ПГУПС Математика 1

КР №5 Дифференциальные уравнения и ряды

Специализации УПП, УПЛ, УПГ.

(1-10) Найти общие решения дифференциальных уравнений.

• 1.    a. (2 y + 1)sin xdy + 5 ydx = 0;

• b. y ‘ sin x + y cosx = 2 x.

• 2’ a. (x + 2)cos2(2 y) dx + 3 xdy = 0;

• b. xy' — 2y = x⁴ cosx.

• 3-    a. ydx — (y + 3) tg(2 x) dy = 0;

3x

• b. yx — y = x e .

• 4.    a. 2 xdy — (2 x +1) tg(3 y) dx = 0;

• b. xy' + x² = 3y.

⁵ a. (5 y — 2) tg(7 x) dy — 2 ydx = 0;

b. xy' — y = 5x² cos(3x).

• a.    (2x² — 5^ctg(4y)dx + 3xdy = 0;

• b.    xdy = (2 x In x — y)dx.

• a.    — 3 ydx + (y² — 3 y )cos² (6 x) dy = 0;

• b.    (x In x — y)dx + xdy = 0.

• a.    (y² — 3)e^xdy — 5ydx = 0;

• b.    xy' — y = 2lnx.

• a.    — 5 xdy + (x ² — x )sin²(3 y) dx = 0;

• b.    y' — y = 4xe^x.

• a.  2 xdy + (x² — 4)e^ydx = 0;

• b.  xy’ — 3y = x⁵ sin(2x).

(11-20) Найти частное решение дифференциального уравнения методом неопределенных коэффи-
циентов.

11. y'■ 5y' + 6y = — e^2x, y(0) = 0,y'(0) = 0.

12. y ’■ y' = e^x, y(0) = 0, y'(0) = 0.

13. y’■ 6y' + 8y = 3e^x, y(0) = 0,y'(0)= 0.

14. y •-4y' + 3y = —3e2^x, y(0)=0, y'(0) = 0.

15. y■ — 2y' + y =— e^2x, y(0)= 0,y'(0) = 0.

• 16.    y” + 4y' + 4y = 9e^x, y(0) = 0, y'(0) = 0.

• 17.    y' — 6y' + 9y = 4e^x, y(0) = 0,y'(0)= 0.

• 18.    y' — 2 y' = 2e^2x, y(0) = 0, y'(0) = 0.

• 19.    y' + 2y' = —e-2^x, y(0) = 0, y'(0)=0.

• 20.    y' + 3y' + 2y = —e^2x, y(0) = 0,y'(0) = 0

(21-30) Найти общее решение дифференциального уравнения.

• 21.    y^m + 3y" + 2y' = 1 — x².                26. y"' — 5y" + 3y‘ + 9y = (32x — 32)e^—x.

• 22.    y'" — 4y" + 5y' — 2y = (16 —12x)e—^x.   ²⁷’ ⁷y'" ^— y" =^12x.

• 23.    yIV — 6y"‘ + 9y" = 3x — 1.              28. y'" — 4y" + 3y' = —4xe^x.

• 24.    y'" — 3y' — 2y = —4xe^x.                29. 3y^IV + y'" = 6x — 1.

• 25.    y^m — 2y " = 3x² + x — 4.               30. y^m — 4y" + 4y ‘ = (x — 1)e^2x.

(31-40) Найти общее решение системы линейных дифференциальных уравнений Y' = AY, в ко-
торой Y - матрица-столбец функций, A - матрица коэффициентов

	f У1( x ) '		an	a12	a131
Y =	У 2( Х )	; A =	a21	a22	a23
	V У 3(Х ) J		V a 31	a31	a 33 J

[^{4  - 2-}

31. A = -1   3-1

f^{3   1-}

36. A =  2   2-1

I ¹
f 2

-2

² J

-1  01

I—^{2  1   4} J

f 2   0  -11

• 32.    A = -120

I 1-11J

p ^-1-

• 33.    A = 0   2-1

• 37.    A =2   2-1

V- 2  14 ,

f²¹⁰

• 38.    A =  1   20 .

V⁰  -¹

2

J

( 5

-1

34.	A =	0	4
		V0	-1
		f5	-1
35.	A =	0	4
		V0	-1

- 4

-1

- ¹

-1

39.

40.

V-^{1  1}  3J

f 4  101

A =14 0

V-^{1  1  5}J

f 4  - 2

_-

11

A = -1   3   -1

V

1

-2

² J

(41-50) Найти точное и приближенные решения соответствующей задачи Коши у‘ = f (x,y),

Уо = У(Хо ). Приближенные решения найти по методу Эйлера: У_к = f (Х_к-1, y_k-1 )• h + y_k-1 с

шагом h1 = 1 и шагом h 2 = 0,5 на отрезке [0,б]. Значения

точного у (Х) и приближенных реше-

ний у(Х), у (Х) записать в таблицу. Построить графики точного и приближенных решений.
Сравнить полученные графики. Указать отклонения приближенных решений от точного на гра-
нице отрезка [0,6].

• 41-    У' = х^У, У(1) = 4.

• 42.    У' = x• 3/У, У(1)= 8.

• 43.    У' = x • 4[y, У(1) = 1.

• 44-    У ' = 5^У ,У ⁽¹⁾ = ².

2x

• 45-    У ' = —    , У⁽¹⁾ = ³.

2x

• 46.    У' = 3^-, У(1) = 1/4.

• 47.    у•= MZ , у(1)= 1.

• 48.    у' = ³x^^^y, у(1)= 1.

• 49-    у ‘ = ^У-, у⁽¹⁾=e.

3_x

• 50-    у ' =     , у(1) = e.

x

м

(51-60) Записать первые три члена числового ряда ^ a_n • и исследовать его сходи-
n=1

мость. Указать признак, по которому было принято решение.

51.

a_n

52.

a_n

3 n - 2

2ⁿ

n + 3

.

53.

a_n

54.

55.

.

4ⁿ

2n
" (n³ +1). 7ⁿ .

₂n_n

^an п

n ² + 5

2

n + 2

^an              "

ⁿ 3 n -1

.

• 4ⁿ.

56.

57.

58.

59.

60.

a_n

a_n

a_n

a_n

n² + 2

3ⁿ

n²

2 n +1

n⁵

•

•

(1Л ⁿ

•

12 J

(1Л ⁿ

•

n ² + 3 1⁵ J

n2

3n

n + 2

4

n + 2

an      3

n

• 5 ⁿ

•

м

(61-70) Найти общий член соответствующего степенного ряда ^ u_n (х). Найти
n=1

интервал сходимости этого ряда и исследовать его поведение ряда на концах ин-
тервала сходимости. Найти значение суммы ряда в точке x с точностью до 0.001,
выписав соответствующее число слагаемых и сославшись на теорему Лейбница.

61.	x —	2 , 3(x — 2)2 ^5(x—2)3
	6 x __L	+           o'                     +       , 6263 x2x3
62.
	2 +	-----+-----------+ • • • . 2•8   2•8•14

63.	2 x + 3	2(2 x + 3)2 +    32	3(2 x + 3)3 33,
	3
64.	x — 1 — 1 • 2	Ь ^+ 2 • 3	(x — 1)3 3 • 4         ,
65.	2x     4x2 1 +—,___+—,___		8x3 - +—.     +----
	75 • 5   79 • 5:		2 713•53       ’
66.	x — 1 — 1 • 2	(x —1)2 h’--^ + 3 • 22	(x — 1)3 5 • 23
		24	6
67.	1          I— + О            П     /— +----, 3 • 272  32 • з7з  33 • 474
68.	x — 1	, 2(x — 1)2	3( x — 1)3
	2	22	23,
69.	x +1	2( x +1)2	3( x +1)3
	2	22	23,
70.	x — 2 2 • 3	,(x—2)2, 3 • 4	- (x—^ + , 4 • 5

x 0 —1,5.

^x0 ^—-1.

x 0 ^{— -1}.

x ₀ — 0,5.

x ₀ — -0,5.

x 0 ^—10

^x 0 ^{— 1}.

x ₀ — 0,5.

x ₀ — -1,5.

x ₀ —1,5.

(71-80) Вычислить определенный интеграл
подынтегральную функцию в степенной ряд.

с точностью до 0.0001, разложив

• 71.    J e ^x 2 dx.

0

¹ sin4x

• 72.    I -------dx.

0.5 ^x

0.1       ₂

• 73.    J e ^2x dx.

0

¹ dx

• 74.    J ^^=.

0 Vs + x³

1

75.  J cosx²dx.

0

76.

77.

78.

79.

80.

J sin (2x² dx.

0

1

J

0.2

1

J

0

sin² x

dx .

x²

dx

732 + x² '

1

J

0.5

0.5

J

0

In 1 + x

к ² 7

x

dx.

e^x

dx .

x

Скачать методический материал