Математическое моделирование систем и процессов

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»
(РУТ (МИИТ)

Одобрено кафедрой

«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ»

Протокол № от             201 г.

Автор:

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВОЙ ПРОЕКТ С МЕТОДИЧЕСКИМИ
УКАЗАНИЯМИ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ И ПРОЦЕССОВ

Уровень ВО:        Бакалавриат

Форма обучения:    Заочная

Курс:

3

Специальность/Направление: 27.03.04 Управление в технических системах
(УТб)

Специализация/Профиль/Магистерская программа: (УТ) Системы и
технические средства автоматизации и управления

Москв

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

По дисциплине «Математическое моделирование процессов и систем» студенту
необходимо выполнить курсовой проект.

Перед выполнением работы студент должен ознакомиться с содержанием разделов
изучаемой математической дисциплины, на освоение которых ориентирован выполняемый
курсовой проект (см. методические материалы, выданные в электронном виде на установочной
сессии). Необходимую учебную литературу студент может найти в рабочей программе по
дисциплине «Математическое моделирование процессов и систем» (в программе указана как
основная, так и дополнительная литература).

Проект выполняется в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны:
дисциплина, шифр студента, курс, фамилия, имя и отчество. На обложке вверху справа
указывается фамилия и инициалы преподавателя-рецензента. В конце работы студент ставит
свою подпись и дату выполнения работы.

В каждой задаче надо выписать ее условие, подробно изложить теоретический материал,
пояснить ход решения, дать комментарии к вычислениям и оценку полученным результатам.
Все задачи дополнительно надо решить с использованием пакета maxima. После каждой задачи
следует оставлять место для замечаний преподавателя-рецензента. В случае невыполнения
этих требований преподаватель возвращает работу для доработки без ее проверки. В конце
работы следует привести список используемой литературы.

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

Задание 1.

Построить математическую модель механической системы, состоящей из пружины с
жесткостью k, один конец которой жестко закреплен, а на другом находится тело массой m.
Тело скользит по горизонтальному стержню: коэффициент трения скольжения μ. Смещение
тела из положения равновесия равно x0.

Найти:

• а)    амплитуду, частоту и период свободных колебаний механической системы;

• б)    частоту и период затухающих колебаний системы;

• в)    уравнение огибающей кривой колебаний;

• г)    смещение, скорость и ускорение тела в момент времени t для затухающих

колебаний.

Построить графики смещения свободных и затухающих колебаний системы в
зависимости от времени.

• 1.1.    k = 94 н/м , m = 0,6 кг , μ = 0,52 , x0 = 10 см , t = 2,5 с;

• 1.2.    k = 96 н/м , m = 0,7 кг , μ = 0,56 , x0 = 12 см , t = 2 с;

• 1.3.    k = 98 н/м , m = 0,8 кг , μ = 0,58 , x0 = 14 см , t = 3 с;

• 1.4.    k = 100 н/м , m = 0,9 кг , μ = 0,6 , x0 = 10 см , t = 3,5 с;

• 1.5.    k = 102 н/м , m = 1 кг , μ = 0,62 , x0 = 11 см , t = 4,5 с;

• 1.6.    k = 104 н/м , m = 1,1 кг , μ = 0,64 , x0 = 13 см , t = 4 с;

• 1.7.    k = 106 н/м , m = 1,2 кг , μ = 0,66 , x0 = 9 см , t = 5 с;

• 1.8.    k = 108 н/м , m = 1,3 кг , μ = 0,68 , x0 = 15 см , t = 3,5 с;

• 1.9.    k = 110 н/м , m = 1,4 кг , μ = 0,7 , x0 = 10 см , t = 4 с;

• 1.10.    k = 112 н/м , m = 1,6 кг , μ = 0,72 , x0 = 14 см , t = 5 с.

Задание 2.

Подводная лодка водоизмещением V движется горизонтально со скоростью и на глубине
H от поверхности моря. Средняя плотность лодки р1. В момент tо = 0 лодка начинает всплытие.
Сопротивлением воды пренебречь.

Определить:

• а)    время 11, когда лодка всплывет на поверхность моря;

• б)    расстояние L, которое пройдет лодка в горизонтальном направлении в момент
  всплытия;

• в)    вертикальную скорость и лодки;

• г)    траекторию движения подводной лодки в координатах (l, h);

• д)    тип соответствующей кривой.

Плотность воды принять равной ро = 10^-3 кг/м³. Сделать чертеж.

• 2.1. V = 1150 т, и = 15 км/ч, Н = 300м, р 1 = 0,5Л0"³ кг/м³;

• 2.2. V = 1280 т, и = 20 км/ч, Н = 350 м, р 1 = 0,640^-3 кг/м³;

• 2.3. V = 1200 т, и = 25 км/ч, Н = 250 м, р 1 = 0,840^-3 кг/м³;

• 2.4. V = 1360 т, и = 18 км/ч, Н = 280 м, р 1 = 0,740^-3 кг/м³;

• 2.5. V = 1420 т, и = 16 км/ч, Н = 320 м, р 1 = 0,65 4 0'³ кг/м³;

• 2.6. V = 1170 т, и = 22 км/ч, Н = 260 м, р 1 = 0,85 4 0'³ кг/м³;

• 2.7. V = 1500 т, и = 17 км/ч, Н = 310 м, р 1 = 0,5540'³ кг/м³;

• 2.8. V = 1800 т, и = 24 км/ч, Н = 330 м, р 1 = 0,75-10'³ кг/м³;

• 2.9.    V = 1600 т, и = 19 км/ч, Н = 340 м, р 1 = 0,64 0'³ кг/м³;

• 2.10.    V = 1700 т, и = 25 км/ч, Н = 280 м, р 1 = 0,840'³ кг/м³.

Задание 3.

Пусть заданы координаты точек А и С. Точка В лежит на прямой у = 0.

Используя вариационные принципы построения математических моделей, найти:

• а)    условие при котором ломаная АВС имеет наименьшую длину;

• б)     числовое значение этого условия;

• в)    наименьшую длину ломаной АВС.

  • 3.1.    А (-5;10), С (25;15);

  • 3.2.    А (5;15), С(30;5);

  • 3.3.    А (0;5), С(25;10);

  • 3.4.    А (-10;15), С (20;10);

  • 3.5.    А (5;10), С(30;15);

  • 3.6.    А (-5;5), С (15;15);

  • 3.7.    А (-10;5), С (20;15);

  • 3.8.    А (0;10), С(25;5);

  • 3.9.    А (5;5), С(30;10);

  • 3.10.    А (-5;15), С (25;10).

Задание 4. Провести идентификацию эмпирической математической модели.

Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка

W = a0 + a 1 x + a₂x²,   0 < x < 10.

Считаем, что величина х измеряется точно, а W – с ошибкой ε, имеющей нормальное
распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией
М(ε) = 0, σ²(ε) = 1. Проверить адекватность модели методом Фишера.