 вида удобрений.
  Содержание указанных питательных веществ в 1 кг удобрения первого вида состав-
  ляет 20, 0, 10, 0 г соответственно, второго – 20, 10, 60, 0.4 г, третьего – 10, 50, 10, 0.5
  г, четвертого – 10, 20, 30, 0.2 г. Стоимость 1 кг удобрения каждого вида составляет 7,
  6, 8 и 10 рублей соответственно. Сколько килограммов удобрений каждого вида
  надо взять, чтобы приготовить питательную смесь нужного состава при ее мини-
  мальной стоимости?

• 3.    В мастерской при изготовлении столов, шкафов и тумбочек применяются два вида
  древесины. На один стол расходуется 0.15 м³ древесины первого вида и 0.2 м³ – вто-
  рого, на один шкаф – 0.2 м³ и 0.1 м³ соответственно, а на одну тумбочку 0.05 м³ дре-
  весины первого вида. В наличии имеется 60 м³ древесины первого вида и 40 м³ вто-
  рого. Количество выпущенных шкафов должно быть не менее 200. Выпуск столов и
  тумбочек не запланирован. Прибыль мастерской от производства одного стола со-
  ставляет 12 рублей, шкафа – 15 рублей, тумбочки – 3 рубля. Сколько столов, шкафов
  и тумбочек должна изготовить мастерская, чтобы получить наибольшую прибыль?

• 4.    Завод выпускает три типа вагонов А, В и С. Строительство вагонов происходит в це-
  хе 1, а производство дополнительных наборов деталей внутреннего оборудования в
  цехе 2. В первом цехе за плановый период можно построить 25 вагонов А, или 50 ва-
  гонов В, или 20 вагонов С. Для цеха 2 эти данные составляют 20, 60 и 30. Прибыль
  от выпуска одного вагона А составляет 50 рублей, В – 20 рублей, С – 40 рублей.
  Сколько нужно выпустить вагонов каждого типа за плановый период, чтобы полу-
  чить наибольшую прибыль?

• 5.    На приобретение оборудования для нового производственного участка имеются ка-
  питаловложения 50 тыс. рублей, а для размещения выделена площадь в 74 м². Мож-
  но приобрести оборудование трёх видов. Единица оборудования первого вида зани-
  мает 9 м² и стоит 6 тыс. рублей. Для оборудования 2-ого и 3-ого вида эти данные та-
  ковы: 4 м² и 3 тыс. рублей, 3 м² и 1 тыс. рублей. Прибыль от единицы нового обору-
  дования составляет 12, 6 и 2 тыс. рублей соответственно. Сколько нужно приобрести
  нового оборудования каждого вида, чтобы получить наибольшую прибыль и при
  этом полностью израсходовать выделенные капиталовложения.

• 6.    Студенческая столовая ежедневно готовит три варианта комплексных обедов: мяс-
  ной по цене 65 рублей, рыбный – по 45 рублей и диетический – по 60 рублей. Сум-
  марное количество реализованных обедов не превосходит 660, из них суммарное ко-
  личество мясных и рыбных, по крайней мере, в 10 раз больше диетических, а коли-
  чество мясных, по крайней мере, вдвое больше рыбных. Сколько комплексных обе-
  дов каждого варианта должно быть приготовлено, чтобы суммарный кассовый сбор
  за них бал максимальным?

• 7.    Для изготовления хромоникелевой стали можно использовать два вида руды. Одна
  тонна руды первого вида содержит в своём составе 2 единицы железа, 1 – хрома, 2 –
  никеля; для одной тонны руды второго вида содержание этих компонентов составля-
  ет 4, 4.5, и 3 соответственно. В сплаве должно содержаться не менее 20 единиц же-
  леза, не менее 15 единиц хрома и не менее 10 единиц никеля. Сколько руды каждого
  вида надо взять для изготовления наиболее дешёвого сплава, удовлетворяющего
  указанным условиям, если одна тонна руды первого вида стоит 4 денежных едини-
  цы, а второго – 10 денежных единиц?

• 8.    Цех выпускает мебель трёх видов. Нормы расходов материалов в м³ на единицу
  каждого из них составляют 0,032; 0,031; 0,038, нормы времени в н/ч на них равны
  соответственно 10,2; 7,5; 5,8. Запас материалов на плановый период составляет 90
  м³, а фонд рабочего времени – 17000 н/ч. Оптовые цены единицы мебели каждого
  вида 93 рубля, 67 рублей, 30 рублей, а себестоимость ее изготовления в цехе соот-
  ветственно 88 рублей, 64 рубля и 29,5 рублей. Плановый ассортимент выпуска мебе-
  ли составляет 350 единиц, 290 единиц и 800 единиц. Найти план производства, при
  котором суммарный доход максимален.

• 9.    На выемки породы общим объёмом 900м³ могут быть одновременно использованы
  три экскаватора А, В, С. Их производительности соответственно равны 10, 15, и 20
  м³/ч, а расход горючего за 1ч работы составляет 12л, 20л, 25л. Какой объем работы
  должен быть выполнен каждым экскаватором при минимальном расходе топлива,
  чтобы весь объем работ был произведён не более чем за 30ч при условии, что экска-
  ватор С может работать не более 12ч.

• 10.    Архитектурная мастерская планирует застройку района жилыми домами типов Д1,
  Д2, Д3 , состоящих из одно-, двух- и трёх- комнатных квартир. Дом Д1 состоит из 10
  одно-, 18 двух- и 20 трёхкомнатных квартир. Для домов Д2 и Д3 эти числа равны 40,
  20, 20 и 50, 45, 15 соответственно. В строй необходимо ввести не менее 800 одно-,
  1000 двух-, 2000 трёхкомнатных квартир. Составить план застройки района, обеспе-
  чивающий минимальную себестоимость строительства, если себестоимость дома Д1
  – 830 тыс. рублей, Д2 - 800 тыс. рублей, Д3 - 360 тыс. рублей.

(11-20) Для задачи линейного программирования выполнить следующие
действия.

• a.    Записать задачу в матричной форме.

• b.    Записать каноническую задачу.

• c.    Решить задачу геометрически.

• d.    Найти начальный базисный план с помощью искусственных пере-
  менных.

• e.    Решить задачу симплекс-методом.

• f.    Написать двойственную задачу к данной задаче в матричной и раз-
  вёрнутой форме.

• g.    Найти решение двойственной задачи и доказать его оптимальность с
  помощью теоремы двойственности.

  11.		max(5x1 + 6 x 2), 2x1 + x2 > 2, 4x1 + 6x2 < 17, 3x1 + 4x2 < 12, x1, x2 > 0	16.		max(2 x1 + 5 x 2), ' x1 + 2x2 < 6, — x1 + x 2 < 1, .        x1 > 1, x1, x 2 > 0
  12.		max(x1 + 3 x 2), ' x1 + x 2 > 1, ‘ x1 + x2 < 5, 4x1 + x2 < 8, x1, x 2 > 0	17.	;	max(x1 — 2 x 2 ), 'x1 + 2x2 < 10, — x + x2 < 2, . x1 — 4x2 < 4, x1, x 2 > 0
  13. x1,x2	5 > 0	max(x1 - 2 x 2), ' 2x1 + 3x2 > 6, 3x1 + 2x2 < 12, x1 + 2x2 < 8,	18	1 5	max(2 x1 + x 2), 4x1 + 3x2 > 12, x1 + 2x2 < 8, 2x1 + x2 < 10, x1, x 2 > 0
  14.	'	max(2x1 + x 2), 3x1 + 5x2 > 15, x1 + x2 < 6, - 3x1 + 2x2 < 6, x1, x2 > 0	19.		min( x1 — 2 x 2), x1 + x 2 > 1, 2x1 + 3x2 < 6, .         x1 < 8, x1, x 2 > 0
  15.	1	max(3x1 - x 2), '2x1 + 6x2 < 12, — X1 + x 2 < 1, x1 + x 2 > 1, x1, x2 > 0	Г 20.		min( —2 x1 + 3 x 2), ' x1 + x2 < 5, x1 + 4x2 > 4, — x1 + x2 < 3, x1, x 2 > 0

(21-30) Имеется m складских помещений (пунктов отправления) А₁, Л₂,...,
Am, в которых сосредоточены запасы груза в количествах a1, a2,..., a_m
единиц соответственно, и n пунктов назначения В_{, В₂,..., В_п, подавших
заявки соответственно на b1, b2,., bn единиц указанного груза. Известна
тарифная матрица C, в которой с_г j - стоимость перевозки одной единицы
груза из склада Ai в пункт назначения Bj ( i = 1, m; j = 1,n ). Найти план

перевозок учитывающий запасы груза на складах и объемы заявок пунктов
назначения, имеющий наименьшую общую стоимость. Исходные данные
задачи занесены в следующую таблицу

• a.    Построить математическую модель организации перевозок: записать
  оптимизационную задачу, дать экономическую интерпретацию вво-
  димых переменных.

• b.    Записать двойственную задачу, к построенной задаче линейного про-
  граммирования.

• c.    Составить начальный план перевозок по методам северо-западного
  угла и наименьшей стоимости. Укажите стоимости перевозок по
  этим планам.

• d.    Найти оптимальный план задачи по методу потенциалов и доказать
  его оптимальность по теореме двойственности.

21.

23.

24.

26.

27.

29.

30.