Численные методы в инженерных расчетах
МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»
(РУТ (МИИТ)
Одобрено кафедрой
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ»
Протокол № 2 от 8 сентября 201 8 г.
Автор: Ридель Валерий Вольдемарович, д.ф.-м.н.
ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ С МЕТОДИЧЕСКИМИ
УКАЗАНИЯМИ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Численные методы в инженерных расчетах
Уровень ВО: Бакалавриат
Форма обучения: Заочная
Курс: 3
Направление: 27.03.04 Управление в технических системах (УТб)
Профиль: (УТ) Системы и технические средства автоматизации и
управления
Москва
Задания на курсовую работу
Задание 1.
Для заданной функции y(x 1,x2,x3) определить: значение функции y , абсолютную
погрешность л(y ), относительную погрешность ^(y ) при заданных x 1, x 2 , x 3 .
Считать, что все цифры в данных верные для x1 в широком смысле, а для x2 и x3 в
узком смысле. При решении задачи использовать в качестве инструмента пакеты Maxima,
Excel.
|
Вариант |
y |
x1 |
x2 |
x |
|
1 |
3 2 + xj - x3 xj |
-1.5 |
1.0 |
2.0 |
|
2 |
2 xx x 2 xj + x3 |
-2.5 |
1.1 |
2.1 |
|
3 |
2 x, - x, . x„ 13 2 2 + x 1 x2 x3 |
-2.6 |
1.2 |
2.2 |
|
4 |
3 * x j2 + x 2 x 2 - 2 * x 3 |
-2.7 |
1.3 |
2.3 |
|
5 |
2 * xj + x 2 2 x2 + x3 |
-2.8 |
1.4 |
2.4 |
|
6 |
2 * x3 + 3 * x22 |
-2.9 |
1.5 |
2.5 |
|
7 |
42 xt + 2* x2 2 x3 — x1 |
-3.5 |
1.6 |
2.6 |
|
8 |
2 + x2 + x3 x2 |
-4.5 |
1.7 |
2.7 |
|
9 |
x 2 + 3 * x2 . 2 + x 1* x 2 x3 + x3 |
-5.5 |
1.8 |
2.8 |
|
10 |
3 x3 22 x + x2 + x3 |
-6.5 |
1.9 |
2.9 |
Задание 2.
-
2.1. Интерполировать с помощью многочлена Лагранжа функцию, заданную таблицей
(таблица П1): составить многочлен Лагранжа по трем произвольно выбранным
узлам и вычислить его используя в качестве инструмента пакет Maxima. -
2.2. Интерполировать эти же данные (все узлы), используя встроенные в Maxima
функции (lagrange). -
2.3. Построить на одном рисунке графики интерполяционных функций, построенных
в соответствии с заданиями 2.1 и 2.2.
Таблица П.1
№ Вар.\ № точки 1 2 3 4 5 6
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
|
0 |
y |
15,7 |
14,8 |
21,4 |
22,3 |
30,6 |
32,7 |
|
1 |
18,1 |
25,3 |
29,4 |
28,5 |
32 |
36,5 | |
|
2 |
12,9 |
32,25 |
42 |
42,8 |
55 |
69,6 | |
|
3 |
20,81 |
33,95 |
40,39 |
50,6 |
59,3 |
59,7 | |
|
4 |
11,4 |
25,6 |
31,5 |
38,4 |
50,7 |
52,4 | |
|
5 |
21,1 |
20,7 |
32,7 |
40,8 |
54,6 |
53,4 | |
|
6 |
29,7 |
33,4 |
32 |
44,5 |
53,3 |
65 | |
|
7 |
22,52 |
34,5 |
27,2 |
38,5 |
50,8 |
61,8 | |
|
8 |
3,21 |
21,3 |
71,6 |
45,6 |
78,5 |
6,12 | |
|
9 |
5,12 |
1,23 |
3,26 |
4,23 |
12,5 |
36,98 |
Задание 3.
-
3.1. Провести линейную регрессию, используя координаты исходных точек,
приведенных в таблице (табл. П.2). Для проведения регрессии использовать метод
наименьших квадратов. Вычисления выполнить в maxima и Excel’e. -
3.2. Провести регрессию для исходных данных (см. табл. П.2), используя встроенные
maxima-функции (например, simple_linear_regression). -
3.3. Построить на одном рисунке графики, соответствующие зависимостям,
полученным по 3.1. и 3.2.
Таблица П.2
|
№ Вар.\ № точки |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 | |
|
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 | |
|
0 |
y |
15,7 |
14,8 |
21,4 |
22,3 |
30,6 |
32,7 |
|
1 |
18,1 |
25,3 |
29,4 |
28,5 |
32 |
36,5 | |
|
2 |
12,9 |
32,25 |
42 |
42,8 |
55 |
69,6 | |
|
3 |
20,81 |
33,95 |
40,39 |
50,6 |
59,3 |
59,7 | |
|
4 |
11,4 |
25,6 |
31,5 |
38,4 |
50,7 |
52,4 | |
|
5 |
21,1 |
20,7 |
32,7 |
40,8 |
54,6 |
53,4 | |
|
6 |
29,7 |
33,4 |
32 |
44,5 |
53,3 |
65 | |
|
7 |
22,52 |
34,5 |
27,2 |
38,5 |
50,8 |
61,8 | |
|
8 |
28,9 |
31,5 |
50,3 |
42,1 |
63,4 |
58,8 | |
|
9 |
28,3 |
22,6 |
38,2 |
47 |
50,9 |
56 | |
Задание 4.
-
4.1. Вычислить определенный интеграл (табл. П.3) методом прямоугольников, трапеций и
Симпсона в пакете Maxima и Excel. -
4.2. Вычислить тот же интеграл при помощи встроенных в Maxima функций (integrate,
romberg, . quad_qags, risch) и сравнить результаты по точности.
Таблица П.3
|
№ Вар. |
Задание |
№ Вар. |
Задание |
|
0 |
1.6 dx oJ8a/2 x2 + 1.3 |
5 |
2f8lg(1 + x2) dx /2 2 x - 1 |
|
1 |
2.4 J( x + 1) sin( x ) dx 1.6 |
6 |
0.66 dx o.32 л/x + 2.3 |
|
2 |
0.72 f (y/x + 1)g (2 x ) dx 0.6 |
7 |
1.2 cos( x) | dx 0J4 x + 2 |
|
3 |
2.7 dx 1.2 Vx 2 + 1 |
8 |
1.6 dx 0.8^2 x 2 + 1 |
|
4 |
2.5 2.3 Vx 2 - 4 |
9 |
1.4 dx Lyl12 x 2 + 0.5 |
Задание 5
Методом половинного деления и методом итераций найти корень уравнения f (x) = 0 на
отрезке x 6 [a, b] c точностью 0.0001. (см. таблицу) и проверить его с помощью
встроенных maxima-функций.
|
№ Варианта |
f(x) |
[ a, b ] |
|
0 |
x5 -15 • x2 -103 |
[ 3,5;4,2 ] |
|
1 |
x5 -15 • x -103 |
[3,8; 4,5] |
|
2 |
x5 - 5 • x3 +10 |
[1,1;1,7 ] |
|
3 |
x3 + x - 3 |
[- 10;10 ] |
|
4 |
x3 + x2 - x + 0.5 |
[0,1;1,1] |
|
5 |
x7 -100 • x5 +10 |
[0,1;0,7 ] |
|
6 |
9 33 x +3•x -10 |
[1;2,3] |
|
7 |
x5 -15 • x4 -103 |
[14,8;15,3] |
|
8 |
x7 -15 • x5 +10 |
[0,1;1,1] |
|
9 |
x9 -15 • x2 -103 |
[2;2,4] |
Задание 6
Методом Ньютона найти корень уравнения f(x) = 0 на отрезке x 6 [a, b ] c точностью
0.0001. (См. таблицу П.4.)
-
6.1 Начальное приближение определить в пункте а) с помощью условия сходимости, а в
пункте б) графически. Использовать пакеты Maxima и Excel. -
6.2 Решить эту задачу с помощью встроенных функции (newton,real_roots…) .
Таблица П.4
|
№ |
f(x) |
* ** [x;x] |
f(x) |
[ a, b ] |
|
0 |
а) x5 -15 • x2 -103 |
[3,5;4,2 ] |
б) sin6 x - 0,9 |
[1,1;1,5] |
|
1 |
а) x5 -15 • x -103 |
[3,8; 4,5] |
б) x15 + 3 • x2 -10 |
[1;1-5] |
|
2 |
а) x5 - 5 • x3 +10 |
[1,1;1,7 ] |
б) tg (x) - 5 x2 + 1 = 0 |
[-1;1] |
|
3 |
3 а) x + x - 3 |
[- 10;10 ] |
43 б) sin x - sin x |
[ 0,3;1] |
|
4 |
а) x3 + x2 - x + 0.5 |
[ 0,1;1,1] |
б) x15 + 3 • x2 -100 • sin x |
[-0,3;0,5] |
|
5 |
а) x7 -100 • x5 +10 |
[0,1;0,7 ] |
б) sin4 x - 0,3 |
[ 0,5;1] |
|
6 |
а) x9 + 3 • x3 -103 |
[1;2,3] |
б) sin3 x - 0,32 • x + 5 |
[0,5;19 ] |
|
7 |
a) x5 -15 • x4 -103 |
[14,8;15,3] |
б) x5 + 3 • x2 -10 |
[1:1.8] |
|
8 |
a) x7 -15•x5 +10 |
[ 0,1;1,1] |
б) sin3 x - 0,3 |
[ 0,5;1] |
|
9 |
a) x9 -15 • x2 -103 |
[2;2,4] |
б) sin6 x - 0,2 |
[0,5;1,5] |
Задание 7.
-
7.1. Решить неоднородную систему линейных алгебраических уравнений (см. табл. П.6,
задание а)) в интегрированном пакете Maxima и Excel по методу Крамера; -
7.2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений (см. табл. П.6,
задание б)) при помощи встроенных в Maxima функций (.linsolve, algsys).
Таблица П.6
|
№ Вар. |
Задание а) |
Задание б) | ||
|
0 |
x1+2x2 x3 3; 3 x + x - 2 x = 1; 2x + x - 2x = 0. |
2 xj + x2 + x3 = 0; ^ 3xj - x2 + 2x3 = 0; | ||
|
1 |
3 x- x 2 + x3 = 10; x - 3 x + 2 x = 11; |
3x - 7x2 + 2x3 = 0; x — x2 —14 x3 = 0. | ||
|
2 |
3 x + x - 2 x = 1; |
x + 4 x^ — 2 x3 = 0; xj + x2 - 5x3 = 0; 2x +11 x2 - x3 = 0. | ||
|
3 |
5x + x - 3x = 2; |
—2 x^ + x2 — 3 x^ = 0; 3 x + 2 x2 + 2 x3 = 0. | ||
|
4 |
x1 - 2x2 - x3 = 2; x + 4x2 - 2x = 3; x + x - 2x = 0. |
2x + 7x2 - 5x3 = 0; —x — 4 x^ + 2 x3 = 0; | ||
|
5 |
3 x — x., — 4 x = —2; |
^ |
12 x + 3 x2 + 7 x3 = 0; 2x - 3x2 + 4x3 = 0; 8x + 9x2 - x3 = 0. | |
|
6 |
5 x^ + x^ — 4 x3 = —4; |
10x - 8x2 + 3x3 = 0; | ||
|
7 |
xj - x2 + 3x3 = 6; 3xj - 4x2 + x3 = 18; |
x - 2x2 + x3 = 0; 3xj -11 x2 - 3x3 = 0; | ||
|
8 |
5 |
3Xj - 2x2 + 5x3 = 8; Xj - 2x2 + x3 = 10; |
5 |
3Xj - 8x2 + 6x3 = 0; 2Xj - 9x2 + 3x3 = 0; |
|
9 |
4Xj - x2 + 5x3 = 8; X -3x2 + x3 =-l; Xj + 3x2 - 4x3 = 0. |
2Xj - x2 + 5x3 = 0; Xj — 4 x2 — 3 x3 = 0; Xj + 3 x2 + 8 x3 = 0. |
Задание 8.
-
8.1. Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка (см. Таб.7)
методом Эйлера и модифицированным методом Эйлера на отрезке [a;b] при шаге
вычислений h=0.1 символьно в пакете Maxima. -
8.2. Найти частное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта 4-го
порядка при помощи встроенной функции rk. -
8.3. Найти частное решение дифференциального уравнения при помощи встроенной в
Maxima функций (ode2,). Сравнить результаты по точности.
Таблица П.7
|
№ Варианта |
Задание |
|
0 |
y' = X 2 - 2 y , У (1) = 2 , a=1, b=1.5 |
|
1 |
У'- 2У = X2, У(0) = 1, a=0, b=1 |
|
2 |
y' + 2 y = X, y (0) = 1, a=0, b=i |
|
3 |
y' - 5 y = 1 - 3 X, y (0) = 1, a=0, b=i |
|
4 |
y' = Xy - У , у(2) = 3 , a=2, b=2.5 |
|
5 |
y' + y = X2 - X, y(0) = 2 , a=0, b=1 |
|
6 |
y' - y = eX, У(0) = 1, a=0, b=1 |
|
7 |
y' + 4y = e-X, y(0) = 1, a=o, b=i |
|
8 |
У' = Xy + y , y(3) = 4 , a=3, b=3.5 |
|
9 |
y' = -y + eX, y(0) = 1, a=0, b=0.5 |
-
8.4. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка (см. Таб.8)
методом Эйлера и на отрезке [a;b] при шаге вычислений h=0.1 в пакете Maxima. -
8.5. Найти частное решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта 4-го
порядка при помощи встроенной функции rk. -
8.6. Найти частное решение дифференциального уравнения при помощи встроенной в
Maxima функций (ode2,). Сравнить результаты по точности.
Таблица П.8
|
1 |
v" — v = sin x+ cos 2x |
[y(0)=L8 |
[0; 2] | |
|
2 |
/ - 3 -1/ = eSl |
i(0) = 2.j |
т'(0) = 0.8 |
[0; 0.25] |
|
3 |
/ + 4 ■ j' = cos 3.x |
v(0)=Q |
1/(0) =1| |
[0; 1] |
|
4 |
у" — у' — 6- у = 2 ■ е4* |
|у(0)=0 |
Л0)=<з |
[0; 1] |
|
5 |
у' - 2 ■ у' + у = 5 - х - е* |
)(0) = -0.9 |
?(0) = ^.5S3 |
[0; 1] |
|
6 |
у^ + у'-б-у =3-х: -х-1 |
)(0) = -0.9 |
|у'(0)=3.2 |
[0; 1] |
|
7 |
|8-/+2-у,-3-у=х+5 |
У(0) = -у |
[0; 1] | |
|
8 |
х2-/-2-у = 0 |
|yQ=i| |
^111 |
[1; 2] |
|
9 |
у(0) =2.5 |
|у'(0) = 2.2 |
[0; 0.5] | |
|
10 |
у' - 5 - у' - 6 - у = е~ |
|у(0)=0 |
у'(0) =0 |
[0; 0.25] |
Комментарии (0)