МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»
(РУТ (МИИТ)

Одобрено кафедрой
«ТЕПЛОЭНЕРГЕТИКА И ВОДОСНАБЖЕНИЕ НА ЖД ТРАНСПОРТЕ»

Протокол № 2.09 от 08 сентября 201 8 г.

Автор: Кузьминский Р. А., к.в.н., профессор

ЛЕКЦИИ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ГИДРАВЛИКА

Уровень ВО: Бакалавриат

Форма обучения: Заочная

Курс:

Специальность/Направление: 23.03.01 Технология транспортных
процессов (ТПб)

Специализация/Профиль/Магистерская программа: Организация
перевозок и управление в единой транспортной системе (ТЕ)

Москва

Раздел 1. ОСНОВЫ ГИДРОСТАТИКИ.

Содержание:

1.1. Основные физические свойства жидкостей и газов.
1.2. Гидростатика.

1. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
- 1.1. Характеристика жидкостей и газов

Жидкостью называется физическое тело, обладающее легкой подвижностью частиц, то есть
текучестью.

Жидкости с точки зрения физико-механических свойств разделяются на два класса - капельные
жидкости (или малосжимаемые) и газы (или сжимаемые жидкости). Жидкость рассматривается в
гидравлике обычно как сплошная (непрерывная), однородная и изотропная среда, обладающая одинаковыми
свойствами во всех точках и по всем направлениям.

Основными физическими свойствами жидкости и газов, базируясь на которых в гидравлике
устанавливаются общие законы ее равновесия и движения, являются:

1) текучесть, 2) весомость, 3) изменяемость объема и 4) вязкость.

1.2. Текучесть

Текучестью называется неспособность жидкости сопротивляться внутренним сдвигающим
усилиям, вызванным сколь угодно малыми силами.

Свойство текучести выражает физически главное отличие жидкого тела от твердого тела.

Вследствие текучести, жидкость, находясь в покое, растекается под действием собственного веса и
принимает форму того сосуда, в котором находится. Растекаясь в сосуде и занимая часть его объема,
жидкость всегда образуют свободную поверхность.

Газы, растекаясь, всегда занимают весь объем сосуда и не образуют свободной поверхности.

1.3. Удельный вес и плотность

Удельным весом у называется вес единицы объема жидкости, который определяется по формуле

^G

^Y W ’

(1.1)

где: G – вес жидкости в объеме W.

Удельный вес - величина размерная. Его размерность

[G] н _кгс

[W] м³ м³ ■

Плотностью р называется масса, заключенная в единице объема жидкости, которая определяется
по формуле

Р=W; (1.²⁾

где: М - масса жидкости, заключенная в объеме W.

Размерность плотности:

в системе СИ

[M] кг

[^Р] [W ] м

Зависимость между удельным весом и плотностью жидкости легко получить, помня, что по
второму закону Ньютона

G = Mg.

Разделив обе части уравнения на объем W, получим

Y = Р g. (1.3)

Это равенство выражает второй закон Ньютона, записанный для единицы объема жидкости.

Удельный объем V – объем единицы массы вещества - величина, обратная плотности.

V = W/m=1/ρ.

Размерность – [м3/кг].

1.4. Изменяемость объема жидкостей и газов под действием температуры и давления

Изменяемость объема от давления и температуры для капельных жидкостей.

Свойство жидкости изменять объем под действием давления называется сжимаемостью и
характеризует упругость жидкости.

Изменение объема жидкости Д W_p при изменении давления на А р (рис. 1.1)

-AW = в .ДpW. (1.4)

pw ⁰

Величина —A W_p, характеризующая изменение объема жидкости при изменении давления,
отрицательна, так как при сжатии жидкости положительному приращению давления соответствует
отрицательное приращение объема.

Сжимаемость жидкости оценивается коэффициентом объемного сжатия Pw

^Pw

_—

1_ ^ДW , соответственно W = W (1 — в Ар) р =---—---, (1.5)

W0 aр ^{w Л} 1 + в A W

где: W0 - начальный объем жидкости; ΔW - изменение объема при изменении давления на Δp.

Коэффициент объемного сжатия Pw представляет собой относительное уменьшение объема
жидкости (по отношению к начальному объему) при увеличении давления на единицу и имеет размерность
обратную размерности давления

[ в] =

1
^p

= м—или
н

2
см
кгс

Рис. 1.1

Величина обратная коэффициенту объемного сжатия является модулем упругости жидкости при
всестороннем сжатии

1 н кгс

^E = \2; 2]' ⁽12⁶⁾

w м см

Капельные жидкости, как и твердые тела, представляют собой малосжимаемую, малоупругую среду
(модуль упругости воды E=2,1.10³ кгс/см², стали E=2.10⁶ кгс/см²). В связи с этим при решении очень многих
практических задач гидравлики сжимаемостью жидкости можно пренебречь, полагая, что жидкость не
изменяет своего объема при изменении давления (Pw=0), а, следовательно, ее удельный вес и плотность
остаются постоянными: y=const и p=сonst.

В отдельных случаях сжимаемость должна учитываться, например, при гидравлическом ударе,
связанном с упругими колебаниями жидкости.

Температурное расширение - изменение объема жидкости при увеличении температуры при Р =
const.

Изменение объема жидкости

A W_t

при изменении температуры на At равно

A W_{ = в .At,W₀.

(1.7)

Изменение объема жидкости при изменении температуры характеризуется коэффициентом
объемного (температурного) расширения Pt.

в = 1Г AW , соответственно W = W (1 + в AT), Р =--Р0---, (1.8)

t W0 At ^0V t ^{л M} I + в AT ,

где: W - начальный объем жидкости;

dW - изменение объема при изменении температуры на Δt.

Величина Pt выражает относительное изменение объема жидкости при изменении температуры на

единицу и имеет размерность

[ Pt ] 4t.

t

1
градус^.

Объем жидкости с увеличением температуры увеличивается. Однако это увеличение незначительно.

Например, у воды при изменении температуры от 0 до 100°С при давлениях от I до 100 ат величина Pt

изменяется в пределах

в = (0,000014- 0,000714)^,

tC

т.е.достигает максимум 0,07 % при увеличении температуры на 1°С, Поэтому при решении многих

практических задач влиянием изменения объема жидкости при изменении температуры на величину ее
удельного веса и плотности можно пренебречь, полагая Pt = 0, а, следовательно, у = const и р = const .
Однако, следует учитывать, что увеличение объема жидкости при повышении температуры может вызвать
опасные последствия, например, разрушение гидравлической системы, в которой заперты без возможности
расширения значительные объемы жидкости и т.п.

Изменяемость объема от давления и температуры для газов.

В отличие от капельных жидкостей газы характеризуются значительной сжимаемостью и высокими
значениями коэффициента температурного расширения.

Характерной особенностью изучения сжимаемых жидкостей является необходимость учитывать
соотношение между давлением p, плотностью (удельным весом) Y=gP, удельным объемом V = 1/ у и

температурой Т° К (Кельвина).

Это соотношение, устанавливающее зависимость между физическими величинами, определяющими
состояние газа (давлением газа р, его объёмом V и абсолютной температурой Т) называется уравнением

состояния.

Для идеального газа уравнение состояния (уравнение Клапейрона - Менделеева) записывается в
следующем виде:

p ■ V = R • Т; или p = Р = R • Т, (1.9)

Y g • Р

где: R = 29,27 м/°К - универсальная газовая постоянная;

g = 9,81 м/c² - ускорение силы тяжести.

Газовая постоянная имеет физический смысл работы расширения 1 моля (моль - число граммов
химического вещества, равное его молекулярной массе) идеального газа под постоянным давлением при
нагревании на 1°. Газовая постоянная обычно численно выражается в следующих единицах: 8,3143 ± 0,0012
дж/град-моль, 8,314-10⁷ эрг/град-моль, 1,986 кал/град-моль, 82,05-10^-3 л·атм/град-моль.

Универсальная газовая постоянная, отнесённая не к 1 молю, а к 1 молекуле, называется постоянной
Больцмана. Постоянная Больцмана - одна из основных физических постоянных, равная отношению
универсальной газовой постоянной R к числу Авогадро NA

k = R/NA (k = (1,38054±0,00018)´10^-23дж/К).

(Число Авогадро - число молекул в 1 моле любого вещества, оно одинаково и равно 6,02252^.10²³.
Моль любых веществ, находящихся в состоянии идеального газа, при нормальных условиях [0°С и давлении
101325 н/м² (760 мм. рт. ст.)] занимают приблизительно один и тот же объём, равный 22,4 л).

Для газа, имеющего общую массу М и молекулярную массу μ, уравнение состояния записывается в

виде

M

pV = —RT, илиpV=NkT, (1.10)
А

где N - число частиц газа, k - Больцмана постоянная.

Уравнение состояния представляет собой уравнение состояния идеального газа, которое объединяет
Бойля - Мариотта закон (зависимость между р и V при Т = const), Гей-Люссака закон (зависимость V от Т
при р = const) и Авогадро закон (согласно этому закону, газы при одинаковых значениях р, V и Т содержат
одинаковое число молекул N).

Уравнение Клапейрона - наиболее простое уравнение состояния, применимое с определённой
степенью точности к реальным газам при низких давлениях и высоких температурах (например,
атмосферный воздух, продукты сгорания в газовых двигателях и др.), когда они близки по своим свойствам
к идеальному газу.

Наиболее простыми свойствами обладает газ, разреженный настолько, что взаимодействие между
его молекулами может не учитываться, так называемый совершенный (идеальный) газ. Для совершенных
газов справедливо уравнение Клапейрона, позволяющее определять плотность газа при известных давлении

и температуре, т. е.

р = p /(RT), (1.11)

где р - абсолютное давление; R - удельная газовая постоянная, различная для разных газов, но не зависящая
от температуры и давления [для воздуха R=287 Дж/(кг ^. К)]; Т - абсолютная температура.

Поведение реальных газов в условиях, далеких от сжижения, незначительно отличается от

поведения совершенных газов, и для них в широких пределах можно пользоваться уравнениями состояния

совершенных газов.

В технических расчетах плотность газа обычно приводят к нормальным физическим условиям
(t=0°С; Р=101325 Па) или к стандартным условиям (t=20°С; р=101325 Па).

Плотность воздуха при R=287 Дж/(кг ^. К) в стандартных условиях по формуле (1.11) будет

Р =

101325

287(273 + 20)

= 1,2 кг / м³.

При других условиях плотность воздуха определяется по формуле

pT

P = Ро—^-(1.12)
^p0 ^T

Для изотермического процесса (T=const) из формулы (2.10) имеем

p/ρ= const, (1.13)

а для адиабатического процесса

р/ρ^k = const, (1.14)

где k = cp/cv - адиабатическая постоянная газа (здесь сp - теплоемкость газа при постоянном
давлении; сv - то же, при постоянном объеме).

Сжимаемость газов зависит от характера процесса изменения состояния:

для изотермического процесса

E0=p. (1.15)

а для адиабатического

Е₀ = kp. (1.16)

Из выражения (19) следует, что изотермическая сжимаемость для атмосферного воздуха
составляет ~9,8-10⁴Па, что примерно в 20 тыс. раз превышает сжимаемость воды.

Сжимаемость сплошной среды можно также характеризовать отношением приращения давления dp
к приращению ее плотности dp. Характеристикой, определяющей зависимость изменения плотности газа
при изменении давления в движущемся потоке, является скорость распространения звука а.

В однородной среде скорость распространения звуковых колебаний, как отмечено выше,
определяется из выражения.

а²= dp/dρ. (1.17)

С учетом соотношений (8) и (9) из выражения (21) находим скорость звука в виде зависимости

а = JЕ_о / р. (1.18)

Для адиабатического процесса из выражений (18) и (14) следует: dp/dρ=kр/ρ=kRT, откуда для газов

а = kRRT. (1.19)

Скорость распространения звука (при t=20°С) в воздухе составляет 330 м/с, в углекислом газе - 261
м/с, в воде - 1480 м/с.

Поскольку объем газа в большой мере зависит от температуры и давления, выводы, полученные при
изучении капельных жидкостей, можно распространять на газы лишь в том случае, если в пределах
рассматриваемого явления изменение давления и температуры невелико.

Значительные разности давлений, вызывающие существенное изменение плотности газов, могут
возникнуть при движении газов с большими скоростями. Соотношение между скоростью движения жидкости
и скоростью звука в ней позволяет судить о необходимости учета сжимаемости в каждом конкретном случае.
Практически газ можно принимать несжимаемым при скоростях движения, не превышающих 100 м/с.

1.5. Вязкость жидкостей и газов

Вязкостью называется способность движущейся жидкости оказывать сопротивление
относительному движению (сдвигу) частиц жидкости. Это свойство противоположно текучести и является
причиной возникновения в движущейся жидкости сил трения между ее частицами и между жидкостью и
твердым телом (например, жидкостью и стенками трубы, русла, корпусом плавающего тела).

Таким образом, вязкость характеризует степень текучести жидкости или подвижности ее частиц.

Пусть жидкость течет вдоль плоской стенки параллельными ей слоями (рис. 1.2), как это наблюдается
при ламинарном движении.

Вследствие тормозящего влияния стенки слои жидкости будут двигаться с разными скоростями,
значения которых возрастают по мере отдаления от стенки. Рассмотрим два слоя жидкости, движущиеся на
расстоянии Δу друг от друга. Слой А движется со скоростью и, а слой В со скоростью и+Δи. Вследствие
разности скоростей слой В сдвигается относительно слоя А на величину Δи (за единицу времени). Величина Δи
является абсолютным сдвигом слоя А по слою В, а Δи/Δy есть градиент скорости (относительный сдвиг). При
этом движении появляется касательное напряжение τ (сила трения на единицу площади).

Рис. 1.2. Распределение скоростей при течении жидкости вдоль плоской стенки

На существование касательного напряжения первое указание имеется у Ньютона (1686 г.), и потому
оно называется законом вязкостного трения Ньютона.

Согласно гипотезе Ньютона закон о трении в движущейся жидкости выражается зависимостью

T = р. Sdu,
dn

(1.22)

где: T – сила трения;

S – площадь поверхности соприкосновения между собой слоев движущейся жидкости;

du - производная скорости u по нормали к направлению движения (градиент скорости);
dn

р - динамический коэффициент вязкости, количественно характеризующий вязкость жидкости.

Таким образом, сила внутреннего трения в жидкости прямо пропорциональна градиенту скорости
du/dn, площади трущихся слоев S и динамической вязкости μ.

Тем самым трение в жидкости отличается от трения в твердых телах, где сила трения зависит от
нормального давления и не зависит от площади трущихся поверхностей T_сух = fP, где P – сила давления; f –
коэффициент трения. В жидкости сила трения не зависит от давления (см. формулу 1.22). Указанное
свойство имеет огромное значение в технике. Вводя жидкость – смазку между трущимися парами, которые в
машинах могут соприкасаться, оказывая друг на друга большое давление, заменяют сухое трение трением в
жидкости. При этом силы трения уменьшаются, перестают зависеть от давления, значительно снижаются
затраты мощности на преодоление сил трения и уменьшается нагрев и износ трущихся поверхностей.

Из приведенного закона вытекает, что если жидкость находится в покое (и = 0), то и градиент
скорости du = 0 , и сила трения T = 0 . Т.о. в покоящейся жидкости силы трения не возникают, свойство
dn

вязкости жидкости не проявляется.

Если разделить выражение (1.22) на S, т.е. отнести силу трения к единице площади (S = 1), получим

Т du

^Т = ^ = М -u,

S dn

(1.23)

где: τ- касательное напряжение в движущейся жидкости (н/м² , кгс/см² ).

Если при S=1 принять также du =
dn

1 , то получим

М = Т,

т.е. динамический коэффициент вязкости
единице.

(1.24)

есть удельная сила трения при градиенте скорости равном

В системе СИ динамический коэффициент вязкости имеет размерность:

[ JU] =

Tdn
L S. du J

н с н.c

= —м^м— = —.

2м 2

мм

В системе МКГСС

[ м]=кгсс.
м²

На практике динамический коэффициент вязкости часто выражают в единицах физической системы
единиц СГС – в пуазах

1 пуаз = 1 динас = _од нс = 0,0102кгсс.
2 ^,2 ^, 2

см м м

1 пуаз соответствует вязкости, при которой между слоями жидкости, движущимися один
относительно другого с градиентом скорости, составляющим 1 см/с на расстоянии 1 см по нормали к
направлению движения, на площади 1 см² развивается сила трения равная 1 дине.

В гидравлике для характеристики вязкости жидкости чаще применяется кинематический
коэффициент вязкости v, равный отношению динамического коэффициента вязкости к плотности жидкости:

М

V = —.

Р

(1.25)

Он имеет размерность

Гу] = [MJ ₌ н.^с м = ^кг.м с м = м
[р] 2 кг 2 2 кг с

^{L р} м см

В размерность кинематического коэффициента вязкости не входят единицы силы и массы. Его
размерность определяется только кинематическими единицами (длиной и временем). Поэтому коэффициент
v называется кинематическим. Он имеет одинаковую размерность во всех системах единиц механических
величин.

На практике в качестве единицы измерения кинематического коэффициента вязкости часто
применяют стокс:

1 стокс = 1 см- = 10- ⁴ м-.

сс

Для разных жидкостей вязкость изменяется в очень широких пределах. Например, при
температуре 20°С коэффициент кинематической вязкости воды равен v = 0,01 см²/с = 1 сантистокс
(сст), мазута v = 25 см²/с, т.е. примерно в 2500 раз больше.

На практике вязкость жидкостей оценивается также в условных единицах (градусах Энглера и др.).

Для определения вязкости применяются специальные приборы – вискозиметры. При этом
используются закономерности процессов, в которых вязкость играет существенную роль, в частности:

- закон Стокса (сила сопротивления F движению шарика радиуса r, движущегося со скоростью v

F = 6^n?|TTv;

- закон Пуазейля (расход жидкости Q при истечении через трубку длиной l, диаметром d при
избыточном давлении p-p₀ :

Р - Р л4
q ₌ п o d

Q 128 l м

При измерении вязкости вискозиметром Энглера сравнивают время t₁ истечения через
калиброванное отверстие 200 см³ исследуемой жидкости, имеющей заданную температуру t °С, и время
истечения t₂ 200 см³ дистиллированной воды при t=20°C:

1 градус Энглера

1° E = ^1.

t₂

Перевести градусы Энглера в см²/с (стоксы) можно по эмпирической формуле:

V = 0,0731°E - ^0,0631 см² / с.

, ° E

Зависимость вязкости от температуры и давления.

Вязкость жидкостей в большой степени зависит от температуры, при этом вязкость капельных
жидкостей при увеличении температуры уменьшается, а вязкость газов возрастает.

Так, для чистой пресной воды зависимость динамической вязкости от температуры определяется по
формуле Пуазейля

0,00179

М =----------------------?■

1 + 0,0368т + 0,000221/²

С увеличением температуры от 0 до 100°С вязкость воды уменьшается почти в 7 раз. При тем-
пературе 20°С динамическая вязкость воды равна 0,001 Па ^. с = 0,01 П.

Вода принадлежит к наименее вязким жидкостям. Лишь немногие из практически используемых
жидкостей (например, эфир и спирт) обладают несколько меньшей вязкостью, чем вода. Наименьшую

вязкость имеет жидкая углекислота (в 50 раз меньше вязкости воды). Все жидкие масла обладают
значительно более высокой вязкостью, чем вода (касторовое масло при температуре 20°С имеет вязкость,
в 1000 раз большую, чем вода при той же температуре).

При давлениях, встречающихся в большинстве случаев на практике (до 2-10⁷ Па = 200 ат),
кинематическая вязкость капельных жидкостей весьма мало зависит от давления, и этим изменением в
обычных гидравлических расчетах пренебрегают.

Для определения динамической вязкости воздуха применяется формула Милликена

р = 1.745-10"⁴ + 5,03-10-91,

что дает μ=1,82-10^-5 Па ^. с при t=15°C.

Динамическая вязкость других газов имеет примерно такой же порядок величин.

Кинематическая вязкость газов зависит как от температуры, так и от давления, возрастая с
увеличением температуры и уменьшаясь с увеличением давления.

Кинематическая вязкость воздуха для нормальных условий (температура 20°С, давление ~ 1 ^. 10⁵Па = 1 ат)

ν=1,57 ^. 10^-5 м²/с,

т е примерно в 15 раз больше, чем для воды при той же температуре. Это объясняется тем, что в знаменатель
выражения для кинематической вязкости входит плотность, которая у газов значительно меньше, чем у
капельных жидкостей.

1.6. Другие свойства жидкостей

Поверхностное натяжение.

Смачивающая способность.

Пенообразование.

Совместимость.

Испаряемость жидкости.

Растворимость газов в жидкостях.

1.7. Свойства многофазных систем и аномальных жидкостей

Многофазные системы.

Системы, состоящие из нескольких фаз, называются многофазными (полифазными). Простейшим
случаем многофазной системы являются двухфазные системы. Например: газ - твердые частицы
(пневмотранспорт, пылеулавливание); газ - капли жидкости (распылители, сушилки, газовое охлаждение,
испарение); жидкость - пузырьки пара (испарители, эрлифты).

Во всех этих примерах первая из указанных фаз (основная) условно называется непрерывной,
вторая - дискретной. При некоторых условиях многофазные системы могут переходить в однородные
(гомогенные) и наоборот. Например, в воде при обычных условиях находится растворенный воздух. При
снижении давления и повышении температуры воздух начинает выделяться, образуя воздушные пузыри
значительных размеров, иными словами, наблюдается перевод однофазной системы (вода) к двухфазной
(вода + газ).

Количество дискретной фазы в непрерывной определяется объмной концентрацией. Обычно за
объемную концентрацию β принимается отношение объема, занятого дискретной фазой, к общему объему
многофазной системы

в = W2/W1 + W2 ), (36)

где W₂ и W₁ - объемы дискретной и непрерывной фаз в многофазной системе.

Среднюю плотность .многофазной системы можно представить в следующем виде:

^p = ^вр2 ⁺⁽¹ - ^в)р1, ⁽³⁷⁾

где ρ2 и ρ1 - плотности соответственно дискретной и непрерывной фаз.

Аномальные жидкости.

Трение в некоторых жидкостях не подчиняется закону вязкости Ньютона. К этим, так называемым
неньютоновским (или аномальным), жидкостям можно отнести, например, литой бетон, строительный
раствор, глинистый раствор, нефтепродукты при температуре, близкой к температуре застывания,
коллоидные растворы и др.

Чтобы привести такие жидкости в движение, необходимо приложить некоторое (иногда
значительное) усилие. Движение неньютоновских жидкостей начинается только после того, как касательные
напряжения в них достигнут некоторого предельного значения (так называемое начальное напряжение
сдвига): при меньших касательных напряжениях эти жидкости не текут, а испытывают только упругие
деформации, как твердые тела.

В аномальных жидкостях касательное напряжение определяется по формуле Бингема

du
τ = τ₀ + µ ,
dy

(38)

где τ₀ - начальное (предельное) напряжение сдвига (для ньютоновских жидкостей τ₀=0).

Таким образом, в аномальных жидкостях сила трения возникает еще в покоящихся, но уже
стремящихся прийти в движение жидкостях. На рис. 6 показана зависимость между касательным

напряжением и градиентом скорости.

Вязкость аномальных жидкостей (так называемая структурная вязкость) при заданных температуре
и давлении непостоянна и изменяется в зависимости от градиента скорости du/dy по мере разрушения
структуры жидкости, а следовательно, не является физической константой, как вязкость нормальных
жидкостей.

1.8. Реальная и идеальная жидкость

Вязкость, присущая реальным жидкостям и приводящая к возникновению сил трения в движущейся
жидкости, значительно осложняет изучение законов движения жидкости. Для облегчения теоретического
решения задач, связанных с движением жидкости, в гидравлике используют понятие об идеальной
жидкости.

Под идеальной жидкостью понимается фиктивная (несуществующая) жидкость, которая обладает
абсолютной несжимаемостью (βw = 0), абсолютной неизменяемостью объема (βt = 0) и абсолютной
подвижностью частиц (µ = ν = 0).

Таким образом, идеальная жидкость представляет собой некоторую модель жидкости, главным
отличием которой от реальной жидкости является полное отсутствие вязкости. В части изменяемости
объема под действием внешнего давления и температуры реальная и идеальная жидкости приближаются
достаточно близко друг к другу.

Законы и зависимости, полученные теоретическим путем для идеальной жидкости, корректируются
в гидравлике введением поправочных коэффициентов, учитывающих влияние вязкости на происходящие
явления. Эти коэффициенты определяются в большинстве случаев экспериментальным путем.

2. ГИДРОСТАТИКА

2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГИДРОСТАТИКИ
- 2.1.1. Силы, действующие в жидкостях

Гидростатика – раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия жидкостей.

Все силы, действующие на изолированный объем жидкости по характеру их действия делятся на
объемные (или массовые) силы и силы поверхностные.

2.1.2. Гидростатическое давление и его свойства

В жидкости, находящейся в покое (u = 0), свойство вязкости не проявляется, и касательные силы
отсутствуют (τ = 0). В связи с этим в покоящейся жидкости могут существовать только нормальные
сжимающие силы. Эти силы называются силами гидростатического давления.

Различают гидростатическое давление в точке и суммарное гидростатическое давление.

2.1.3. Основное уравнение гидростатики

Уравнение для определения величины гидростатического давления в любой точке жидкости
записывается в следующем виде

p = p +γ.h . (2.3)

Выражение (2.3) называется основным уравнением гидростатического давления. Оно позволяет
найти величину полного (абсолютного) гидростатического давления в любой точке жидкости при действии
на нее силы тяжести. Как видно из (2.3), полное гидростатическое давление складывается из двух частей:

- давления p_o на свободной поверхности жидкости и
- давления γh, обусловленного весом вышележащего столба жидкости (весовая часть

гидростатического давления), которое зависит от удельного веса жидкости.

2.2. ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА ПЛОСКУЮ ПОВЕРХНОСТЬ
- 2.2.1. Суммарное давление жидкости на плоскую поверхность

При определении давления жидкости на какую-либо поверхность возникают два практических
вопроса – чему равна величина силы суммарного давления, и в какой точке, по какому направлению эта
сила приложена к поверхности.

Величина силы суммарного давления P на площадь F определяется по формуле (рис. 2.8)

P=(po+h) F, (2.11)

где: h_o – глубина погружения центра тяжести площади под уровень свободной поверхности жидкости.

Выражение (p_o + yh_o) есть гидростатическое давление в центре тяжести площади F. Поэтому можно

сказать, что суммарное давление жидкости на плоскую поверхность равно гидростатическому давлению в
центре тяжести этой поверхности, умноженному на площадь этой поверхности. Это справедливо для
плоской поверхности любой формы, при любом угле наклона ее к горизонту.

Если давление на свободной поверхности жидкости равно атмосферному (открытый резервуар,
водоем), т.е. po=pат , избыточное суммарное давление жидкости на плоскую поверхность будет равно

P = = у.h .F .

изб o

(2.12)

Величина yh_o есть избыточное гидростатическое давление в центре тяжести площади F.

Рис. 2.8

2.2.2. Центр давления жидкости на плоскую поверхность

Точка приложения силы суммарного давления жидкости к поверхности, на которую она действует,
называется центром давления (рис. 2.8).

Положение центра давления определяется по формуле

У = У +——

c o y .F
o

(2.13)

где I₀ момент инерции площади F относительно оси Ox, проходящей через центр тяжести этой площади.
Так как дробь

I
o

^yo.F

>0, то у
c

> У

т.е. центр давления всегда расположен ниже центра тяжести площади на величину

I
o

y .F

2.3. СУММАРНОЕ ДАВЛЕНИЕ ЖИДКОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ

Суммарное давление жидкости на криволинейную поверхность определяется из выражения (рис
6.4)

P = P² + P 2,
гв

(2.14)

где Рг - горизонтальная составляющая суммарного давления жидкости на криволинейную

поверхность;

где Р_в - вертикальная составляющая суммарного давления жидкости на криволинейную
поверхность.

P = vh F .(6 - 5)
г oв

Выражение (6 – 5) аналогично формуле определения избыточного суммарного давления на плоскую
поверхность, которой в данном случае является вертикальная проекция Fв криволинейной поверхности.

Т.о. горизонтальная составляющая суммарного давления жидкости на криволинейную поверхность
равна суммарному давлению жидкости на вертикальную проекцию этой поверхности.

P_e = yW . (2.15)

Здесь объем W, ограниченный данной криволинейной поверхностью; вертикальными плоскостями,
проходящими через крайние образующие данной цилиндрической поверхности, а также двумя
вертикальными плоскостями, проходящими через ее крайние направляющие; горизонтальной плоскостью,
совпадающей со свободной поверхностью жидкости, называется телом давления.

Если построить прямоугольник сил в точке пересечения линий действия составляющих суммарного
давления, найдем линию действия силы суммарного давления P. Точка ее пересечения с криволинейной
поверхностью и есть центр давления (точка ЦД на рис. 2.9).

Рис. 2.9

Угол наклона в силы P к горизонту можно определить из соотношения

P

tgp = в.. (2.16)

г

2.4. РАВНОВЕСИЕ ГАЗА В ПОЛЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
- 2.4.1. Равновесие газа

Дифференциальные уравнения равновесия, выведенные для жидкости, имеют общий характер и
могут быть использованы при расчете сжимаемой жидкости или газа.

Для газа, находящегося в равновесии, любая горизонтальная плоскость, проведенная внутри за-
нимаемого газом объема, будет поверхностью равного давления (рис. 2.11).

В однородной газовой среде (ρ = const), распределение давления не отличается от распределения
давления в покоящейся капельной жидкости. Действительно при Х=0, У=0 и Z=-g.

dp =-pgdz; p=-ρgz+C. (2.17)

Определив постоянную интегрирования из граничных условий, например (см. рис. 2.11) на
поверхности земли z=z₀ и р=р₀, получим уравнение

р = p0 + ρg (z0-z), (2.18)

где z - расстояние от плоскости сравнения 0'-0' до рассматриваемой точки (высота точки М); z₀ - расстояние
от плоскости сравнения 0'-0' до поверхности с заданным давлением р=р_0.

Рис. 2.11. Равновесие газа в поле силы тяжести

Уравнения (2.17) и (2.18) показывают, что в поле силы тяжести изменение давления будет, так же
как и в капельной жидкости, определяться только изменением расстояния от плоскости сравнения до
рассматриваемой точки. Полученное уравнение показывает, что с увеличением высоты до рассматриваемой
точки давление уменьшается, так как в выбранной системе координат z>z0.

Характер же этого изменения будет корректироваться в зависимости от закона изменения
внутреннего состояния газа.

2.5. СИЛА АРХИМЕДА. ПЛАВАНИЕ ТЕЛ
- 2.5.1. Закон Архимеда

Закон Архимеда - это закон, согласно которому на всякое тело, погруженное в жидкость (или газ),
действует со стороны этой жидкости (газа) поддерживающая сила, равная весу вытесненной телом
жидкости (газа), направленная вверх и приложенная к центру тяжести вытесненного объёма (рис. 2.12).

F = YW = pgW,(2.19)

где W – объем погруженного тела.

Рис. 2.12. Поддерживающая сила

Сила F называется поддерживающей силой; ее также называют также архимедовой, или силой
водоизмещения, илигидростатической подъёмной силой.

Если вес тела P меньше поддерживающей силы F, тело всплывает на поверхность жидкости до тех
пор, пока вес вытесненной погруженной частью тела жидкости не станет равным поддерживающей силе.
Если вес тела больше поддерживающей силы, тело тонет; если же вес тела равен поддерживающей силе,
тело плавает внутри жидкости

2.5.2. Плавание тел

Плавание тел – это состояние равновесия твёрдого тела, частично или полностью погруженного в
жидкость (или газ). Основная задача теории плавания тел - определение положений равновесия тела,
погруженного в жидкость, выяснение условий устойчивости равновесия. Простейшие условия плавания тел
указывает закон Архимеда.

Для однородного тела плавающего на поверхности справедливо соотношение

где: V - объем плавающего тела; ρ_m - плотность тела.

Существующая теория плавающего тела довольно обширна, поэтому мы ограничимся
рассмотрением лишь гидравлической сущности этой теории.

Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это
состояние называется устойчивостью. Вес жидкости, взятой в объеме погруженной части судна называют
водоизмещением, а точку приложения равнодействующей давления (т.е. центр давления) - центром
водоизмещения. При нормальном положении судна центр тяжести С и центр водоизмещения d лежат на
одной вертикальной прямой O'-O", представляющей ось симметрии судна и называемой осью плавания
(рис.2.14).

Рис. 2.14. Поперечный профиль судна

Пусть под влиянием внешних сил судно наклонилось на некоторый угол α, часть судна KLM вышла
из жидкости, а часть K'L'M', наоборот, погрузилось в нее. При этом получили новое положении центра
водоизмещения d'. Приложим к точке d' подъемную силу R и линию ее действия продолжим до пересечения
с осью симметрии O'-O". Полученная точка m называется метацентром, а отрезок mC = h называется
метацентрической высотой. Будем считать h положительным, если точка m лежит выше точки C, и
отрицательным - в противном случае.

Теперь рассмотрим условия равновесия судна:

1) если h > 0, то судно возвращается в первоначальное положение;
2) если h = 0, то это случай безразличного равновесия;
3) если h<0, то это случай неостойчивого равновесия, при котором продолжается дальнейшее
опрокидывание судна.

Следовательно, чем ниже расположен центр тяжести и, чем больше метацентрическая высота, тем
больше будет остойчивость судна.

Раздел 2. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА.

Содержание:

2.1. Основы кинематики жидкости и газа.
2.2. Динамика жидкости и газа.

1. КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ
- 1.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КИНЕМАТИКИ ЖИДКОСТИ
  - 1.1.1. Общий характер движения жидких частиц

Кинематикой жидкости называют раздел гидромеханики (механики жидкости), в котором изучают
виды и характеристики движений жидкости, но не рассматривают силы. под действием которых происходит
движение.

Причинами, вызывающими движение жидкости, являются действующие на нее силы (сила тяжести,
центробежная сила, внешнее давление и т.п.). Под действием этих сил происходит деформация жидкости,
характеризующаяся изменением взаимного положения отдельных частиц жидкости.

Для характеристики деформации (движения) жидкости помимо возникающих в ней напряжений
необходимо знать скорости движения отдельных частиц жидкости.

Скорость u какой-либо частицы жидкости может быть вполне определена, если станут известными
проекции скорости на координатные оси ux, uy, uz, тогда по правилу сложения векторов имеем

222

u = и + и + и . (1.1)

xyz

Если u_x, u_y, u_z не равны нулю, то движение называют пространственным, если u_x, или u_y, или u_zравны нулю, то получаем плоское движение, если два компонента равны нулю, то получаем одномерное
движение.

1.1.3. Уравнение сплошности течения

Определим объем жидкости, проходящий через данное живое сечение dD элементарной струйки в
единицу времени, который называется расходом струйки или элементарным расходом dQ. Поскольку

скорость струйки u постоянна по всему сечению dd, то все частицы жидкости, находившиеся в плоскости
живого сечения в момент времени t за какой-то элементарный промежуток времени dt проделают

одинаковый путь dl. Это можно представить себе как объем жидкости dW, прошедший через живое

сечение dd за время dt (рис. 1.3)

dW = dd dl.

Рис. 1.3

Тогда объем жидкости, прошедший через живое сечение в единицу времени составит

dQ = dW = da. dl = u. da.
dt dt

Отсюда следует, что элементарный расход равен произведению скорости на площадь живого
сечения струйки

dQ = u. da. (1 - 2)

Вследствие неразрывности потока жидкости элементарный расход остается постоянным по длине
элементарном струйки, т.е.

dQ = Const.

Это условие для двух произвольно выбранных живых сечений струйки (например, сечений da1 и
da2) можно записать в следующей виде:

dQ = u1.da1 = u₂.da₂ =Const. (1.3)

Полученное уравнение носит название гидравлического уравнения неразрывности элементарной
струйки. Из него следует, что:

щ _ da,
u₂ da

(1.4)

т.е. скорости в различных сечениях элементарной струйки обратно пропорциональны площадям живых
сечений.

1.1.4. Понятие о потоке жидкости

В общем случае поток (например, поток воды в канале, трубе и т.п.), как уже отмечалось выше,
можно представить как совокупность элементарных струек.

Рис. 1.4. Поток жидкости

Величину площади живого сечения а можно определить как сумму элементарных живых сечений
отдельных струек в потоке (рис. 1.4)

а = $_ada . (1.5)

Средней скоростью потока v называется такая скорость, с которой должны были бы двигаться все
частицы жидкости через данное живое сечение потока, чтобы обеспечить тот же расход, который имеет
место при действительном распределении скоростей по сечению потока.

Расходом потока Q называется объем жидкости, проходящий через данное живое сечение в единицу
времени. Очевидно, величину расхода потока Q можно определить путем интегрирования элементарных
расходов dQ. по всему живому сечению потока:

Q = i^u.dm .

Заменив в этом выражении местные скорости u скоростью v , постоянной для данного живого
сечения (v = Const), получим:

Q = u. dm = v. dm = v.m.

m m

Q = v.m ; (1.6)

т.е. расход потока в данном сечении равен произведению площади живого сечения на среднюю
3

скорость потока. Размерность расхода в системе СИ [Q ] = -—.

Кроме рассмотренных выше элементов потока: расхода Q, средней скорости v, площади живого
сечения m, следует различать еще: - смоченный периметр - х; - гидравлический радиус - R; - ширину потока
на уровне свободной поверхности - B; - среднюю глубину потока h_ср.

Рис. 1.6

Смоченным периметром х называется периметр живого сечения потока или часть его,
непосредственно соприкасающаяся с ограждающими стенками потока (рис.1.6).

Отношение площади живого сечения к смоченному периметру называется гидравлическим
радиусом

R = ^mX

m п.d d

При напорном движении жидкости в круглой трубе R = — = —---- =.

X 4.п. d4

Средняя глубина потока h_cp равна отношению площади живого сечения m к его ширине на уровне
свободной поверхности В

h =^mср B

Если русло потока имеет значительную ширину при небольшой глубине (рис. 1.6), можно принять

! = ^m получим: h = R .

ср B ср

X = B . Тогда на основании равенств R = ^m и h
X

1.2. ВИДЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

1.2.1. Неустановившееся и установившееся движение

Величины гидродинамических давлений p и скоростей u в потоке жидкости в общем случае
распределены неравномерно, они меняются при переходе от одной точки потока к другой, т.е. являются
функциями координат (x, y, z).

Помимо того гидродинамические давления и скорости в одних и тех же фиксированных точках
потока могут изменяться во времени как по величине, так и по направлению. Эти условия в общем виде
могут быть записаны следующим образом:

p = f1(x, y, z, t) ;

ux = f2(x, y, z, t);

uy = f3(x, y, z, t); (В – 2)

uz = f4(x, y, z, t).

Такой вид движения, при котором гидродинамические давления и скорости в каждой точке потока
жидкости изменяются во времени по величине и направлению, называется неустановившимся движением.

Примерами неустановившегося движения жидкости могут служить движение воды в реке во время
весеннего половодья или при разрушении плотины.

Мы будем, в основном, рассматривать вопросы, касающиеся установившегося движения жидкости,
при котором скорости и гидродинамические давления в каждой точке потока не изменяются во времени, а
являются лишь функциями координат

p = f1(x, y, z);

ux = f2(x, y, z);

Uy = /з(х, y, z); (В — 3)

uz = f4(x, y, z).

Примерами установившегося движения жидкости являются: движение жидкости (воды, бензина,
масла) в трубопроводе с постоянной скоростью течения; движение воды в канале постоянного сечения при
постоянной глубине воды.

1.2.2. Неравномерное и равномерное движение жидкости

Обычно рассматривают два вида установившегося движения жидкости - неравномерное и
равномерное движение.

Неравномерным называется такой вид установившегося движения потока жидкости, при котором
все элементы потока (скорости, живые сечения, глубины и пр.) изменяются вдоль потока (вниз по течению).

Примерами неравномерного движения могут служить движение воды в реке при подпоре потока
плотиной или какой-нибудь иной преградой; при стеснении русла реки опорами моста, расширении русла и
т.д.

Равномерным называется вид установившегося движения, при котором элементы потока (скорости,
живые сечения, глубины и пр.) не изменяются вдоль потока.

Примерами могут служить движение воды в трубе постоянного сечения или в призматическом
открытом канале с постоянной глубиной наполнения, шириной и живым сечением канала.

1.2.3. Напорное и безнапорное движение жидкости

Как неравномерное, так и равномерное движение жидкости могут проявляться в двух формах:
напорного и безнапорного движения.

Движение потока в трубе (водоводе) полным ее сечением, когда давление в жидкости больше
атмосферного, называется напорным (Рис. 1.7, а).

Движение потока со свободной поверхностью, давление над которой известно и одинаково на
протяжении потока называется безнапорным (открытые русла, каналы (Рис. 1.7, в) трубы, коллекторы,
туннели с частичным заполнением трубы (Рис. 1.7, б) и т.д.).

Рис. 1.7

1.3. РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

1.3.1. Определение режимов движения жидкости

Движение жидкости, в зависимости от скорости, может проявляться в двух различных по структуре
режимах - ламинарном (струйчатом) и турбулентном (беспорядочном).

Для исследования режимов движения жидкости используют опытную установку, предложенной
английским ученым Рейнольдсом (рис. 1.7).

Рис. 1.7

При малых скоростях движения воды (рис. 1.7) - жидкость движется в виде струек, параллельных
образующей трубы (а). Это указывает на отсутствие обмена и перемешивания частиц жидкости. Движение
струйчатое. Такой режим движения называется ламинарным (в переводе - слоистое).

При увеличении скорости течения воды струйки начинает вибрировать принимают волнообразные
очертания (б), а после достижения определенной – «критической» скорости - струйка мгновенно
смешивается с остальными частицами потока (в). Наступает беспорядочный режим движения жидкости, с
сильным перемешиванием частиц, который называется турбулентным.

Смена режимов происходит вследствие изменения скорости движения жидкости в трубе. Однако
существование того или иного режима обусловлено, как установил Рейнольдс, не только величиной
скорости, но и плотностью жидкости р, вязкостью р (зависящей от температуры) и характерными
размерами потока. Переход одного режима в другой происходит при определенном значении некоторого
безразмерного параметра (так называемого критического числа Рейнольдса) Re

₌ v. d .р ₌ у. d
d р v ’

Р 2

где V = — - кинематический коэффициент вязкости м /с; р - динамический коэффициент
Р

вязкости кгс.с/м² ; р - плотность жидкости, кг.с² /м⁴; d - диаметр трубы, м (размерность в системе мкгсс) .

Число Re является безразмерным: [Re] =

v.d

v

м.м.с

2
с.м

Часто в число Рейнольдса вводят гидравлический радиус, являющийся обобщенной
характеристикой размера и формы живого сечения потока. Тогда оно имеет следующий вид:

ReR = ~'

Rv

По опытным данным Рейнольдеа устойчивый ламинарный режим наблюдается (в рассматриваемом
им случае напорного движения в трубах), когда число Re_d < 2300 (Re_R < 575). Когда это число больше 2300
(575) - наблюдается турбулентный режим. Для открытых потоков Re_Rкр = 300.

1.3.2. Сопротивления при ламинарном и турбулентном движении

Опытным путем установлено, что потеря напора hf увеличивается с возрастанием скорости v (рис.
1.8).

При этом при ламинарном режиме потеря напора, а следовательно, и гидравлические
сопротивления пропорциональны первой степени скорости. Можно написать hf_л = k_л.v.

При турбулентном режиме потери напора пропорциональны примерно квадрату скорости, т.е. hf_т =
k_т.v².

Рис. 1.8

2 ДИНАМИКА ЖИДКОСТИ

2.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИ
- 2.1.1. Методы изучения движения жидкости

Исходя из практики изучения гидравлики как прикладной дисциплины, можно упомянуть два
метода изучения движения жидкости: метод Лагранжа и метод Эйлера.

Описание движения жидкости методом Лагранжа сводится к рассмотрению положения частиц
жидкости в любой момент времени. Так в начальный момент времени частицы находились в точках 1, 2, 3 и
4. По истечении некоторого времени они переместились в точки: 1', 2', 3' и 4', причём это перемещение
сопровождалось изменением объёмов и форм частиц (упругой деформацией).

Тогда можно утверждать, что частицы жидкости при своём движении участвуют в трёх видах
движения (поступательном, вращательном и деформации). Для описания такого сложного движения жидко -
сти необходимо, таким образом, определить как траектории частиц, так и гидравлические характеристики
частиц (плотность р, температуру Т и скорость и) в функции времени и координат

x = x (a, b, c, t),

y = y (a, b, c, t),

z = z (a, b, c, t),

p = p( a, b, c, t),

T = T (a, b, c, t),

u = u (a, b, c, t).

Переменные а, Ь, с, и t носят название переменных Лагранжа. Задача сводится к решению систем
дифференциальных уравнений в частных производных для каждой частицы жидкости. Метод Лагранжа
ввиду громоздкости и трудности решения может использоваться в случаях детального изучения поведения
лишь отдельных частиц жидкости. Использование этого метода для инженерных расчётов не рентабельно.

Суть другого метода, метода Эйлера заключается в том, что движение жидкости подменяется
изменением поля скоростей. Под полем скоростей понимают некоторую достаточно большую совокупность
точек бесконечного пространства занятого движущейся жидкостью, когда в каждой точке пространства в
каждый момент времени находится частица жидкости с определённой скоростью (вектором скорости).
Припишем неподвижным точкам пространства скорость частиц жидкости, которые в данный момент
времени находятся в этих точках. Поскольку пространство бесконечно и непрерывно, то мы имеем массив
данных о скоростях достаточно полный, чтобы определить (задать) поле в каждой его точке. Условно, но с
достаточной точностью такое поле можно считать непрерывным.

Теперь вместо изучения траекторий частиц жидкости будем сравнивать поля скоростей. Тогда
система уравнений примет вид:

Р = p( x, y, z, t),
u = u (x, y, z, t),
T = T (x, y, z, t).

Поле скоростей движения жидкости иногда называют гидродинамическим полем по аналогии с
электромагнитным, тепловым и др. полями. Анализируя состояние гидродинамического поля на разные
моменты времени , можно отметить, что с течением времени поле изменилось, несмотря

на то, что в отдельных точках скорости остались постоянными. Такое поле называют нестационарным
гидродинамическим полем. В частном случае, когда во всех точках неподвижного пространства с течением
времени предыдущие частицы жидкости сменяются другими с такими же скоростями, то поле скоростей во
времени не меняется. Такое гидродинамическое поле называют стационарным. В соответствии с этим
различают и два вида движения жидкости: установившееся, когда поле скоростей является стационарным и
неустановившееся при нестационарном гидродинамическом поле.

2.1.2. Дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости

Уравнения Навье-Стокса для реальной (вязкой) несжимаемой жидкости.

Из уравнения (1 -9) получаются дифференциальные уравнения для реальной (вязкой) несжимаемой
жидкости - уравнения Навье-Стокса

д v д v д v д v1 д

- + + v _x + v ^x + v _x = X - 1 W + vA v ,

д t x дx y дy z дz p дxx

д v д v д v д v~

У У У У 1 дp.

+ v + v + v = Y - + vA v

д t ^x дx У дy ^z дz p дyУ

дv дv дv дvi л„

- + + v -+ + v -+ + v -= = Z - - ^p + vA v .

д t ^x дx ^У ду ^z дz p дz

Уравнения Эйлера для идеальной несжимаемой жидкости.

Из уравнения (1 -9) получаются также дифференциальные уравнения для идеальной несжимаемой
жидкости – уравнения Эйлера

дv дv дv дvi

— x + v -+ + v -+ + v -= = X -¹ ^p,

д t ^x дx ^y дy ^z дzp дx

д v д v д vд v

У У У У v 1 дp

+ v + v + v = Y - 1 A

д t ^x дx ^y дy ^z дzp дy

дv дv дv дvi

z-+- + v ^z + v ^z + v ^z = zp .
д t ^x дx ^y дy ^z дz p дz

К этим уравнениям необходимо присоединить уравнение неразрывности

ду ^д у

x^y

дx дy

дУ

+ z = 0.

дz

2.2. УРАВНЕНИЕ Д. БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

2.2.1. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Рассмотрим элементарную струйку переменного диаметра (рис.3.5).

Рис. 2.1

Рис.3.5. Схема к выводу уравнения Бернулли для идеальной жидкости

Выберем произвольно на рассматриваемом участке трубопровода два сечения: сечение 1-1 и
сечение 2-2. Вверх по трубопроводу от первого сечения ко второму движется жидкость, расход которой
равен Q.

Для измерения давления жидкости применяют пьезометры - тонкостенные стеклянные трубки, в
которых жидкость поднимается на высоту p/ρg.

В каждом сечении установлены пьезометры, в которых уровень жидкости поднимается на разные
высоты.

Кроме пьезометров в каждом сечении 1-1 и 2-2 установлена трубка, загнутый конец которой
направлен навстречу потоку жидкости, которая называется трубка Пито.

Жидкость в трубках Пито также поднимается на разные уровни, если отсчитывать их от
пьезометрической линии.

Пьезометрическую линию можно построить следующим образом. Если между сечением 1-1 и 2-2
поставить несколько таких же пьезометров и через показания уровней жидкости в них провести кривую, то
мы получим ломаную линию (рис.3.5).

Однако высота уровней в трубках Пито относительно произвольной горизонтальной прямой 0-0,
называемой плоскостью сравнения, будет одинакова.

Если через показания уровней жидкости в трубках Пито провести линию, то она будет
горизонтальна, и будет отражать уровень полной энергии трубопровода.

Для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2 потока идеальной жидкости уравнение Бернулли имеет
следующий вид:

22
pu pu

z₁ +—¹ + -— = z₁ +—¹ + -— = Н = const.

¹ Y 2. g ¹ Y 2. g

Так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то полученное уравнение можно переписать иначе:

z + p + u— = Н = const.

Y 2. g

Таким образом, сумма трех членов уравнения Бернулли для любого сечения потока идеальной
жидкости есть величина постоянная.

Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением
гидродинамики.

Уравнение Бернулли дает связь между давлением p, средней скоростью υ и пьезометрической
высотой z в любой фиксированной точке элементарной струйки при установившемся движении жидкости и
выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости.

2.2.2. Геометрический смысл уравнения Бернулли

Координата z измеряет высоту расположения частицы жидкости над плоскостью сравнения и
называется высотой положения.

Второй член уравнения - p представляет собой высоту столба жидкости, на которую может

Y

подняться уровень жидкости в открытой пьезометрической трубке 1, помещенной в данную точку

p

элементарной струйки, под действием гидродинамического давления в этой точке. Поэтому член

Y

называют пьезометрической высотой или высотой давления.

Разность высот жидкости в скоростной и пьезометрической трубках и выражает собой третий член

в уравнении Бернулли. Поэтому член u принято называть скоростной высотой или скоростным

2.g

напором.

I P I

Сумма высот положения и давления I z +--I называется пьезометрическим напором, а линия p-p ,
I Y)

соединяющая вершины пьезометрических напоров, называется пьезометрической линией. Сумма
пьезометрического и скоростного напоров, представляющая собой сумму трех членов .уравнения Бернулли,
называется полным напором H .

Геометрическое место вершин сумм трех высот: положения, давления и скоростной называется
напорной линией N - N . Из уравнения (1 – 8) видно, что для двух произвольно выбранных сечений
элементарной струйки 1-1 и 2-2 эта сумма высот есть величина постоянная. Т.е. напорная линия N - N лежит
в горизонтальной плоскости, параллельной плоскости сравнения О - О, на расстоянии H от нее.

Отсюда геометрический смысл уравнения Вернулли (1 – 8) можно сформулировать следующим

образом: для элементарной струйки идеальной жидкости сумма трех высот: геометрической,

пьезометрической и скоростной (т.е. полный напор) не изменяется по длине струйки.

2.2.3. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Все члены уравнения Бернулли, выраженные в единицах длины, отнесены к единице веса
движущейся жидкости. Энергия, отнесенная к единице веса, как известно, называется удельной энергией.

Таким образом, каждый из членов уравнения Бернулли представляет собой определенный вид
удельной энергии движущейся жидкости.

Если эта масса находится на высоте z от плоскости сравнения О - О, то потенциальная энергия
массы струйки m, зависящая от положения, будет равна ее весу, умноженному на высоту поднятия, т.е. m.g.z
, отсюда удельная потенциальная энергия положения будет равна :

m.g.z

e = —-— = z.

пол m.g

Таким образом, первый член уравнения Бернулли – z с энергетической точки зрения представляет
собой удельную энергию положения движущейся жидкости.

Так как масса струйки занимает объем W и испытывает давление p, то потенциальная энергия
давления будет p. W .Поскольку вес жидкости в объеме W можно выразить, как y W, то удельная
потенциальная энергия давления определится соотношением:

p.W p

дав yW Y

p

Oтсюда видно, что в энергетическом смысле член в уравнении Бернулли представляет собой

вид удельной потенциальной энергии, обусловленной гидродинамическим давлением и называемой
удельной энергией давления движущейся жидкости.

Сумма удельных энергий положения и давления называется удельной потенциальной энергией
движущейся жидкости - eп .

p

e = e + e, = z +—

п пол дав у

Третий член уравнения Бернулли

u

выражает собой величину удельной кинетической энергии

e_к движущейся жидкости.

Сумма трех членов уравнения Бернулли представляет собой полную удельную энергию движущейся
жидкости e , которая слагается из удельной энергии потенциальной энергии eп (равной сумме удельной
энергии положения и давления) и удельной кинетической энергии eк , т.е.

e = e + e = z + p + u— = H.
п к y 2- g

Переписав это уравнение для двух частиц ( 1 и 2 ), находящихся в одной элементарной струйке, или
для двух положений одной и той же частицы движущейся жидкости , мы заметим, что

e. + e. = c' + e' = e = H = Const.

1п 1к 2п 2к

(1 – 9)

Т.е. сумма удельной потенциальной и кинетической энергии по длине элементарной струйки
остается постоянной.

Уравнение Бернулли в форме (1 – 8) или (1 – 9) позволят четко определить взаимосвязь между
удельной потенциальной и кинетической энергией и преобразованием одного вида энергии в другой
(например части потенциальной энергии в кинетическую или наоборот). Поэтому уравнение Бернулли
представляет собой частное выражение общего закона сохранения энергии.

Резюмируя сказанное выше, энергетический смысл уравнения Бернулли можно кратко
сформулировать следующим образом: при установившемся движении идеальной жидкости удельная
энергия не изменяется по длине элементарной струйки.

2.2.5. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Распространим уравнение Бернулли на поток жидкости при установившемся плавно изменяющемся
движении.

Для двух различных сечений потока при установившемся плавно изменяющемся движении
уравнение Бернулли примет следующий вид (рис. 3.2):

p α .v²p

z+ ¹ + ^{1 1} = z₂ +2

1 γ 2g2 γ

α .v²

^{2 2} +h .

2g w

(3 – 3)

В уравнении (3 – 3):

z1 – расстояние от произвольно выбранной точки в живом сечении ω1 до плоскости
сравнения О - О;

p₁ – гидродинамическое давление, определенное в той же точке живого сечения потока;

γ - удельный вес жидкости;

v1 - средняя скорость в живом сечении ω1;
g - ускорение силы тяжести;
α1 - коэффициент неравномерности распределения скоростей в живом сечении ω1 ;
z2, p2, v2, α2 - те же величины, определенные в живом сечении ω2.
h_w - удельная энергия ( потеря напора ), затраченная на преодоление гидравлических
сопротивлений в пути между первым к вторым сечением.

Из уравнения Бернулли для потока реальной жидкости следует, что удельная энергия уменьшается
по длине потока в направлении движения, так как часть энергии затрачивается на преодоление
гидравлических сопротивлений в пределах данного участка потока. Определению потерь напора на
преодоление гидравлических сопротивлений посвящен следующая тема.

Рис.3-.2.

2.3. ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
(ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ)

2.3.1. Основные физические свойства газов

Гидродинамику сжимаемой жидкости называют газодинамикой (рассматриваются газы) или
аэрогидродинамикой, если рассматриваются и газы и жидкости.

Течение газов (сжимаемых жидкостей) рассматривается с учетом ряда условий. Принимается, что
газ лишен вязкости или влияние вязкости настолько мало, что им можно пренебречь. К массе газа не
подводится тепло из окружающей среды и отсутствует обмен механической энергией. Поэтому процессы,
сопутствующие течению газа, являются адиабатическими. Кроме того, в живых сечения потока
распределение давления и скоростей течения принимается равномерным. Такая постановка задачи о течении
газа называется одномерной.

Как было отмечено в начале курса, сжимаемость жидкости и газов характеризуется модулем
упругости Е.

Изменение объема жидкости при изменении давления на ∆p равно

dW=-β ⋅W ⋅dp=- ¹ ⋅W ⋅dp.

При т.н. стандартных условиях - температура T = 373 + 15 = 288 °K и давление p = 1,0332 кгс/см² =
10332 кгс/м² = 101325 н/м² =760 мм рт. ст. модуль упругости воздуха равен - E_возд = 1,45 кгс/см² , для воды
Eвод = 21000 кгс/см².

Сжимаемость сплошной среды можно также характеризовать отношением приращения давления dp
к приращению ее плотности dp. Это отношение равно квадрату скорости распространения звука в среде а²:

₂ dpdp

а = — или а =—

dp\ dp

Характерной особенностью изучения сжимаемых жидкостей является необходимость учитывать
¹соотношение между давлением p, плотностью (объемным весом) у = gp , удельным объемом V = — и

Г

температурой T °К (Кельвина). Это соотношение называется уравнением состояния.

Для идеального газа уравнение состояния (уравнение Менделеева –Клайперона) :

p ■ V = R ■ т; или p = -p- = R ■ T,

Y g^- p

где: R = 29,27 м/°К - газовая постоянная; g = 9,81 м/c² - ускорение силы тяжести.

Для газа уравнение состояния при изоэнтропических процессах

p cp

—— = const, где Здесь k - отношение теплоемкостей Cp/Cv k =--- - отношение теплоемкостей

k

p ^cv

при постоянном давлении (cp) и при постоянном объеме (cv). . Для воздуха k = 1,4.

2.3.3. Уравнение Д.Бернулли для газов

При установившемся одномерном плавноизменяющемся адиабатичесеком движении газа, как и для
несжимаемой жидкости, можно поток разбить на элементарные струйки. При этом живые сечения потока
можно считать плоскими. Для такого потока газа будут справедливы:

уравнение Д.Бернулли в интегральной форме: вдоль потока

k p w²

----1--= const;

k -1 p 2

уравнение Д.Бернулли в дифференциальной форме

— dp = p- w ■ dW;

уравнение неразрывности (постоянства массы)

p- w ■ ф = const.

В последних равенствах w – средняя скорость течения в живом сечении потока.

2.3.4. Число Маха

Многие свойства потока сжимаемой жидкости и характер взаимодействия его с окружающей средой
зависят от соотношения скорости движения потока и скорости звука в нем. Учитывая важность этого
обстоятельства, в гидродинамике сжимаемой жидкости рассматриваются два вида одномерного движения
потоков:

- дозвуковое течение, когда скорость движения потока меньше скорости звука; и
- сверхзвуковое течение, когда скорость движения потока превосходит скорость звука в нем.

Сжимаемость жидкости часто характеризуют безразмерной величиной, равной отношению
скорости потока сжимаемой жидкости w к скорости звука в нем a. Это отношение называют числом Маха
или числом М:

w

M = —

a

Если M < 1 - поток считается дозвуковым, М > 1 - сверхзвуковым.

2.3.5. Зависимость между скоростью звука и скоростями течения сжимаемой жидкости

Рассмотрим особенности потоков с до- и сверхзвуковыми скоростями движения (течения).

Для установления указанных зависимостей воспользуемся уравнением Д.Бернулли для одномерного
изоэнтропического движения потока идеального газа, записанного в виде

k p w²

----+---= const.

k -1 p 2

Если учесть, что скорость звука в идеальном газе равна a =

к • p

\ Р

, то уравнение примет вид

a²

к -1

w²

+--= const.

Из последнего уравнения видно, что скорость звука a в газовом потоке связана со скоростью
течения потока газа w. При скорости течения газа w = 0 (газ находятся в покое - в заторможенном
состоянии) скорость звука в нем имеет наибольшее значение:

к • p

a

o

o

] ^po

где р₀ и p_o - соответственно, абсолютное давление и плотность газа, находящегося в покое ( в
заторможенном состоянии).

Скорость a_o называют скоростью звука при торможении.

Уравнение Бернулли теперь можно записать в виде:

2 2 a²

aw _o

к -1 2 к -1'

С увеличением скорости потока w скорость звука, как это следует из последнего уравнения,

уменьшается и в некотором сечении потока они могут оказаться равными.

Скорость потока, равная местной скорости звука в нем, называется критической и обозначается wкр.

Скорость звука в этом случае также называется критической и обозначается aкр. Уравнение Бернулли

принимает вид:

2 2a

a w _ к +1 кр

к -1 2 = к -1’2

к +1 кр

---------------.---------------

к -1 2

Используя уравнения можно установить связь между скоростью звука при торможенииa

критической скоростью звука a_кр. Приравняв правые части двух предыдущих уравнений, получим:

^a_o к +1 кр2

----=---, откуда a = . -----
к -1 к -1 2 ^кР к к +1

• a .
o

При очень большой скорости течения потока w скорость звука, как это видно из уравнения
Бернулли, может обратиться в нуль. Это может быть тогда, как это следует из формулы для скорости звука
(см. стр. ),когда абсолютная температура газа Т будет равна нулю. Скорость газового потока в этом случае
называют максимальной wмакс или предельной wпред. Уравнение Бернулли в этом случае примет вид:

2 2w

^{a w} макс

к -1 2 2

На основании вышеизложенного уравнение Д.Бернулли можно представить так:

_{2 2} 2 _a²

a w ^a_o к +1 кр

к-1 ⁺ Т = к-1 = к-1 ’ Т

w

макс

, откуда w
макс

к +1

------• a

к -1 кр

------• a

к -1 ^o

Т.о. если критическая скорость звука aкр примерно на 10% меньше скорости звука ao в покоящемся
воздухе при атмосферном давлении, то максимальная скорость течения его wмакс (при истечении в пустоту)
более чем в два раза превышает ao .

2.3.6. Зависимость между изменениями сечения и скоростью течения потока сжимаемой жидкости

В гидродинамике несжимаемой жидкости устанавливается, что скорости вдоль потока
несжимаемой жидкости изменяются обратно пропорционально площадям живых сечений. В условиях
сжимаемой жидкости уравнение постоянства массы (рис. 1 – 1)

p. w • а = const

приводит в некоторых случаях к противоположным выводам.

Рис. 1 - 1

Представим уравнение в дифференциальной форме. Логарифмируя, а затем дифференцируя его под

знаком логарифма, получим:

dp dw da _n

+ + = 0.

p w a

(1 – 1)

dp

Преобразуем последнее уравнение dp = ——.

a²

В свою очередь из уравнения изменения количества движения для одномерного движения потока
сжимаемой жидкости (уравнения Д. Бернулли в дифференциальной форме) имеем — dp = p- w • dw.

Тогда

dp w• dw

-- —--

p a²

dp da

Подставляя значение в (1 – 1) и, решая его относительно , получим:

da
a

w • dw dw

w

dw
w

( 2

w

V a

-¹

Учитывая, что

w

— — М , последнее уравнение примет вид:
a

da dw

— —--1 М — 1

a w v .

(1 – 2)

Это уравнение позволяет сделать следующие выводы.

Если число М < 1 (w < a), правая часть уравнения будет отрицательной. Следовательно, знаки перед
da и dw будут противоположными. Это значит, что в дозвуковом потоке, как и в потоке несжимаемой
жидкости, скорость w обратно пропорциональна площади живого сечения a.

Если же М > 1, то есть когда w > a, знаки перед da и dw совпадают. Это значит, что в
сверхзвуковом потоке сжимаемой жидкости скорость w прямо пропорциональна площади живого сечения
a. То есть следует вывод, прямо противоположный выводу, широко известному из гидродинамики
несжимаемой жидкости.

Подобное явление в сжимаемой жидкости возможно потому, что увеличение скорости в нем
вызывает не только уменьшение давления (как и в несжимаемой жидкости), но и уменьшение плотности, то
есть - её расширение. Следовательно, расширение струи газа в сверхзвуковом потоке ведет к расширению
самого газа в термодинамическом смысле, то есть к уменьшению давления, плотности, температуры и к

увеличению скорости.

Рассмотрим, в каких условиях возможен переход дозвукового потока в сверхзвуковой и, наоборот,
сверхзвукового в дозвуковой.

Рис. 1 - 2

Пусть имеется поток, в котором w = a, то есть М = 1,0. Из уравнения (1 – 2) следует, что в

dω

этом случае = 0 и что dω= 0 . Если при непрерывном изменении скорости течения струи dω= 0 ,

ω

то это значит, что в данном месте струя переходит от расширения к сужению или, наоборот, от сужения к
расширению.

Теперь установим, в каких условиях может наступать равенство w = a (М = 1,0 ) и переход потока
из одного вида в другой.

Рассмотрим две возможные конфигурации потока (струи): расширяющуюся и сужающуюся к
середине (рис. 1 - 2).

В первом случае (рис. 1-2,а) при дозвуковой скорости потока в начале струи скорость в ней
уменьшается в направлении течения и в сечении ωmax имеет минимальное значение. При сверхзвуковой
скорости потока скорость увеличивается в направлении течения и в сечении ω_max имеет наибольшее
значение. Следовательно, в обоих случаях скорость течения в сечении ω_max может быть равной скорости
звука.

Во втором случае (рис. 1 – 2,б) при дозвуковой скорости потока в начале струи скорость в струе по
мере уменьшения площади сечения увеличивается и в сечении ωmin может стать звуковой, а затем и
сверхзвуковой. При сверхзвуковой скорости потока в начале струи скорость струи по мере уменьшения
сечения также уменьшается и в сечении ωmin может стать звуковой, а затем будет уменьшаться в
расширяющейся части струи уже как дозвуковая скорость. Следовательно, скорость струи может перейти
значение скорости звука только в наиболее узком сечении струи. Это сечение называют критическим, а
скорость звука, равную скорости течения потока, называют, как указывалось выше, критической скоростью.

Рассмотренную выше особенность струй (потоков) сжимаемых жидкостей (газов) учитывают при
проектировании специальных насадок (сопел), например, в ракетостроении, которые должны обеспечить
истечение сжимаемых жидкостей со сверхзвуковой скоростью из ёмкостей, где они находятся под
давлением.

В честь шведского инженера Лаваля, предложившего для получения сверхзвуковых потоков плавно
сужающуюся и затем плавно расширяющуюся насадку (сопло), эту насадку называют сопло Лаваля (рис. 1 -
2,б).

2.3.7. Зависимость между изменениями плотности и скоростью течение потока сжимаемой жидкости

Выше было установлено, что сжимаемость жидкости проявляется при повышении или понижении
давления в виде соответствующего изменения плотности. С другой стороны из уравнения Д.Бернулли для
одномерного движения потока сжимаемой жидкости следует, что изменение скорости течения должно

сопровождаться изменением и ее плотности.

Проследим относительное изменение плотности на бесконечно малом участке струи в зависимости

от относительного изменения скорости в до - и сверхзвуковых потоках.

dρ

Ранее было получено выражение: =

^ρ

w ⋅ dw

(1 – 3)

Умножая числитель и знаменатель правой части последнего выражения на w, получим:

dρ
^ρ

w² dw

-⋅

a^{2 w}

-M

dw

w

(1 – 4)

dρ

Из последней формулы следует, что относительное изменение плотности

^ρ

w ⋅ dw

₂. в
a

dw

дозвуковом потоке (M < 1) меньше, чем относительное изменение скорости . В сверхзвуковом потоке,

w

наоборот, плотность изменяется быстрее, чем скорость. С другой стороны формула эта свидетельствует о
том, что чем больше число Маха, тем сильнее проявляется сжимаемость жидкости при движении.

^w

Так при малых числах Маха M = относительные изменения

a

плотности незначительны по

сравнению с относительными изменениями скорости. Например, при М = 0,3

dρ
^ρ

-0,09⋅^dw,

w

т.е. при увеличении скорости на 3% плотность уменьшится лишь на 0,9%.

Поэтому при малых числах Маха сжимаемые жидкости можно рассматривать как несжимаемые. В
частности, в этих случаях и к потоку газа можно применять уравнение Бернулли для несжимаемой

жидкости.

2.4. ПОДОБИЕ ГИДРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

2.4.1. Основные определения подобия

Многие прикладные задачи гидравлики в настоящее время не могут быть решены аналитическими
методами. Поэтому в гидравлике эксперимент находит широкое применение. В большинстве случаев
эксперименты проводятся с моделями натурных объектов.

Системы и явления будут механически подобными, если соблюдены геометрическое подобие,
кинематическое и динамическое подобие.

Геометрическое подобие заключается в том, что сходственные линейные элементы натурного и
модельного объектов находятся в одинаковом соотношении (существует геометрический масштаб m):

m = ,

l
м

где 1н и 1м -длина линейного элемента в натуре и сходственного модельного элемента.

Кинематическое подобие заключается в том, что скорости и ускорения в сходственных точках
натуры и модели находились в одинаковых соотношениях, т.е. существуют масштабы скорости и ускорения.

Так как сходственные расстояния натурные и модельные частицы проходят за сходственные
отрезки времени, то существует и масштаб времени:

t
н

t
м

Но натурная и модельная скорость и и ускорение j выражаются через сходственные отрезки пути и
времени, откуда

u ltj

н нм ^mн

m === , m =.

^uu tl mjj

м нм tм

Для обеспечения динамического подобия необходимо выполнить условия геометрического и
кинематического подобия. Основными масштабами являются масштабы длины, силы и времени.

Динамическое подобие определяется законом динамического подобия Ньютона в коэффициентах
подобия.

Отношение

2
р • l ■ v

= Ne

называется критерием (числом) Ньютона полного динамического подобия, а соотношение

= Ne

является условием полного динамического подобия.

Т.о, если в системе действуют кроме сил инерции, силы тяжести, давления, трения и др., они все

должны находится в соотношении

J J = G /G = P /P = F IF = m^

н/ _м н/ м н! _м тр. н/ тр. м F.

Раздел 3. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ГАЗА.

Содержание:

3.1. Гидравлические сопротивления.
3.2. Движение несжимаемой жидкости в напорных трубопроводах.
3.3. Движение сжимаемой жидкости (газа).
3.4. Истечение жидкости из отверстий и насадок. Струйные течения.
3.5. Движение жидкости в открытых руслах (каналах). Водосливы.
3.6. Относительное движение тела в жидкости.
3.7. Распространение возмущений, вызванных местным изменением давления.

1. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ
- 1.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ О ПОТЕРЯХ НАПОРА (ЭНЕРГИИ) НА ГИДРАВЛИЧЕСКИХ
  СОПРОТИВЛЕНИЯХ
  - 1.1.1. Виды гидравлических сопротивлений

Сопротивления движению жидкости, обуславливаемые трением (вязкостью), а также изменением
конфигурации потока, называются гидравлическими сопротивлениями,

Потери напора учитываются седьмым членом уравнения Бернулли – h_w.

При этом они подразделяются на два вида:

1) потери напора на трение по длине потока – hf;
2) потери от местных сопротивлений - hм.с.

Сопротивлением трения по длине потока называется сопротивление, вызываемое трением внутри
жидкости и между жидкостью и стенками русла (ограждающими стенками). Такие сопротивления
характерны для прямых потоков значительной длины - в каналах, трубах, на участках рек.

Местным сопротивлением называется сопротивление движению, вызываемое местной
деформацией потока при резком изменении его конфигурации, например, при резком расширении или
сужении потока, повороте, наличии в трубе задвижек, кранов и т.д. Такие сопротивления характерны в
насосах, гидравлических установках с короткими трубами, но имеющими большое количество щитов,
задвижек, вентилей и т.д.

(. ,2 л

Потери напора (оба вида) обычно выражают в долях от скоростного напора - I I (в целях

1² g )

соблюдения размерности), это позволяет принимать принцип сложения потерь напора, т.е. записать

h = h_r + h (3.1)

w f м.с.

1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕРЬ НАПОРА (ЭНЕРГИИ) НА ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЯХ
- 1.2.1. Потери напора на трение по длине потока

Потери напора на трение по длине потока зависят от режима движения жидкости.

В обоих случаях как ламинарном, так и турбулентном потери определяют по формуле

h

v² L v²

f 2g d 2g^,

(3.2.1)

где

Как

^ г = Л^~ - коэффициент сопротивления на трение по длине потока;

fL

Л - коэффициент трения, зависящий от вязкости жидкости, шероховатости стенок и размеров

трубы;

L - длина прямолинейного участка трубы;

d - внутренний диаметр трубы;

v²

- скоростной напор.

было отмечено ранее, при ламинарном режиме потери напора по длине потока

пропорциональны средней скорости в первой степени. При турбулентном режиме потери напора по длине
потока пропорциональны квадрату средней скорости.

1.2.2. Потери напора от местных сопротивлений

Потери напора от местных сопротивлений обусловлены резкими изменениями величины и
направления скорости движения жидкости. Простейшие местные гидравлические сопротивления можно

разделить на
постепенным.

расширения, сужения и повороты русла, каждое из которых может быть внезапным или
Они определяются по формуле Дарси-Вейсбаха

h

м.с.

=< ■ f •

м.с. 2g

(3.2.2)

где Z_M._C. — коэффициент местного сопротивления;

2
v
- скоростной напор в сечении за местным сопротивлением.

Значение коэффициента Zm.c. обычно определяют экспериментально и лишь в некоторых случаях
теоретически.

2. ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В НАПОРНЫХ ТРУБОПРОВОДАХ
- 2.1. ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ И ПРИНЦИПА СЛОЖЕНИЯ ПОТЕРЬ НАПОРА К
  РАСЧЕТУ КОРОТКИХ ВОДОПРОВОДНЫХ ТРУБ
  - 2.1.2. Расчет коротких водопроводных труб

Короткими, в гидравлическом смысле, трубами называются трубы, в которых потери напора от
местных сопротивлений получаются или одного порядка с потерями на трение по длине, или даже

превышают последние.

Рассмотрим схему трубопроводов – два отрезка труб диаметром d1 и d2 и три местных
сопротивления – вход из резервуара в трубу, внезапное сужение трубы (d1 > d 2 ) и вентиль в конце второго
отрезка трубы (рис. 3.4) .

Примем, что плоскость сравнения проходит через ось трубы, первое сечение – на уровне
поверхности воды в резервуаре, второе – непосредственно на выходе из трубы.

Напишем уравнение Бернулли в общем виде:

z + Р +

^а1 ^v2

Y ² g

p

= z₂ + ~ +

^а2 .v2

Г 2 g

+ h ,
w

где

h

w

=Еh.+1h ■

fi мсi

ii

v²

■ Y/i 2g . ^мй

vi²

Примем а1 = а₂ = 1.

Рис. 3.4

При выбранных сечениях и плоскости сравнения будем иметь:

z 2 = 0;

Pi = Р2 = ^Р ; ^ ^ 0

Y Y Y 2 g

Уравнение Бернулли принимает вид:

vi²

H = vr + ^f^vr + ^f .

2g _i fi 2g _i м.с.i 2g

Вынеся в правой части последнего равенства множитель

^v2²

за скобки, получим

H = v^

(

^1+E ffi

V i

+ 1 f

² мсi

v_{2 i}

Y

v

² J

(3.3)

Квадратный корень из суммы в скобках обозначают ц и называют коэффициентом расхода системы:

и =

v²

1 + 2$ +2$ •

fi ² мсi

v₂

v

V,Ю2

Из уравнения неразрывности для потока жидкости следует: -- = —— .

v 2Ю

С учетом последнего равенства окончательное выражение для коэффициента расхода системы

запишем в виде

и =

1
v²

¹ + 2 -

_i fi v₂²

2 $ Д

мсi ²

_i v₂

(3.4)

С учетом введенного коэффициента расхода системы ц уравнение Бернулли (3.3) принимает вид
2

H = --И221² , откуда V2 = и^2gH .

Опуская индекс 2 в обозначении скорости жидкости и площади сечения трубы на выходе из
системы (в нашем примере v = v₂, m = m2), получим следующие выражения для скорости жидкости v и
расхода Q =m.v на выходе из системы

V = иФgH .

Q = и^ФgH .

(3.5)

(3.6)

Для идеальной жидкости все коэффициенты сопротивления Z равны нулю, и коэффициент расхода
И = 1, а при вязкой всегда и < 1, поэтому физический смысл коэффициента расхода системы можно
сформулировать следующим образом: коэффициент расхода системы и показывает во сколько раз расход
нормальной (вязкой) жидкости меньше расхода идеальной жидкости.

2.1.3. Построение пьезометрической линии

I Р I

Пьезометрическая линия характеризует изменение пьезометрического напора I z +--I вдоль

I Y)

гидравлической системы. Чтобы ее построить необходимо вычислить значения пьезометрического напора
для различных сечений системы. Полный напор H_i в произвольном сечении i – i системы равен (рис. 3.4):

H. =
i

z. + Pi I

ⁱ

у
)

2.2. РАСЧЕТ РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
- 2.2.1. Уравнение равномерного движения

Рассмотрим равномерное напорное движение жидкости в цилиндрической трубе с площадью
живого сечения m. Сечениями 1 - 1 и 2 - 2 выделим участок потока длиной L и отнесем его к произвольно
выбранной плоскости сравнения 0-0. Падение пьезометрической линии P - P в пределах выделенного
участка выражает собой потерю напора hf на трение по длине L (рис.3.6).

Рис. 3.6

Уравнение равномерного движения можно записать в виде

z₁

+—

Y J

z 2

Po
+ ²

^Y )

L

т . X
o

ум

(1 – 2)

В левой части этого равенства имеем выражение пьезометрического уклона Ip при равномерном

X 1

движении. Учитывая, что — = —. Тогда из равенства (1 - 2) будем иметь:
м R

т

-o- = R. I

у P

(1 – 3)

2.2.2. Расчетные формулы для скорости и расхода при равномерном движении

Расчетную зависимость для определения средней скорости равномерного напорного движения

жидкости можно записать в следующем виде

v = C. / R. I ,

^p

(1 – 4)

а для определения расхода жидкости – в виде:

Q = C м. IR.I .

^p

(1 – 5)

Для равномерного безнапорного движения жидкости, когда гидравлический уклон равен уклону дна

канала, уравнение равномерного движения примет вид:

v =

(1 – 6)

или

R.I .

o

(1 – 7)

Коэффициент С, входящий в уравнения напорного и безнапорного движения жидкости при
турбулентном режиме, имеет размерность корня квадратного из ускорения, т.е.

[C ]=

v

R.I0

м

с.м

1/2

Уравнение равномерного движения жидкости было впервые получено Шези (Chezy) в 1775 г. и
поэтому известно в литературе как формула Шези, а коэффициент С – как коэффициент Шези.

В качестве основной зависимости для определения коэффициента С используется формула
Н.Н.Павловского

C = 1. R^y, (1 - 8)

n

где у - показатель степени, зависящий в свою очередь от гидравлического радиуса R и
коэффициента шероховатости n, т.е. y = y(R, n) .

В некоторых гидравлических расчетах для определения коэффициента С используется формула
Маннинга

С = ¹R^1/6

n

(1 – 9)

2.3. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ДЛИННЫХ ТРУБОПРОВОДОВ
- 2.3.1. Определение длинных трубопроводов

Длинными трубопроводами принято считать трубопроводы, в которых потери напора по длине
значительно превышают потери напора на преодоление местных сопротивлений.

В этом случае потерями напора от местных сопротивлений можно пренебречь или при
необходимости учесть их суммарно увеличением потерь напора на трение по длине потока на 5 - 10 %,
принимая

hw = (1,05 - l,10).hf . (2 - 1)

Примерами длинных трубопроводов могут служить трубопроводы водопроводных сетей, сетей для
транспортирования нефтепродуктов на значительные расстояния и т.д.

В зависимости от гидравлической схемы работы трубопроводы подразделяются на простые и
сложные (рис. 2.1).

^4,l I ! I Н l.^l I II И I I I I I I I I I И И^,в

Рис. 2.1

Простым называется трубопровод, состоящий из одной линии труб (без ответвлений) с постоянным
расходом по всей длине трубопровода. Простой трубопровод может иметь постоянный диаметр по всей
своей длине (рис.2.1,а) или отдельных участков труб разного диаметра (последовательное соединение труб)
(рис. 2.1,6).

Сложным называется трубопровод, состоящий из нескольких линий или имеющий переменный
расход по длине вследствие отвода жидкости в узлах (местах разветвлений трубопровода) или непрерывной
раздачи ее в пути.

Сложные трубопроводы подразделяются на:

- параллельно-разветвленные (рис.2 - 1,в );

- тупиковые (рис.2.1,г);

- кольцевые (рис.2.1,д);

- с непрерывным путевым расходом жидкости (рис.2.1,е).

2.3.2. Водопроводная формула

На участках трубопровода постоянного диаметра и расхода имеет место напорное равномерное
движение жидкости, уравнение которого (1 - 5) имеет вид:

Q = C.a. IR.I .

^p

Пьезометрический уклон Ip в этом уравнении представляет собой потерю напора, обусловленную

h

трением, на единицу длины потока, т. е. I =---
pL

Подставив последнее выражение в уравнение равномерного напорного движения и решая его
относительно hf, получим:

hf = ~2^

^f C ²a ². R

Обозначив С. a.R = K² , последнюю зависимость приведем к виду:

hf = ^ = H.

^f K²

(2 — 2)

Это выражение и называется водопроводной формулой, в которой: hf - потери напора на трение в трубе
диаметром d и длиной L; Q - расход воды; K - модуль расхода (или расходная характеристика),
K = C .a. JR.

Из уравнения (1 – 5) следует, что

ca.-Jr = -Q = к, (2 — 3)

При расчетах водопроводных труб величину, обратную квадрату модуля расхода часто обозначают
через A Тогда водопроводная формула (2 – 2) переписывается в виде:

Hf = A.Q2.L где A = — . (2 - 4)

K²

2.3.3. Расчет простого водопровода

Рассмотрим простой трубопровод постоянного диаметра d, подающего воду из точки A, где
установлена водонапорная башня или насос, в точку B , где находится потребитель воды (жилое или
служебное здание, отдельный объект, водоразборная колонка и т.п.) (рис. 2 – 2).

Рис. 2.2

Составим уравнение Бернулли для сечений 1 - 1 и 2 – 2:

pp

z . + H . + a = z_n + H _n + — + h

A A ^ B B ^ f

Учитывая, что H = hf ,

H =

Q².L
K²

В последних формулах Н - действующий напор.

Таким образом действующий в трубопроводе постоянный напор Н затрачивается на преодоление
гидравлических сопротивлений в пути между сечениями 1 – 1 и 2 – 2, главным образом, на преодоление
сопротивлений трения по длине потока.

При расчете простого трубопровода могут встретиться задачи трех типов:

Задача 1.Определение расхода трубопровода Q;

Задача 2.Определение начального или конечного напора (H1 или Н2);

Задача 3. Определение диаметра трубопровода.

2.3.4. Расчет элементов сложного трубопровода

А. Последовательное соединение труб.

При последовательном соединении труб может иметь место два расчетных случая:

I случай, когда начальный расход Q проходит транзитом по всей системе без отвода воды в каких-
либо точках (узлах) системы (пример простого трубопровода);

II случай, когда в отдельных узлах трубопровода отводится некоторый расход воды (пример
сложного трубопровода).

Рассмотрим трубопровод, состоящий из труб разных диаметров d1, d2,и d3 при длине участков,
соответственно L1, L2 и L3 (рис. 2 – 3). Пусть начальный и конечный напоры Н1 и Н2 известны, а требуется
определить величину расхода Q, проходящего транзитом по всей системе.

Если вода из системы никуда не отводится (т.е. qС = 0 и qД = 0), то

Q1 = Q2 = Q3 = Q.

Общая потеря напора в трубопроводе будет складываться из потерь на отдельных участках
hf1 + hf2 + hf3 = hf..

Последнее выражение с учетом водопроводной формулы можно переписать в виде

Q².L Q².L Q².L

222

K₁ K₂ K₃

(2 – 8)

Рис. 2.3

При последовательном соединение труб с отводом воды в сторону

Q1 = Q; Q2 = Q – qС; Q3 = Q – (qС + qД). (2 – 10)

Подставив вьражения расходов Q2 и Q3 из уравнений расходов (2 – 10) в уравнение общей потери напора
получим

о² L (О —а у² l (Q — q — q )^.L->

Q . (Q q) .

----¹ +-----С----2 +-----С---Д----³ = H. (2 - 11)
222

K₁ K₂K

Б. Параллельное соединение труб.

При решении задач по определению расхода параллельно-разветвленного трубопровода число
неизвестных расходов будет равно числу участков труб (по схеме на рис. 2.4 - четыре участка).

Рис. 2.4

Поэтому число уравнений, составляемых для такого трубопровода, должно быть равно числу
участков. Все виды расчетных уравнений для параллельно-разветвленного трубопровода можно разделить
на три группы:

Уравнение общей потери напора в системе:

h = h_fi

+ h_{f 2} + h_{f 4} = Q1L + QL + Q^

f2 f4 2 2 2

K₁ K₂ K₄

(2 – 15)

Уравнение равенства потери напора в параллельных ветвях:

h_f2

= h ■
hf 3;

Q₂.L₂ Q₃ .L₃

K₂² K₃²

(2 – 16)

Уравнения распределения расходов в системе:

Q1 Q 2 ⁺ Q3 ⁺ qC ’

(2 – 17)

Q 4 Q 2 ⁺ Q3 qD ’

(2 – 18)

По найденным значениям расходов, аналогично описанному выше, определяются потери напора в
отдельных участках системы и строится пьезометрическая линия.

3. ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ (ГАЗА).
- 3.1. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЯ ГАЗА

Особенности движение газа в трубопроводе. По сравнению с движением капельных жидкостей
движение газов характеризуется некоторыми особенностями, обусловленными, главным образом,
различием физических свойств капельных и газообразных жидкостей. В рассматриваемом случае
возникающие потери напора на трение по длине вызывают ряд характерных особенностей движения
реального газа по сравнению с движением по трубам несжимаемых жидкостей.

Вследствие низкой вязкости воздуха и относительно больших скоростей режим течения газов в
большинстве случаев турбулентный.

С ростом потерь напора на трение давление по длине трубы уменьшается, что ведет к расширению
газа и уменьшению его объемного веса.

Вместе с тем в условиях установившегося движения, когда весовой расход остается постоянным
вдоль трубы, уменьшение объемного веса вызывает одновременное увеличение средней скорости течение
по трубе.

Изменяется вдоль трубы и коэффициент трения X.

При наличии теплообмена будет иметь место и непрерывное изменение температуры газа по длине
трубы.

Особенности расчета движение газа. Инженерные расчеты пневмосистем сводятся к определению
скоростей и расходов воздуха при наполнении и опорожнении резервуаров (рабочих камер двигателей), а
также с его течением по трубопроводам через местные сопротивления.

Вследствие сжимаемости воздуха эти расчеты значительно сложнее, чем расчеты гидравлических
систем, и в полной мере выполняются только для особо ответственных случаев.

В зависимости от интенсивности теплообмена с окружающей средой расчеты параметров воздуха
выполняются с учетом вида термодинамического процесса, который может быть от изотермического (с
полным теплообменом и выполнением условия Т=const) до адиабатического (без теплообмена).

При больших скоростях исполнительных механизмов и течении газа через сопротивления процесс
сжатия считается адиабатическим с показателем адиабаты для воздуха k=1,4.

В реальных условиях неизбежно происходит некоторый теплообмен между воздухом и деталями
системы и имеет место так называемое политропное изменение состояния воздуха. Весь диапазон реальных
процессов описывается уравнениями этого состояния, что позволяет учесть потери, обусловленные трением
воздуха, и возможный теплообмен

pVⁿ =const

где р – давление в газе, V=1/ρ - удельный объем, n - показатель политропы, изменяющийся в пределах от
n=1 (изотермический процесс) до n=1,4 (адиабатический процесс).

В основу расчетов течения воздуха положено известное уравнение Бернулли движения идеального
газа

2
ρw

Yz + p +—— = const.

Слагаемые уравнения выражаются в единицах давления, поэтому их часто называют: z - весовое
давление; p - статическое давление; ρw²/2 - скоростное или динамическое давление.

На практике часто весовым давлением пренебрегают, и уравнение Бернулли принимает следующий

вид

2
ρw
p +--= const.

2

Сумму статического и динамического давлений называют полным давлением p₀.
получим

2
ρw

Р ⁺ —= Po.

При расчете газовых систем необходимо также иметь в виду, что при расчете
определяется не объемный расход газа, как в гидросистемах, а массовый расход.

Таким образом,

движения газов
Это позволяет

унифицировать и сравнивать параметры различных элементов пневмосистем по стандартному воздуху
(ρ=1,25 кг/м³, ν=14,9 м²/с при p=101,3 кПа и t=20°C).

Следует также учитывать, что при сверхзвуковых скоростях течения воздуха изменяется характер
зависимости расхода от перепада давлений на сопротивлении. В связи с этим существуют понятия
подкритического и надкритического режимов течения воздуха. Смысл этих терминов рассмотрен ранее.

Применение уравнения Д. Бернулли к расчету движения газа. Уравнение Д. Бернулли для двух
сечений потока, отстоящих друг от друга на бесконечно малое расстояние dl можно представить в виде

..2 Л

w

dl w

dz + dp + d -2— + A . — ■— = 0. (15.1)

/

\

/

d 2g

Пренебрегая влиянием веса газа и изменением скоростей, последнее уравнение (14.1) представим в
виде

dpdl w

— — = A----. (15.2)

/ d2 g

Так как w =---, где: й - площадь поперечного сечения трубы, м ; G - весовой расход газа, н/с; y -

/О

удельный вес, н/м³, выражение (15.2) примет вид

dp dl G²dl G

--= A------— или — dp = A—.

^Y d/ 2gm ^d/2go

(15.3)

При изотермическом процессе уравнение состояния имеет вид р/у=const откуда / =

_v р

/

¹ р.

А 1J

. С

учетом последнего равенства уравнение (15.3) примет окончательный вид

/ A G G²

р • dp =---— dl. (15.4)

P1 ^d 2go²

Интегрируя левую часть уравнения (15.4) в пределах от p₁ до p₂, а правую - от 0 до L (L - длина
трубы) получим

-{P1^2
р1¹¹

—

p₂²

G²

. (15.5.1)

g • О²

откуда

G = o

^p1²

—

р 2² gDYl

V Al

p₁

ns Р2 ^— Р22 D5 P1

4 V Al р 1

(15.5.2)

Формула (15.5) является расчетной формулой для определения весового расхода газа G при
заданных перепаде давления (p1 - p2) и диаметре трубопровода d. Это же уравнение (15.5) используется и
для определения диаметра трубы при заданных значениях G и (p1 - p2).

Учет перепада давления в трубопроводах. При гидравлическом (аэродинамическом) расчете
трубопроводов для газов следует различать два случая: - движение при малых относительных перепадах
давления; - движение при больших перепадах давления.

При этом под относительным перепадом давления Ар/р _ср понимают отношение абсолютного пе-
репада давления между начальным и конечным сечением Ар к среднему давлению на участке р_ср=(р 1 +р₂)/2.

При малых относительных перепадах давления (Ар/р ср < 5%) можно, пренебрегая сжимаемостью,
считать плотность транспортируемого газа неизменной по длине трубопровода; тогда гидравлический
(аэродинамический) расчет трубопроводов для газов принципиально не отличается от расчета трубопро-
водов для несжимаемых жидкостей.

При больших относительных перепадах давления (Ар/р_ср>5%) пренебрегать сжимаемостью газа
нельзя и нужно учитывать уменьшение давления транспортируемого газа по длине трубопровода,
сопровождающееся снижением плотности газа с возрастанием его скорости в направлении движения.

3.2. РАСЧЕТ ГАЗОПРОВОДОВ ПРИ МАЛЫХ ПЕРЕПАДАХ ДАВЛЕНИЯ

Особенности расчета течения газа по трубам при малых перепадах давления. При малых
перепадах давления уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости принимает вид

pg ^(z1

^г 2 )+(?1

p₂

w₁²

w₂²

ПОТ ^,

где Аp _пот - потерянное давление.

В трубопроводах для газов в большинстве практических случаев слагаемым ρg(z₁ -z₂) в этом
уравнении можно пренебречь, так как вследствие очень малой плотности газа его влияние слишком мало по
сравнению с другими членами уравнения. Пусть, например, для трубопровода Аг=20 м, а давление, раз-
виваемое вентилятором, Ар=25 000 Па.

Тогда рgАг =1,2 кг/м^3.9.81^.20 м = 240 Па, что составляет всего 0,01 Ар, и, следовательно, членом р gАг
можно пренебречь.

Перепишем уравнение Бернулли с учетом сказанного выше

^р1 ⁺ Pw1 /² Р2 ⁺ Pw2 /^{2 + Ар}пот ’

а при постоянном сечении трубопровода

p₁

^р2 ^АрПот ^АРТР ^+АРМ ’ ⁽¹⁵.6)

т.е. весь перепад давления в трубопроводе обусловлен потерями давления на преодоление гидравлических
сопротивлений. Формулу для определения потерь давления на трение представляют следующим образом
(Н/м²)

l w²

^Артр P^ghтp ^Л d ^Р 2 , ⁽¹⁵.7)

а для определения потерь давления в местных сопротивлениях

w²

^АР_М = рМ_м =&—, ⁽¹⁵.8)

где ρ= р_ср/(RT) - средняя плотность газа, кг/м³ [здесь р_ср=(р₁ + р₂)/2; p₁ и р₂ - давления в концевых сечениях
трубопровода].

Входящий в формулы (15.7) и (15.8) член ρw²/2 называют динамическим давлением.

Формулу (15.7) представляют также в виде

^Артр . l w²

R_rn =—ТР = Л-р--, (15.9)
ТР l d 2

где RТР - удельное сопротивление (сопротивление трения на 1 м длины трубопровода); RТР связано с
гидравлическим уклоном iTР зависимостью RТР=ρgiTР, а гидравлический уклон iTР выражается в виде

ТР

^iТР = l

Особенности гидравлического расчета длинных газопроводов низкого давления. В длинных
газопроводах потери давления на местные сопротивления невелики по сравнению с потерями давления на
трение, и здесь можно полагать

l w²

^АрПОТ ~ ^АрТР Л р . ⁽¹5.¹⁰⁾

Подставляя в уравнение (15.10) значение λ=0,11(kЭ/d+68Re)0,25, получаем, рекомендуемую А.Д.

Альтшулем, формулу для определения потерь давления в газопроводах низкого давления

Ар_тр = 7(к_э / d + 1922dv / QYlQ²/ d⁵, (15.11)

где Артр - потеря давления, мм. вод. ст.; l - расчетная длина газопровода, м; kЭ - эквивалентная
шероховатость, см; d - диаметр трубопровода, см; ν - кинематический коэффициент вязкости газа, м²/с; Q -
расход газа, м³/ч; у - удельный вес газа, кгс/м³ (при температуре 0°С и давлении 760 мм рт. ст.).

Представляют интерес два частных случая. Если kЭ/d<<1922dv/Q (при движении газа с малыми
скоростями в гладких трубах), формула (15.11) упрощается

Аp_Tр = 46,5г^0,25^^1,75/d4^,75. (15.12)

При обычных условиях расчета газопроводов этой формулой можно пользоваться при скоростях
течения газа w<3 м/с.

Если kЭ/d>>1922dν/Q (при движении газа с большими скоростями в трубопроводах со значительной
шероховатостью), то

0,25 5,25

АР_тр = 7 к_э, ylQ / d , .

В частности, для новых стальных труб при k_Э=0,1 мм

Аp_T=2 222Q2/d^5,25.

Особенности гидравлического расчета вентиляционных воздуховодов. Вентиляционные трубы
(каналы) часто имеют прямоугольное или квадратное сечение, поэтому вместо диаметра в уравнение (15.7)
вводят эквивалентный диаметр d_Э, в результате чего получаем формулу для определения удельного

сопротивления в следующем виде

v ^Л w 2

Rtp = ~Г^Г. (15.13.1)

Коэффициент гидравлического трения λ вентиляционных воздуховодов определяют по формуле
А.Д. Альтшуля, поэтому можно записать

ТР

0,25

0,11 (к_э 68v ) w²

+р.

d₃ ^ d₃ wd₃) 2

(15.13.2)

При расчетах вентиляции потери давления на местные сопротивления (повороты потока, слияние и
деление потока и др.) имеют, как правило, большее значение, чем потери на трение, и их учитывают особо;
при этом полезно также учитывать зависимость коэффициентов местных сопротивлений от числа
Рейнольдса Re.

3.3. РАСЧЕТ ГАЗОПРОВОДОВ ПРИ БОЛЬШИХ ПЕРЕПАДАХ ДАВЛЕНИЯ

Особенности движения газа при больших перепадах давления. При расчете длинных
трубопроводов (имеющих часто длину, равную десяткам и сотням километров), а также трубопроводов
сжатого воздуха необходимо учитывать значительные перепады давления между началом и концом
трубопровода.

В этом случае нельзя без больших погрешностей полагать плотность газа постоянной по длине
трубопровода, как это делается при расчете газопроводов низкого давления.

Кроме того, даже при сохранении постоянства диаметра по длине газопровода движение газа в
таких трубопроводах является неравномерным.

Действительно, в соответствии с уравнением неразрывности ρωw=const или pw=const при ω=const.
Но давление газа по длине газопровода уменьшается (т. е. уменьшается его плотность), следовательно,
возрастает скорость движения газа, которая в конце газопровода всегда выше, чем в его начале.

Далее, при расчетах таких газопроводов можно пренебрегать не только изменениями удельной
энергии положения, т.е. членом z1-z2 в уравнении Бернулли (об этом уже говорилось выше), но также
изменениями удельной кинетической энергии газа.

Пусть, например, Ар= р ₁-р₂=196 000 Па (р₁=294 000 Па); Az =z ₁ -z 2=20 м; w ₁=20 м/с; w ₂ = 25 м/с;
t=27°С=300° К; R=287 Дж/(кг^.К). Тогда

р = p¹ =--------= 3,4 КГ / м³; pgAz = 3,4 • 9,81- 20 = 680Па;

RT 287 • 300 ’

p(w₂2 - w2 )/2 = 3,4(625 - 400)/ 2 = 390Па.

Таким образом, перепад давления в 500 раз больше изменения удельной кинетической энергии и в
300 раз больше изменения удельной энергии положения.

Учет термодинамических процессов, протекающих при движении газа по трубопроводу, при
больших перепадах давления. При расчетах движения газов с большими перепадами давления уравнение

Бернулли сводится к зависимости (для бесконечно малого участка трубопровода, на котором плотность газа
и скорость его движения можно считать постоянными)

- dp=dpTР. (15.14.1)

С учетом формулы Дарси - Вейсбаха формула (14.13) получает вид

dl

— dp = л —
D

w²

--P.

(15.14.2)

Для интегрирования этого уравнения нужно знать характер изменения скорости, плотности и
коэффициента гидравлического трения вдоль газопровода, т. е. зависимости ρ=f(l); w=f₁(l); λ=f₂(l). Эти

зависимости определяются термодинамическими процессами, протекающими при движении газа по
трубопроводу. Если теплообмен между газом и окружающей средой отсутствует, газ будет расширяться
адиабатически, и его температура будет непрерывно понижаться. При наличии теплообмена между газом и
окружающей средой температура газа Т может сохраняться постоянной по всей длине газопровода
(изотермическое течение), равной температуре окружающей среды. Это обычно наблюдается в длинных
трубопроводах без тепловой изоляции, и поэтому большинство промышленных газопроводов работает в
условиях изотермического режима.

Как известно, коэффициент гидравлического трения λ=f(Re; k_Э/d). Относительная шероховатость по
длине газопровода не меняется (для данных k_Э и d). Число Рейнольдса можно представить в виде

pwd 4pQ 4 G

Re=~=n^=n^ ■

где G - массовый расход.

Основные зависимости для расчета газопроводов при больших перепадах давления. При
изотермическом режиме динамическая вязкость сохраняется неизменной по длине трубопровода (так как
температура газа не меняется), а следовательно, остается постоянным и число Рейнольдса. Таким образом,
несмотря на изменение средней скорости движения газа и его плотности коэффициент гидравлического

трения вдоль газопровода не меняется.

Введем в уравнение (6.52) скорость w₁ в начале газопровода. Скорость w и плотность ρ в любом
сечении газопровода связаны со скоростью и плотностью в начальном сечении w₁ и ρ₁ уравнением
неразрывности w=w1ρ1/p. Подставляя это выражение в уравнение (15.14), получим

, . dl p² w2

— dp = Л — ■ —^L. (15.15)

D p 2

С другой стороны, из уравнения состояния газа имеем
^pL₌ P²p pRT ’

в соответствие с чем формулу (15.15) можно привести к виду

(15.16)

₁ Л w2 p 2 „

— pdp =dl. (15.17)

D 2 RT

Интегрируя это уравнение от р1 до р2 (p2 - давление в конце рассматриваемого участка газопровода),
получим

p₁

^p1²

2 22

P 2 ^Л w1 P1 „

---=-----dl, откуда

D 2 RT

p, л w

- = D ’ T pi^pi;

p₁

p 2 Л M² p,
— =---7 —. (15'18)

D 2a² p

Уравнение (15.18) можно представить также в виде

^p1²

^p2²

2p₁

l w²

= ^ЛЪ ’ ~2~ Pi. (15'19)

Левая часть последнего уравнения может быть преобразована

p₁²

2p₁

p² (p1 - p 2 )(p 1 + p 2 ) 1/ Ji .P 2

--- = ------------------- = -(p 1 — p2 ) 1 * _ , поэтому

p₁

2p₁

- p 2 = --------

^{1 +} p 2 / p 1

p 1J

l w²

Л- ’~2 Pi' (15.20)

_T p 2 Р1 -Ap

Так как--=-------

p₁ p₁

= 1 — Ap / p_{, то, подставляя последнее выражение в уравнение (15.18),

получим окончательно

p₁

- p 2 =

2 l w1²

-----л —

2 — Ap / p, D 2

(15.21)

Уравнение (15.21) отличается от формулы Дарси - Вейсбаха для определения потерь давления при
движении несжимаемой жидкости лишь множителем, зависящим от отношения Ap/p 1. До тех пор, пока

сохраняется условие

Ap/p i < 5%, (14.22)

пренебрежение этим множителем дает ошибку около 2,5%, что допустимо в большинстве инженерных

расчетов.

Таким образом, можно прийти к выводу, что не абсолютная величина начального давления газа р₁определяет, можно ли при расчете газопровода пользоваться формулой Дарси - Вейсбаха, а относительная

величина изменения этого давления по длине газопровода в целом.

Определения весового расхода газа при расчете газопроводов при больших перепадах

давления. Формула для определения весового расхода газа, как отмечалось выше, имеет вид

G = а.

—

Л1

225

^gD^Y1 ng pl ^{— p}2 ^{D P}1

--=-----

p1 ⁴1 ^л1 p1

(15.23)

При турбулентном режиме, подставив в уравнение (14.18) значение λ=0,11(kЭ/d+68Re)^0,25 (см. 8.2.2),
и приведя к нормальным условиям (температура 0°С и давление 0,1 МПа), получаем, рекомендуемую А.Д.
Альтшулем, формулу

(pi2 — ^P2 'I/ L = 1,45^з / d + 1922dv / Q)0,²⁵ ?Q2/ d, (15.24)

где p₁ и p₂ - абсолютное давление газа вначале и в конце газопровода, ат; L – длина газопровода, км; d -

диаметр газопровода, см; k_Э - эквивалентная шероховатость, см; γ - удельный вес газа, кгс/см³; Q - расход
газа, м³/ч; ν - кинематическая вязкость газа, м²/с.

Значения γ, Q и ν приводятся к нормальным условиям. Уравнение (15.24) представляет собой
обобщенную формулу, действительную во всей области турбулентного режима.

Для случаев, когда kЭ/d<<1922dν/Q и kЭ/d>>1922dν/Q, уравнение (15.24) получает соответственно

вид

0,25 1,75 4,75

I p1 — p2 I / L = 9,6v , 'Q ^, / d ^, ; (15.25)

2 2 2 0,25 5,25

I p^ — p2 I / L = 1,45Q Yj / d ^, • (15.26)

Формула (15.26), действительная для квадратичной области сопротивления, применяется при
больших скоростях газа (w>50 м/с).

Определения диаметра трубопровода при расчете газопроводов при больших перепадах
давления. В практических расчетах для определения коэффициент трения X часто используют формулы,
полученные на основании обработки опытных данных по перекачке газов по трубам. Так, для определения X
в квадратичной области турбулентного режима для стальных трубопроводов используют формулу

0,0088

^л=тхТ’ ^,15-²⁷⁾

где d выражается в м.

Для определения X резиновых шлангов пользуются формулой

0,094
л = ——

(15.28)

где d - в метрах.

Подставив выражения для коэффициента трения X из (15.27) и (15.28) в формулу (15.23) и разрешив
ее относительно диаметра трубы (шланга) d, получим формулы для определения требуемого диаметра при
заданном весовом расходе воздуха G (и остальных исходных данных):

для стальных труб d =

П

p 0,0088L

- p 2 К g

(15.29)

для резиновых шлангов d =

p 0,094L

\ [ pl ^- p2 К g

(15.30)

Ответ по формулам (15.29) и (15.30) получается в м.

3.5. ДВИЖЕНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ (ДВУХФАЗНЫХ) ЖИДКОСТЕЙ В ТРУБАХ
- 3.5.1. Основные характеристики потоков двухфазных жидкостей

Гидравлический расчет трубопроводов при движении в них двухфазных потоков обладает
специфическими особенностями. Двухфазные потоки характеризуются тем, что в жидкости либо в газе
находятся во взвешенном состоянии твердые частички (так называемые взвесенесущие потоки) или в
жидкости — пузырьки газа (газожидкостные потоки).

Важнейшие характеристики двухфазных потоков:

1. Концентрация дискретного компонента в массе несущей жидкости или газа. Различают объемную
концентрацию cw и массовую (или весовую) концентрацию ср : cw = QД/Qж,

где QД - объем дискретной фазы, Qж - объем жидкости, проносимые в единицу времени через живое
сечение; c_ρ = МД/М_ж, где МД - масса дискретной фазы, а М_ж - масса жидкости, переносимые в единицу
времени через живое сечение потока.

2. Крупность перемещаемых потоком дискретных частиц, характеризуемая геометрической
крупностью, например средним диаметром d переносимых частиц, или гидравлической крупностью w.

Относительной крупностью s называется отношение диаметра частиц d к диаметру трубопровода D
т. е. se = d/D, или отношение гидравлической крупности w к величине gD, т. е. sw = w/ gD .

3. Критическая скорость v_кр - это та минимальная скорость (средняя по сечению, при которой еще не
происходит выпадения взвешенных в потоке твердых частиц, т. е. все твердые частицы перемещаются, не
осаждаясь на дно трубопровода. Критическая скорость зависит от концентрации дискретного компонента,
его относительной крупности и режима движения несущей жидкости в трубопроводе, т. е.

vкр = f(c,s,λ),

где λ - коэффициент гидравлического трения при движении несущей жидкости по трубопроводу.

Относительной скоростью ψv называется отношение средней скорости потока двухфазной жидкости
v к критической vкр ψv = v/vкр.

3.5.2. Потери давления при движении двухфазных жидкостей

Потери давления при движении двухфазных жидкостей в трубах можно найти по формуле Дарси
- Вейсбаха:

l v²

^ЛР ДФ Лдф ^ 2 Рдф

где ρДФ и λДФ - плотность двухфазной жидкости и коэффициент гидравлического трения при
движении ее по трубопроводу.

Величина λДФ определяется из формулы

λДФ = λ(1 + φсρ)р/рдф;

здесь р и λ - плотность несущей жидкости и коэффициент гидравлического трения; φ -
коэффициент, зависящий от основных характеристик двухфазного потока, т. е. φ = f (ψ,c,s).

Коэффициент φ находится по эмпирическим формулам. Иногда коэффициент λД_Ф становится
меньше, чем λ несущей жидкости.

3.5.3. Гидравлический расчет трубопроводов гидротранспорта

Перемещение твердых измельченных частиц потоком воды называется гидротранспортированием.

Различают напорное гидротранспортирование (движение грунта с водой - пульпы или гидросмеси по

напорным трубам) и безнапорное гидротранспортирование (движение пульпы по безнапорным трубам,
лоткам, желобам, каналам и т. д.).

Критическую скорость при напорном гидротранспортировании находят по одной из эмпирических
формул, например по формуле В. С. Кнороза

vK_P=^cPD/dF

Потери напора при движении пульпы можно найти по формуле

Ap ДФ

l v²

= ^ЛДФ d 2 ^РДФ,

которую с учетом выражения λД_Ф = λ(1 + φс_ρ)р/р_дф часто представляют в виде I_П = IВ(1 + φc)

где IВ - потери напора на единице длины (гидравлический уклон) при движении чистой воды; IП -
то же, при движении пульпы; φ - коэффициент, определяемый по эмпирическим формулам; например, по
формуле Дюрана:

V = N (JgD / v / (^ / Jgd )^1,5,

здесь N - коэффициент, зависящий от крупности частиц.

3.5.4. Гидравлический расчет трубопроводов пневмотранспорта

Пневмотранспортированием называется перемещение потоком воздуха измельченных твердых
материалов. Смесь твердых частиц с воздухом называется аэросмесью. Расчетная скорость воздуха в
системах пневмотранспорта для надежного перемещения материалов должна быть больше критической
скорости. Критическую скорость определяют по формуле

^vkp - 0,37 cpagD,

где c_ρ - массовая концентрация аэросмеси, определяемая по формуле c_ρ = МД/М_ж; a - относительная
массовая плотность частиц, которая определяется по формуле a = ρ_Т/ρ_ВОЗД; D - диаметр трубопровода.

Потери давления в трубопроводах пневмотранспорта ΔрД_Ф рассчитывают по формуле

^Ap ДФ

lv

= ^ЛДФ d 2 ^РДФ,

которую с учетом выражения λДФ = λ(1 + φсρ)р/рдф обычно записывают в виде
ΔpДФ = ΔpВОЗД(1 + φcp), где Δpвозд - потери давления при движении чистого воздуха.
Значение коэффициента φ принимают по справочникам.

3.5.5. Движение неньютоновских жидкостей в трубах

Жидкости, для которых предложенная Ньютоном зависимость не удовлетворяется, называются
неньютоновокими или аномальными жидкостями. К ним относятся строительные растворы, литой бетон,
глинистый раствор, употребляемый при бурении скважин, нефтепродукты с температурой, близкой к

застыванию, различного рода суспензии и коллоидные растворы.

Для аномальных жидкостей справедлив закон Бингема:

τ = τ0 + νρ(du/dy), где τ0 — величина, характеризующая некоторое начальное значение касательного

напряжения, после которого жидкость приходит в движение.

Потери давления при движении неньютоновских жидкостей в трубопроводах можно определить по
формуле Дарси-Вейсбаха

l v²

^Ap дф ^лдф ^ 2 ^рДф^.

При этом значение коэффициента гидравлического трения λн следует находить: а) для структурно-
ламинарного режима при движения при 240<Re*<3000 по формуле λн = 64/Re*; б) для турбулентного
режима движения при Re*>3000 по
формуле лн = 0,l 6/Re .

В этих формулах Re* - обобщенное число Рейнольдса, учитывающее как вязкие, так и пластические
свойства жидкости и определяемое выражением

Re *

^vDPh IP

1 T D
v + ——

6 vp

4. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДОК. СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
- 4.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ОТВЕРСТИЙ И ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИСТЕЧЕНИЙ
  - 4.1.1. Классификация отверстий

Основной задачей гидравлического расчета отверстий и насадок является определение скорости
истечения жидкости и вытекающего расхода.

В теории истечения жидкости из отверстий в зависимости от толщины стенки принято различать:

1. Истечение из отверстия в тонкой стенке.
2. Истечение из отверстия в толстой стенке.
3. Истечение из насадки.

Рис.1.1

Тонкой называется такая стенка резервуара, толщина которой не влияет на истечение жидкости из
отверстия (на скорость истечения и расход). В этом случае вытекающая струя соприкасается только с
внутренней кромкой отверстия. Стенку считают тонкой, если ее толщина S не превышает 2,0-2,5 диаметров
отверстия d (рис.1.1,а ).

Толстой называется стенка, толщина которой влияет на истечение жидкости из отверстия. В этом
случае вытекающая струя постоянно или периодически соприкасается с боковой поверхностью отверстия
или частью ее, что влияет на величину вытекающего расхода. Стенку считают толстой, если ее толщина 8
находится в пределах (2...2,5).d < S< (3^4).d (рис. 1.1,б).

Насадкой называется короткий отрезок трубы, присоединенный к отверстию в тонкой стенке.
Длина насадки 8 принимается равной 3.5 диаметрам отверстия (рис. 1.1, в). Если толщина стенки
резервуара равна 3,0…5,0 диаметрам отверстия, то в гидравлическом отношении такое отверстие
представляет собой насадку.

В зависимости от соотношения напора и вертикального размера отверстия различают
гидравлически малые и большие отверстия.

Малым (в гидравлическом смысле) называется отверстие, высота h (диаметр d) которого

незначительна по сравнению с напором H (h (или d) <= 0,1.H).

Большим (в гидравлическом смысле) называется отверстие, высота h (диаметр d) которого имеет
величину одного порядка с напором H.

4.1.2. Основные характеристики истечений

Истечение жидкости может происходить из незатопленного и затопленного отверстий. Отверстие
считают незатопленным, если уровень жидкости за отверстием находится ниже центра отверстия.

Если уровень жидкости за отверстием расположен выше центра отверстия, имеет место истечение
из затопленного отверстия или истечение под уровень (рис. 2.2).

В зависимости от изменения напора во времени различают истечение при постоянной и переменном
напоре.

При постоянном напоре H (измеряемом над центром отверстия) расход, скорость и траектория
струи не изменяются во времени, при истечении будет наблюдаться установившее движение жидкости.

При переменном напоре H , например, в случае опорожнения резервуара, расход, скорость и
траектория вытекающей струи изменяются во времени, при истечении будет наблюдаться неустановившееся
движение жидкости.

4.2. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ МАЛЫЕ И БОЛЬШИЕ ОТВЕРСТИЯ В ТОНКОЙ СТЕНКЕ ПРИ
ПОСТОЯННОМ НАПОРЕ
- 4.2.1. Истечение из малого отверстия в тонкой стенке

Выведем расчетные формулы определения скорости истечения и расхода для случая истечения
жидкости из малого отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Составим уравнение Бернулли для сечения 0-0 на уровне свободной поверхности жидкости в
резервуаре и сечения С - С в сжатом сечении струи. Плоскость сравнения примем проходящей через центр
отверстия. Тогда, приняв a = 1,0 , будем иметь:

222

pv pvv

Z + Lo + ^o = z + c+ + cL + _д _c,
^o Y ² g ^c Y ² g

где Z - коэффициент сопротивления на входе в отверстие.

(2 – 1)

Так как z = H; z = 0;
oc

ppp

oаc

---=---=---, уравнение (2 - 1) примет вид

Y Y Y

v²

H + o°- = (1 + ^. ^ .

2g 2g

(2 – 2)

Решая (2 - 2) относительно средней скорости в сжатом сечении струи, получим

v = ---

^c V1 + ^

2 g. H + -o

² g

(2 – 3)

Если обозначить

^ =

\ 1 + Z

выражение (1 – 3) примет вид

(2 – 4)

v
c

= Ч^2g■ ^Ho ■

(2 – 5)

считая Но = Н

vc = ^J² g^H .

(1 – 5a)

Расход жидкости, вытекающей из отверстия будет равен

Q = v .a = rn.a . 2gH .

cc c o

Выразим площадь сжатого сечения струи тс через площадь отверстия т, введя коэффициент сжатия
a

г = -с.
т

Тогда:

Q = ^.s.^² g^H_o ■

Если обозначить

V = ^.£,
получим расчетную формулу для определения расхода в виде

Q = ^т² g^H_o.

(2 – 6)

Величина и = ф.£ называется коэффициентом расхода при истечении из отверстия.

Преобразовав формулу (2 - 4), получим выражение для коэффициента сопротивления:

(=4 -¹ф

Коэффициенты ф, s, и, Z являются основными гидравлическими показателями истечения жидкости
из отверстий. Их значения определяются экспериментальным путем. Для случая истечения маловязкой
жидкости из малого круглого отверстия в тонкой стенке при полном и совершенном сжатии струи эти
коэффициенты имеют следующие значения:

s = 0,64; ф = 0,97; и = 0,62; Z = 0,06 .

В случае истечения жидкости из закрытого резервуара при давлении над свободной поверхностью
po, не равном атмосферному pа, напор, под действием которого происходит истечение, будет равен сумме

V² p - p

ooa

геометрического напора Н, скоростного напора и высоты столба жидкости,

² gY

соответствующей избыточному давлению на свободной поверхности.
При этом формула (1 – 6) расхода из отверстия получит вид

Q

= и.^. 2g. H

\ [ o

P —
+ o^-

Y

pa }

(2 – 7)

При значительных сечениях резервуара и больших избыточных давлениях на свободной

v²

поверхности скоростным напором o можно пренебречь, полагая Но = Н.

4.2.2. Истечение из большого отверстия в тонкой стенке

Определим расход жидкости, вытекающий из большого прямоугольного отверстиям тонкой стенке
(рис.2.4). Пусть напор по высоте отверстия изменяется от H1 до H2.

Рис. 2.4

Расход через отверстие будет равен

(2 – 8)

Экспериментами установлено, что коэффициент расхода и для случая истечения из большого
отверстия в тонкой стенке равен 0,63…0,65.

4.3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ЧЕРЕЗ НАСАДКИ ПРИ ПОСТОЯННОМ НАПОРЕ
- 4.3.1. Основные определения истечения через насадки

Насадки широко применяются в различных областях техники для увеличения расхода,
вытекающего из отверстия в тонкой стенке, получения струи большой кинетической энергии, создания
эффекта инжекции, увеличения расхода с одновременным уменьшением кинетической энергии вытекающей
струи и т.д.

Наибольшее распространение получили следующие типы насадок: внешняя цилиндрическая,
конически сходящаяся, конически расходящаяся, коноидальная.

Расход и скорость истечения жидкости из насадок определяются по тем же формулам, что и при
истечении из отверстий, то есть:

Q = µ.ω. V 2gH_o;

v = ϕ. л/ 2gH_o.

где: µ - коэффициент расхода насадки,

ω - площадь выходного сечения насадки,

ϕ - коэффициент скорости насадки.

Рассмотрим основные гидравлические показатели различного типа насадок и особенности
истечения жидкости из них по сравнению с истечением из малого отверстия в тонкой стенке.

4.3.2. Характеристики насадок

Внешняя цилиндрическая насадка (рис. 3.1).

По опытным данным истечение из внешней цилиндрической насадки характеризуется следующими
гидравлическими показателями:

ε = 1,00; ϕ = 0,82; µ =0,82; ζ = 0,50.

Сравнивая их с соответствующими показателями при истечении из малого отверстия в тонкой
стенке, видим, что при всех прочих равных условиях, наблюдается увеличение расхода на 32% (увеличение
коэффициента расхода µ от 0,62 до 0,82).

Коническая сходящаяся насадка (рис.3.2, а)

Гидравлические показатели насадки зависят от угла конусности α и по опытным данным являются
наилучшими при α = 13°24’, имея следующие значения

Рис. 3.2

ε= 0,98; ϕ= 0,96; µ= 0,95; ζ=0,08.

Струя, вытекающая из насадки, обладает большим запасом кинетической энергии, отличается
компактностью и способностью сохранять свою форму на значительном расстоянии, не распадаясь на
отдельные капли. Это обуславливает широкое применение конически сходящихся насадок в пожарных
брандспойтах, моечных установках, гидромониторах, водоструйных насосах (эжекторах) и т. п.

Коническая расходящаяся насадка (рис. 3.2,б)

Истечение из насадки характеризуется наличием значительного вакуума во входной части.
Величина вакуума зависит от угла конусности α. Во избежание отрыва струи от стенок насадки угол
конусности не должен превышать 5…7°. Сжатие струи в выходном сечении отсутствует. Гидравлические
показатели имеют следующие значения:

ε = 1,0; ϕ = 0,46; µ = 0,46; ζ = 3,75 .

Гидравлические потери в насадке значительны и скорость вытекающей струи более чем в два раза
меньше, чем при истечении из отверстия в тонкой стенке. Благодаря наличию значительного вакуума,
насадка интенсивно "подсасывает" жидкость из резервуара, увеличивая расход. Если отнести коэффициент
расхода µ не к выходному, а к входному сечению насадки он резко возрастет и будет иметь значение
большее единицы. Конические расходящиеся насадки широко применяются в гидравлических системах для
получения больших разрежений (эжекторы, карбюраторные устройства, водоструйные насосы и пр.),
пропуска больших расходов при относительно малых выходных скоростях.

Коноидальная насадка (рис. 3 – 2,в)

Коноидальная насадка имеет очертание по форме струи, вытекающей из отверстия в тонкой стенке.
В связи с плавным входом жидкости в насадку гидравлические потери в ней незначительны, а
коэффициенты скорости и расхода велики. Насадка характеризуется следующими гидравлическими
показателями:

ε = 1,0; ϕ = 0,98 (до 0,99); µ = 0,98 (до 0,99); ζ = 0,06.

Струя, вытекающая из коноидальной насадки, обладает кинетической энергией большей, чем у
конически сходящейся насадки.

4.4. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ НАПОРЕ.

Основная задача расчета – определение времени понижения или повышения уровня жидкости в
резервуаре.

Рис. 3.3

В случае, когда сечение резервуара постоянно - Q = const, можно получить формулу в конечном
ВИДе (при постоянном Qnp=Q1 < Qucm=Q2):

T =

.ln

Здесь Н_пр - напор, при котором отверстие или насадка пропускает расход жидкости Q_np

Q ²

пр

Q = ц.ю. /2gH ; H = —-— ---= const.

^пр 1 ^{пр пр} ц ²_М ².2 g

r 2.Q

При отсутствии притока (Q_np = 0) и Н_пр = 0. Тогда T =-----;=

ц.^.^2 g

2Л JH

При полном опорожнении (H2 = 0) T =-----:---

ц.т.^2 g

4.5. СТРУЙНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
- 4.5.1. Классификация струй

Струями называют конечные потоки жидкости или газа неограниченные твёрдыми стенками.
Струйные течения (струи) широко распространены как в природе, так и в технике. Теория струй является
одной из базовых в таких отраслях как судостроение, авиация, реактивные аппараты, пожаротушение,
разработке полезных ископаемых.

Струйные течения сильно отличаются как по структуре движения, так и величине параметров, их
определяющих. Учитывая различные признаки, струи можно классифицировать так:

по плотности вещества струи и среды: А А - незатопленные свободные, А ^_ А -
затопленные свободные, А ^2 - несвободные затопленные, где р 1 - плотность вещества струи, р₂ -
плотность вещества среды;

по скорости движения: М <\- дозвуковые, >1 -сверхзвуковые, где М - число Маха;

по газовому состоянию вещества струи и среды:однофазные, двухфазные, многофазные;

по величине давления истечения: Р < 1МПа - низкого давления, 5МПа - среднего давления,

50МПа - высокого давления, 50Мпа - сверхвысокого;

по характеру изменения давления истечения во времени: Р ⁼ const - стационарные, Р = ^^ -

_ ² 1 и 2 ^{z у} ),

IO- Р

2 - пульсирующие;

по степени распыливания (расширения) вещества струи: «

рядовые,

- распыленные,

по характеру течения: ламинарные, турбулентные.

- компактные, ^0 >/„ > 10^

4.5.5. РАСПЫЛИВАНИЕ ЖИДКОСТИ.

Эффект эжекции

Эффект эжекции заключается в том, что поток с более высоким давлением, движущийся с большой
скоростью, увлекает за собой среду низкого давления. Увлеченный поток называется эжектируемым. В
процессе смешения двух сред происходит выравнивание скоростей, сопровождающееся, как правило,
повышением давления.

Простейшая эжекционная система входит в комплектацию бытовых пульвелизаторов, пылесосов.
Для технической реализации эффекта эжекции достаточно направить поток воздуха от домашнего пылесоса
в приемный патрубок системы, изображенной на рис. 2.

Рис. □ 2. Техническая реализация эффекта эжекции

1 - трубка с потоком эжектирующего воздуха; 2 - патрубок подвода эжектируемой жидкости; 3 - резервуар с
эжектируемой жидкостью; 4 - поток воздуха; 5 - конус распыления эжектируемой жидкости.

Повышение давления эжектируемого потока без непосредственной механической энергии
применяется в струйных аппаратах, которые используются в различных отраслях техники: на
электростанциях - в устройствах топливосжигания (газовые инжекционные горелки); в системе питания
паровых котлов (противокавитационные водоструйные насосы); для повышения давления из отборов турбин
(пароструйные компрессоры); для отсоса воздуха из конденсатора (пароструйные и водоструйные
эжекторы); в системах воздушного охлаждения генераторов; в теплофикационных установках; в качестве
смесителей на отопительных водах; в промышленной теплотехнике - в системах топливоподачи, горения и
воздухоснабжения печей , стендовых установках для испытания двигателей; в вентиляционных установках -
для создания непрерывного потока воздуха через каналы и помещения; в водопроводных установках - для
подъема воды из глубоких скважин; для транспортирования твердых сыпучих материалов и жидкостей.

5. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ОТКРЫТЫХ РУСЛАХ (КАНАЛАХ). ВОДОСЛИВЫ
- 5.1. РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ В ОТКРЫТЫХ РУСЛАХ
  - 5.1.1. Основные определения равномерного движения в открытых руслах

Основные формулы для расчета равномерное движение жидкости в открытых руслах. При
равномерном движении жидкости глубина потока по его длине остается неизменной величиной. Эта
глубина называется нормальной глубиной и обозначается через h0.

Пьезометрическая линия в открытых потоках (каналах) совпадает со свободной поверхностью и,
следовательно, при равномерном движении она параллельна дну потока. Поэтому гидравлический и
пьезометрический уклоны равны уклону дна канала i.

Основной расчетной формулой при расчете каналов является формула Шези

v = C Ri = W л/i, (13.6)

где v - средняя скорость движения потока; W определяется как скоростная характеристика (модуль
скорости), имеет размерность скорости,

W = C R , (13.7)
R - гидравлический радиус; С - коэффициент (коэффициент Шези).

Коэффициент Шези, как отмечалось ранее, определяется по формуле Н.Н.Павловского

C= ¹R^y; (13.8)

n

Здесь n - коэффициент шероховатости стенок русла (определяется по справочнику в зависимости от
состояния русла); y - показатель степени, зависящий от коэффициента шероховатости русла n и

гидравлического радиуса R, y = f (n, R). По формуле академика Павловского (при 0,1 м < R < 3,0м)

y=2,5 n - 0,13 - 0,75 R( n - 0,1). При n=0,011 ^ 0,020 можно принимать у = 0,167 = —

Тогда для определения коэффициент Шези применяется формула Маннинга

C = ¹ ■ R^1/6-. (13.9)

n

Для практических расчетов с достаточной степенью точности при R<1,0м можно принять
у = 1,5-у/n , а при R> 1,0м у = 1,3уЩ .

Применительно к расходу формула Шези имеет вид

Q = а СVRi . (13.10)

Обозначив C^JR = K , (13.11)

получим формулу для расчета расхода в следующем виде

Q = K4i, (13.12)

где К - модуль расхода (расходная характеристика). При i =1 К=Q, т. е. модуль расхода равен такому
расходу, который установится в канале при заданной глубине и уклоне дна канала, равном единице (канал
проложен под углом в 45 )

5.1.2. Гидравлические расчеты равномерного движения жидкости в открытых руслах (каналах)

Основные задачи при гидравлическом расчете каналов. Как уже отмечалось основное
уравнение равномерного движения воды в канале может быть записано в двух формах: относительно
средней скорости течения v или пропускаемого расхода Q (см. формулы 13.6 и 13.10).

Наиболее типичными задачами, которые могут возникнуть при гидравлическом расчете канала
трапецеидального сечения, являются:

- определение пропускной особенности канала Q;
- определение уклона для канала 10;
- определение глубины наполнения канала h ₀ или ширины канала по дну b.

Познакомимся с методами решения этих задач.

Гидравлические расчеты равномерного движения.

Задача 1. Определение расхода Q, пропускаемого каналом.

Задание: Определить расход Q, пропускаемый каналом, если известны глубина наполнения канала
ho, ширина канала по дну b, уклон дна 10 и род грунта, в котором устроен канал (или характер его облицовки,
если предполагается укрепление дна и стенок канала, т. е. известен коэффициент шероховатости n).

Решение: В зависимости от рода грунта или характера облицовки по справочным данным
(например в учебнике) определяется коэффициент откоса m и коэффициент шероховатости n, вычисляются
величины й и R.. Величина коэффициента С определяется для найденных значений R и n по формуле
Н.Н.Павловского (13.8) (по этой формуле составлены таблицы) или по формуле Маннинга (13.9). Определив
таким путем все величины, входящие в уравнение равномерного движения значение искомого расхода
вычисляют непосредственно по уравнению

Q = Са^.

Задача 2. Определение уклона дна канала 10.

Задание: Определить уклон дна канала 10, который необходим для пропуска заданного расхода Q
при известных размерах канала (b и m) и роде грунта или одежды.

г Q²

Решение: Непосредственно из уравнения равномерного движения имеем I = —-—-—, где в
⁰ С²а²R

соответствии с формулой (13.1) модуль расхода (расходная характеристика) K2 = С²ю2R. Значения величин
С, ю и R определяются так же, как и в задаче 1.

Задача 3, а. Определение глубины наполнения канала h0.

Задание: Определить глубину наполнения канала h₀, при которой канал шириной по дну b, с
уклоном 10, коэффициентом откоса m и шероховатости n пропустит расчетный расход Q .

Решение: Непосредственно по уравнению равномерного движения глубина наполнения h₀вычислена быть не может, так она входит в параметры уравнения С, ю, х, R в довольно сложном виде.

Поэтому задачу решаем методом подбора. Преобразуем уравнение (13.10) с учетом выражения (13.11) для

Q²

модуля расхода К к следующему виду ---=

I₀

C 2М 2 r R, откуда —— = K 2

I₀

Анализ последнего уравнения показывает, что параметры его, стоящие в левой части не зависят от
глубины наполнения канала, в то время как правая часть (расходная характеристика) в силу равенства
(13.11) является функцией глубины наполнения, т.е. К = К (h₀).

Это положение дает возможность определить глубину наполнения канала графоаналитическим
способом. Сущность его заключается в следующем. Задаемся рядом произвольных значений h и по
приведенным выше формулам при каждом значении h определяем величины B, OJ, %, R. Затем по

формуле Шези определяем расход Q при данной глубине h. После чего строим график Q = f (h) (рис.
13.2,а).

Рис. 13.2. Графики зависимости расхода Q от глубины h и ширины канала b

Отложив на оси абсцисс точку, соответствующую заданному расходу Q, найдем по графику
искомую глубину h.

Задача 3, б. Определение ширины канала.

Задание: Определить ширину канала по дну b, необходимую для пропуска заданного расхода при
известных значениях h₀, Q, m, I₀, n.

Решение: Задача решается так же методом подбора. Задаваясь различными значениями b,
последовательно определяем величину B, &, х, R и по формуле Шези вычисляем расход Q, после чего
строим график Q = f (Ь) (рис. 11.2,б). На графике по заданному расходу Q_зад найдем искомую величину
ширины канала понизу b_иск. Как видно на рис. 13.2,б кривая Q = f (b) выходит не из начала координат.
Отрезок 0B характеризует расход в треугольном русле при b=0.

5.2. НЕРАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
- 5.2.1. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ НЕРАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ

Общая характеристика неравномерного движения

Ранее было дано определение неравномерного движения жидкости как движения, при котором
живое сечение потока и средняя скорость изменяются по длине потока. Неравномерное движение в
открытых руслах при постоянном расходе будет наблюдаться в тех случаях, когда по длине потока
изменяются размеры и форма поперечного сечения потока, продольный уклон дна или шероховатость
стенок русла. При неравномерном движении ширина или глубина потока, или одновременно и то и другое
по длине этих русел являются величинами переменными.

Неравномерное движение жидкости может происходить в призматических и непризматических
руслах. Призматическими называются такие русла, форма и размеры поперечного сечения которых не
изменяются по длине. При неравномерном движении в призматических руслах по длине потока изменяется
глубина течения.

Примеры неравномерного движения:

а) движение воды в верхнем бьефе водоподпорного сооружения (плотины) (рис. 1.1,а). Это
движение характеризуется увеличением глубины потока в направлении движения жидкости. Кривая
свободной поверхности в этом случае называется кривой подпора.
б) движение воды в канале, уклон дна которого возрастает (рис.1.1,б). В этом случае глубина
потока уменьшается по направлению движения жидкости, кривая свободной поверхности жидкости

называется кривой спада.

Рис. 1.1

Основное уравнение неравномерного движения

Рассмотрим участок русла длиной l и уклоном дна I_o , вода в котором движется в условиях
неравномерного плавноизменяющегося движения, образуя вогнутую кривую подпора (рис. 1.2).

Основное уравнение неравномерного плавноизменяющегося движения жидкости записывается в

следующем виде

h^ +

Q²

э 2

2 g ^₂

h₁

₊-2-

2 g ^2 }

I
o

—

—22__

С² _М ² . R
ср ср ср J

При заданном расходе Q, известной форме призматического русла, а также уклоне дна I_o и
коэффициенте шероховатости n это уравнение связывает между собой три переменных (по длине потока)
величины: глубины потока h₁ и h₂ на границах участка и длину участка l . Если известны две из них, из

основного уравнения можно определить третью.

Рис. 1.2

Например, если известна глубина потока в конце участка h₂ и длина участка l , то методом
подбора можно определить глубину потока h₁ в начале участка. (Напомним, что при заданной форме
призматического русла площадь живого сечения го является однозначной функцией глубины h).

Однако, если известны глубины h₁ и h₂ , то длина участка l определяется из основного уравнения
непосредственно.

Используя последнее уравнение, можно по точкам построить кривую свободной поверхности.
Если известны глубины потока в начале и в конце участка h₁ и h₂, то, задаваясь несколькими
промежуточными значениями глубин hа, hб, hв (рис. 1.3), вычисляют расстояния между парами
промежуточных глубин и по полученным точкам строят кривую свободной поверхности.

Рис. 1.3

5.2.2. Характеристики неравномерного движения

Удельная энергия сечения потока

Удельной энергией сечения потока по определению называется сумма

Э = h +

Удельная энергия потока вследствие потерь на трение убывает вниз по течению потока.

Удельная энергия сечения потока при равномерном движении остается для всех сечений
постоянной, так как при равномерном движении и скорость течения и глубина постоянны по длине потока.
Т.о. если удельная энергия потока определяется относительно произвольно выбранной, но одной и той же
для разных сечений, плоскости сравнения (рис. 2.1), удельная энергия сечения потока определяется
относительно своей для каждого сечения плоскости сравнения, проходящей через нижнюю точку живого
сечения (рис. 2.2).

Заменяя среднюю скорость течения v отношением расхода Q к площади поперечного сечения ω и
принимая α ≅ 1, получим следующее выражение для удельной энергии сечения потока:

Э=h+ ^Q .

~ 2

2g.ω

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Критическое, спокойное и бурное состояние потока

При постоянном расходе Q глубина потока h может быть различной, в зависимости от уклона
дна I_o , шероховатости n .

Учитывая, что площадь живого сечения при заданной форме и размерах поперечного сечения русла
однозначно определяется глубиной h: ω = f(h), замечаем, что при постоянном расходе удельная энергия
сечения потока является функцией только глубины h. Нарисуем график этой функции (рис. 2.3).

При h → 0 ω → 0, и второе слагаемое в выражении для удельной энергии сечения потока стремится
к бесконечности, а с ним стремится к бесконечности и удельная энергия сечения потока. При этом кривая
графика асимптотически приближается к оси абсцисс.

Рис. 2.3

При h → ∞ второе слагаемое стремится к 0, а кривая графика удельной энергии сечения потока
Э асимптотически приближается к прямой Э = h, так как при больших h

Q²2g.ω²

→0.

Так как функция, выражающая зависимость удельной энергии сечения потока от глубины
непрерывна, существует некоторое значение глубины h, при котором удельная энергия сечения потока
принимает минимальное значение.

Графическое изображение удельной энергии сечения потока в функции от глубины называется
кривой удельной энергии сечения потока.

Критическая глубина.

Глубина h, при которой удельная энергия сечения потока при данном расходе Q принимает
минимальное значение, называется критической глубиной и обозначается h_к.. Состояние потока при
критической глубине называется критическим. Критическими называются и все гидравлические элементы
потока, соответствующие его критическому состоянию. Они обозначаются с индексом "к" - v_K, юк, R_K, С_к и
т.д.

Критическая глубина потока может быть найдена как экстремум непрерывной функции Э = Э(h).
Для этого приравняем нулю первую производную функции

dЭ , Q² da

— = 1 - ^Ц-.— = 0.

dh 3 dh

g^.a

Из рис. 2.2 видно, что дифференциал площади живого сечения может быть представлен в виде da =
B.dh, где B - ширина потока (B = B(h)).

Q².B_к

С учетом последнего выражения имеем 1--— = 0.

g .a ²

к

Выделяя в левую часть величины, зависящие от глубины h, уравнение для определения критической

^a3 Q²

глубины h_K окончательно получаем в виде ---=---.

^к Bg

к

Для определения критической глубины можно использовать графики, один из которых представлен
на рис. 2.4.

Рис. 2.4

Для русла прямоугольной формы B = const , a = B.h и уравнение для критической глубины
принимает вид

B³.h³кQ

B g^.

Отсюда

= a_K.v_K = B.h_K.v_K )

получаются формулы

для непосредственного вычисления h_к (с учетом, что расход

h = 3

к

Q²

= 3

222
v .B .h

кк

g.B²

h

к

v²к
g^;

v = g. h ;
кк

Вводя понятие удельного расхода жидкости на единицу ширины прямоугольного потока q = Q / B,
выражение для критической глубины запишем в виде

h

' = 3 q².

к_g

Критический уклон.

Для характеристики потока при неравномерном движении необходимо определение величины

критического уклона.

Критическим уклоном называется такой уклон дна потока, при котором заданный расход
проходит в условиях равномерного движения с критической глубиной, т.е. при котором нормальная
глубина потока равна критической ho = hк. Вспомним, что нормальной глубиной называется глубина
потока, с которой при данном уклоне дна Io заданный расход Q проходит в условиях равномерного
движения. Величина критического уклона в общем случае определяется из уравнения равномерного
движения, которое при критических значениях элементов потока пишется следующим образом:

Q²

Q = ^Ск ^Мк ЧRK ■ Io, откуда I к = _r 2 2,, ^.

v^ .^0 .

ккк

Подставив в эту формулу выражение для Q² из уравнения

Q²

3 „

a . g

к

, а также учитывая, что R_к

B

к

= Юк/хк, получим следующую зависимость для определения критического уклона

g?^.

^к C².B

кк

Для суждения о состоянии потока и построения кривых свободной поверхности необходимо
иметь данные о следующих основных элементах потока: критической глубине hк, критическом уклоне Iк,
нормальной глубине ho и уклоне дна Io.

Рис. 2.7

По уклону дна естественных и искусственных русел принято различать:

- русла с горизонтальным дном при Io = 0 (рис. 2 – 7,а);
- русла с прямым уклоном дна при Io > 0 (рис. 2 – 7,б);
- русла с обратным уклоном дна при Io < 0 (рис. 2 – 7,в).

Наиболее часто встречаются русла с прямым уклоном дна; искусственные русла (в частности
дорожные трубы) нередко устраиваются с горизонтальным дном.

При заданном расходе Q прямой уклон дна потока может быть равным критическому уклону I_к,
меньшим или большим его. При уклоне дна, равном критическому для заданного расхода Q,
нормальная глубина потока h_o равна критической глубине h_к. Если при том же расходе Q уменьшать уклон
дна I_o , нормальная глубина h_o начнет возрастать, критическая же глубина h_к, зависящая для данного русла
только от величины расхода Q, остается неизменной. Таким образом, при Io < Iк будет ho > hк. С
увеличением уклона дна сверх критического уклона глубина равномерного движения ho становится
меньше критической, т.е. при Io > Iк имеем ho < hк .

Формы свободной поверхности потока.

Соотношение между глубиной неравномерного движения h, нормальной глубиной ho и критической
глубиной h_к характеризует собой вполне определенные формы свободной поверхности потока.

При глубине потока большей критической h_к состояние потока называется спокойным.
Спокойному состоянию потока отвечает верхняя ветвь кривой удельной энергии сечения (рис. 2 – 3). С
увеличением глубины спокойного потока увеличивается и удельная энергия сечения. Примерами
спокойных потоков являются равнинные реки с незначительными уклонами.

При глубине потока меньше критической h_к поток находится в бурном состоянии. На кривой
удельной энергии сечения (рис. 2 – 3) бурному состоянию соответствует нижняя ветвь. С увеличением
глубины потока удельная энергия сечения уменьшается. Горные реки с большими уклонами могут
служить примером бурных потоков. В бурном состоянии поток обладает значительной энергией, главным
образом за счет скорости течения. При этом происходит
интенсивный размыв дна и стенок русла. При устройстве искусственных водопропускных сооружений во
избежание деформации русла бурные потоки стремятся превратить в спокойные путем выполнения
ряда инженерных мероприятий, главным образом, устройством гасителей энергии различной
конструкции.

Гидравлический прыжок

В заключение отметим, что переход потока из бурного состояния в спокойное происходит
скачкообразно. Такое явление называется гидравлическим прыжком (рис. 2.8).

Рис. 2.8

5.3. ВОДОСЛИВОВЫ
- 5.3.1. Общие понятия и определения о водосливах

Основные определения

Водосливом называется то безнапорное отверстие (вырез, сделанный в стенке), через которое
протекает вода (рис. 1.1). Или по-другому, водосливом называется преграда на пути потока, через которую
переливается вода.

Рис. 1.1

Классификация водосливов

1. По типу порога водослива:

а) водосливы с тонкой стенкой (рис. 1.1,а). Струя не прилипает к оголовку S < (0,1 ...

0,5). H.

в) водосливы с широким порогом

- с острой передней кромкой 2H <S <10H;
- с закругленной передней кромкой 2,5H <S <15H

г) водослив практического профиля (рис. 1.1,б).

Если струя прижимается к сливной грани водослива (давление во всех точках больше
атмосферного) - водослив безвакуумного профиля.

2. По типу сопряжения струи с потоком в нижнем бьефе:

а) незатопленные (неподтопленные) водосливы, уровень воды в нижнем бьефе не влияет на расход
воды через водослив (рис. 1 - 1);
б) затопленные (подтопленные) водосливы (рис. 1 - 5, 1- 9); h_n = H - z - высота подтопления
(глубина подтопления) водослива (у незатопленных водосливов H < z, h_n = 0);

3. В зависимости от соотношения ширины отверстия водослива b и ширины потока B:

а) водосливы без бокового сжатия - b = B (рис. 1.2,а);
б) водосливы с боковым сжатием - b < B; bc - ширина струи в сжатом сечении (1.2,б).

Рис. 1.2

4. По геометрической форме водосливного отверстия (рис. 1.3):

Рис. 1.3

а) прямоугольные; б) треугольные; в) трапецеидальные; г) круговые; д) параболические и т.д.

5. В зависимости от расположения водослива в плане (рис. 1.4):

Рис. 1.4

а) прямые или лобовые; б) косые; в) боковые.

5.3.2. Формулы для определения расхода через водослив

Расход через прямоугольный водослив

Прямоугольный водослив.

Для прямоугольного водослива расход определяется по формуле

3 2

Q = m .a .a .b^2g.H ,

пл с з o

(1-1)

где: тпл - коэффициент расхода водослива; для водослива с широким порогом: при Рв.б/H = 0
т_пл = 0,385; при P_e.6./H = 3 т_пл = 0,32 при острой входной кромке и т_пл = 0,35 при закругленном
ребре (рис 1.5); ас - коэффициент бокового сжатия (приближенно можно считать ас = 1); аз - коэффициент
затопления (для незатопленных водосливов аз = 1); b - ширина водослива (если отверстий несколько -
суммарная ширина всех отверстий; Ho - полный напор (Ho = H).

Рис. 1.5

С помощью приведенной формулы можно решать три задачи:

- определять расход Q;
- определять требуемую ширину отверстия b;
- определять требуемый напор H.

При проектировании новых водосливов практически по заданному расходу Q определяют
оптимальные размеры b и H.

Неподтопленный прямоугольный водослива с тонкой стенкой.

Для неподтопленного прямоугольного водослива с тонкой стенкой (рис. 1.1,а) расход определяется
по формуле

Q = mo.b.y/2g.H32, м³ / c.

Скорость подхода учтена в коэффициенте расхода водослива mo, поэтому в формуле стоит не Ho, а
статический напор H.

Неподтопленный прямоугольный водослив с широким порогом (рис. 1.6)

Рис. 1.6

Такой водослив характеризуется наличием двух перепадов свободной поверхности Z_в и Z_н. В случае
спокойного потока в местах стеснения потока всегда получается снижение его свободной поверхности –
скорость течения увеличивается, а потенциальная энергия падает. Потери энергии потока (напора) на пороге
малы, поэтому поверхность воды над порогом в средней его части горизонтальна, глубина потока
постоянна.

Расход воды, протекающей через водослив, определяется по формуле

32 32

Q = mb.-yj 2 g. H & , или без учета скорости подхода Q = m. b.^j 2 g. H .

Эти формулы получаются из общей формулы (1 - 1) при а = аз = 1. Приближенно коэффициент
расхода m можно принимать равным 0,32 и 0,35 (рис. 1.5).

Глубину на пороге можно найти по формуле

h = k. H ,

o

где коэффициент k равен 0,453 для порога а) и 0,498 для порога б) (рис. 1.5).

При этом h < hк , т.е. поток на пороге бурный (на рис. 1 – 6 пунктирной прямой к – к показан
уровень воды при критической глубине h_к .

Подтопленный прямоугольный водослив с широким порогом (рис. 1.7)

Рис. 1.7

Водослив с широким порогом получается подтопленным, если уровень воды нижнего бьефа
поднимается выше того горизонта воды, который сам собой устанавливается на пороге неподтопленного
водослива (т.е. при глубине в нижнем бьефе h_н > c_{н +} h_к).

При истечении воды через подтопленный водослив с широким порогом наблюдается один
положительный и один отрицательный перепад. Последний называется перепадом восстановления. Этим
перепадом при расчете часто пренебрегают (рис. 1.7,б).

Рис. 1.8

Водослив будет подтопленным при выполнении условия

hп > n.Ho, или hн >(cн + n.Ho),

где n = 0,85…0,75 (в среднем n = 0,80).

Если это условие не выполняется, то при h_п > h_к на пороге водослива возникает гидравлический
прыжок (рис. 1 – 8), и сечение 1 – 1 может оказаться не покрытым горизонтом воды нижнего бьефа.

Расход в случае неподтопленного водослива определяется по формуле

Q = ф.&_с а .b.42g.H

где коэффициент <р равен 0,84 для водослива с острой передней кромкой <р = 0,93 для водослива с
закругленной передней кромкой (рис. 1 – 5).

6. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА.
- 6.1. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ И ТВЕРДОГО ТЕЛА
  - 6.1.1. Равновесие тела

Если тело полностью или частично погрузить в жидкость, то все части его смоченной поверхности
будут испытывать гидростатическое давление, нормальное к поверхности тела. Результирующая сила
гидростатических давлений, действующих на смоченную поверхность судна, называется силой
водоизмещения Р. Сила водоизмещения направлена всегда снизу вверх и равна, согласно закону Архимеда,
весу жидкости в объеме погруженной части тела

P=γW,
где W - объемное водоизмещение (объем погруженной части судна), у W - весовое водоизмещение.

6.1.2. Движение тела

Предположим, что под действием какой-либо внешней силы плавающие тело начало перемещаться
в жидкости с определенной скоростью. Очевидно, что окружающая тело жидкость начнет оказывать
сопротивление этому перемещению и кроме гидростатических сил на плавающих тело начнут действовать
со стороны жидкости силы, препятствующие его движению. В отличие от сил гидростатического давления,
гидродинамические силы, действующие на каждую элементарную площадку смоченной поверхности тела,
могут быть приложены к этим площадям под углом.

Для удобства определения, их разлагают на нормальную и касательную составляющие. Нормальная
составляющая гидродинамических сил называется силой давления (N), а касательная составляющая - силой
трения (Т).

Элементарные гидродинамические силы, распределенные сложным образом по смоченной
поверхности судна, в общем случая могут быть приведены к результирующей силе - главному вектору и
главному моменту гидродинамических сил.

Для движения судна с постоянной скоростью, при сохранении неизменного положения по
отношению к уровню воды, необходимо, чтобы главный вектор и главный момент гидродинамических сил
уравновешивались другими силами, приложенными к судну (собственный вес, сила тяги, сила
водоизмещения и др.), т. е, чтобы сумма всех действующих на судно сил равнялась нулю.

При неустановившемся движением судна, т. е. в период его разгона или торможения, к
действующим силам добавляются приходящий в движение вследствие изменения скорости движения судна.

Рассмотрим судно, движущиеся равномерно-поступательно в потоке (рис. 9.1).

Ктр

Rtf

рис. 9.1

Влияние главного момента гидродинамических сил в дальнейшем рассматривать не будем.

Проекция главного вектора гидродинамических сил R на оси х, т. е. составляющая R_x, называется
силой сопротивления воды движения судна; составляющая Ry - силой дрейфа; Rz - гидродинамической
поддерживающей силой.

Соотношение между этими составляющими и их величины зависят от направления и скорости
движения судна, размеров и формы корпуса, шероховатости подводной поверхности корпуса, а также от
глубины и ширины водоема (реки) по которому происходит движение.

В большинстве случаев дрейфа Ry не имеет существенного значения. Остановимся на силе R_x и пока
не будем учитывать влияния силы Rz на Rx.

6.1.3. Влияние гидродинамической поддерживающей силы Rz

При движении судна возникает гидродинамическая поддерживающая сила Rz - вертикальная
составляющая гидродинамических сил (рис. 9.2). В результате формула плавучести принимает вид:

P = ₇W + R_z,

где yW- сила водоизмещения Rz - вертикальная составляющая гидродинамических сил.

С увеличением скорости увеличится R_z, судно начинает всплывать, объем подводной части
уменьшится, соответственно уменьшится сопротивление трения R_mp и волновое сопротивление R_волн.
Всплытие будет происходить до тех пор, пока судно полностью не всплывет из воды и будет скользить по
поверхности. Его вес будет уравновешен гидравлической поддерживающей силой.

В связи с этим, различают три режима движения судна:

1. Плавание Р = yW; Rz=0.
2. Переходный режим Р = yW_l + R_z; W₁<W.
3. Глиссирование P=R_z.

5.2. СОПРОТИВЛЕНИЕ ВОДЫ ДВИЖЕНИЮ ПЛАВАЮЩИХ СРЕДСТВ

6.2.1. Составляющие силы полного сопротивления

Как показывают наблюдения, при движении судна в окружающей его воде можно различить три
характерные области, в которых создается главным образом сила сопротивления движению судна (рис 8.1).

Область I - находится в непосредственной близости к смоченной поверхности судна, в которой
наиболее сильно сказывается действие сил трения. Называется пограничным слоем. Вихревая область II,
образуется за кормой судна. Область III - характеризуется тем, что в ее пределах на свободной поверхности
воды образуются различные группы гравитационных, корабельных волн. Эта область называется внешним
потоком.

Рис. 9.2

В соответствии с этим сопротивление движению судна считают слагающимся из следующих сил:

- сопротивление трения - R тр,

- вихревое сопротивление - R _вихр,

- волновое сопротивление - R_волн,

^Rx ^R тр^{+ R} вихр⁺ R-волн

Кроме этих сопротивлений, являющихся основными, учитывается дополнительное сопротивление
от имеющихся на корпусе подводных выступающих частей и дополнительное воздушное сопротивление
надводной части судна: Rвыст.ч. и Reo3d.

Т.о., полное сопротивление воды движению судна выражается формулой:

Rх= Rтр+ Rвихр+ Rволн+ Rвыст.ч + Rвозд.

6.2.2. Физическая сущность сопротивления

Сопротивление трения R_mp является проявлением сил вязкости жидкости и представляет
результирующую всех касательных сил, действующих на смоченную поверхность тела.

На величину сопротивления трения оказывает влияние шероховатость поверхности судна и в очень
слабой степени кривизна судовой обшивки.

Сопротивление трения выражается формулой:

R
тр

£ тр

pV²

где Q - смоченная поверхность судна.

В отдельных случаях значение сопротивления трения настолько незначительно, что им
пренебрегают.

Вихревым сопротивлением Rвихр называется разность давления в носовой и кормовой частях судна, и
являющаяся следствием вихреобразования за кормой и зависящего от изменения давления вдоль
поверхности судна.

R_euxp зависит от формы обтекаемого тела и, главным образом, от очертания кормовой его части,
поэтому его называют также сопротивлением формы (рис.5).

R

вихр

ςвихр

ρV ²

Ω.

Различают два вида обтекания:
- безотрывочное,
- отрывочное обтекание

R

вихр .отр

вихр. безотр.

R_вихр составляет 20-25℅ от общего сопротивления воды движению твердого тела.

Волновое сопротивление R_волн возникает вследствие затраты энергии на создание и поддержание
системы волн, образующихся в жидкости.

Поскольку судно непроницаемо для жидкости, то оно при своем движении непрерывно вытесняет
носовой частью некоторый объем жидкости и одновременно освобождает такой же объем за кормой. Этот
объем сразу же заполняется окружающей судно жидкостью.

Вблизи носа уровень жидкости поднимается по отношению к уровню невозмущенной поверхности,
вследствие его вытеснения корпуса, а вблизи кормы, наоборот, понижается. получающийся при этом
перепад уровней нарушает равновесие жидкости и вызывает образование на поверхности воды
гравитационных волн (корабельных волн).

Корабельные волны состоят из расходящихся волн и волн поперечных (поперечные волны
появляются при возрастании скорости) (см. рис. 6).

Волны образуются в III области во внешнем потоке, где силы вязкости практически не учитываются
(можно применять законы идеальной жидкости).

R

волн

ςволн

ρV ²

Rволн=10℅ от полного сопротивления.

Сопротивление выступающих частей Rвыст.ч. является дополнительным сопротивлением,
увеличивающим в основном вихревое сопротивление. (Такими выступающими частями являются рули,
киль, гребные волны, колеса и др.)

Сопротивление воздуха R_возд слагается из сопротивления надводной части корпуса и палубных
надстроек набегающему потоку воздуха.

6.3. ПОДЪЁМНАЯ СИЛА

6.3.1. Теорема Жуковского о подъёмной силе

Подъёмная сила - составляющая полной силы давления жидкой или газообразной среды на
движущееся в ней тело, направленная перпендикулярно к скорости тела (к скорости центра тяжести тела,
если оно движется непоступательно).

Согласно теореме Жуковского (сформулирована Н. Е. Жуковским в 1904.) подъёмная сила,
действующая на тело в потоке жидкости или газа, обусловлена связанными с обтекаемым телом вихрями
(присоединёнными вихрями), причиной возникновения которых является вязкость жидкости. Наличие этих
вихрей приводит к обтеканию крыла потоком с отличной от нуля циркуляцией скорости. Если
установившийся плоскопараллельный потенциальный поток (потенциальный поток - безвихревое течение
жидкости, при котором каждый малый объём деформируется и перемещается поступательно, не имея
вращения) несжимаемой жидкости набегает на бесконечно длинный цилиндр перпендикулярно его
образующим, то на участок цилиндра, имеющий длину вдоль образующей, равную единице, действует
подъёмная сила Y, равная произведению плотности среды на скорость v потока на бесконечности и на
циркуляцию Г скорости по любому замкнутому контуру, охватывающему обтекаемый цилиндр, т. е.

Y =ρvГ.

Направление подъёмной силы получается из направления вектора скорости на бесконечности
поворотом его на прямой угол против направления циркуляции. Теорема Жуковского справедлива и при
дозвуковом обтекании профиля сжимаемой жидкостью (газом). Для звуковой и сверхзвуковых скоростей
обтекания теорема Жуковского в общем виде не может быть доказана.

Теорема Жуковского легла в основу современной теории крыла и гребного винта. С помощью
теоремы Жуковского могут быть вычислены подъёмная сила крыла конечного размаха, тяга гребного винта,
сила давления на лопатку турбины и компрессора и др.

Таким образом, подъёмная сила возникает вследствие несимметрии обтекания тела средой.
Например, при обтекании крыла самолёта (рис. 1) частицы среды, обтекающие нижнюю поверхность,
проходят за тот же промежуток времени меньший путь, чем частицы, обтекающие верхнюю, более
выпуклую поверхность и, следовательно, имеют меньшую скорость.

Рис. 1. Обтекание профиля крыла самолёта
Скорость V_h < V_b, давление р_н>р_в, Y - подъёмная сила крыла.

Но, согласно Бернулли уравнению, там, где скорость частиц меньше, давление среды больше и
наоборот. В результате давление среды на нижнюю поверхность крыла будет больше, чем на верхнюю, что
и приводит к появлению подъёмной силы.

Несимметричное обтекание крыла можно представить как результат наложения на симметричное
течение циркуляционного потока вокруг контура крыла, направленного на более выпуклой части
поверхности в сторону течения, что приводит к увеличению скорости, а на менее выпуклой - против
течения, что приводит к её уменьшению. Тогда подъёмная сила Y будет зависеть от величины циркуляции
скорости Г и, согласно Жуковского теореме, для участка крыла длиной L, обтекаемого плоскопараллельным
потоком идеальной несжимаемой жидкости,

Y = ρuГL,

где р - плотность среды, и - скорость набегающего потока.

Поскольку Г имеет размерность [ulp], то подъемную силу можно выразить равенством обычно

применяемым в аэродинамике:

где S - величина характерной для тела площади (например, площадь крыла в плане), су -
безразмерный коэффициент подъемной силы зависящий от формы тела, его ориентации в среде и чисел
Рейнольдса Re и Маха М. Значение су определяют теоретическим расчётом или экспериментально.

7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ, ВЫЗВАННЫХ МЕСТНЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ ДАВЛЕНИЯ
- 7.1. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР
  - 7.1.1. Физическая картина возникновения гидравлического удара

Гидравлическим ударом называется резкое повышение или понижение давления в трубопроводе,
вызванное быстрым изменением скорости движения жидкости.

Рис. 4.1

Сущность гидравлического удара заключается в следующем: предположим, что имеется
прямолинейный трубопровод длиной L, присоединенный к напорному бассейну больших размеров
(резервуару) и на конце снабженный задвижкой (рис 4.1). При быстром закрытии задвижки вся масса
жидкости, движущаяся в трубе со скоростью v_o, должна внезапно остановится. В результате резкого
изменения скорости кинетическая энергия этой массы преобразуется в энергию давления, которая у
задвижки может иметь весьма значительную величину (Ар).

Так как жидкость и материал трубы обладают определенной упругостью, то повышение давления
приведет к сжатию жидкости, увеличению ее плотности и расширению стенок трубы - вздутию до
некоторого диаметра d1 > d. Это повышение давления бывает настолько большим, что вызывает разрыв
трубопровода.

Различают положительный и отрицательный гидравлический удар. Положительный
гидравлический удар возникает перед задвижкой и начинается с повышения давления. Отрицательный
гидравлический удар возникает позади перекрывающего устройства и начинается с понижения давления
(разрежения).

Теория гидравлического удара была впервые разработана в 1898 г. проф. Н.Е.Жуковским.

Рассмотрим процесс изменения давления в жидкости при перекрытии трубопровода (рис. 4.2). При
быстром (мгновенном) закрытии задвижки мгновенно останавливается часть жидкости, непосредственно
прилегающая к задвижке. Пли этом давление в этом слое жидкости увеличивается на величину ∆p за счет
превращения кинетической энергии движения массы жидкости, заключенной в трубе, в потенциальную
энергию давления. (t = 0, точка 1 – возникновение удара).

Рис. 4.2

Остановка жидкости и повышение давления в трубопроводе происходят постепенно, от слоя к
слою; за первым слоем останавливается второй, и давление в нем также возрастает до p+∆p. Далее
поочерёдно останавливаются и сжимаются все слои, вплоть до последнего в точке А (рис. 4.1). Т.о. по
трубопроводу длиной L пробегает полуволна повышения давления. Если трубопровод и жидкость по длине
однородны, то скорость распространения ударной волны будет постоянна, обозначим ее c. Через время t =
L/c, за которое ударная волна достигает начала трубы, вся жидкость в трубе остановится (точка 2). Жидкость
в трубопроводе находится в сжатом состоянии. В точке А слева сохраняется давление р, справа – p + ∆p.
Подобно сжатой пружине, свободной с одного конца, жидкость начинает перемещаться в сторону емкости,
приобретая при этом и скорость движения в том же направлении. Благодаря этому начинается спад
давления, который будет распространяться уже от резервуара в сторону задвижки. Одновременно со спадом
приходит в движение жидкость в трубопроводе со скоростью, направленной в сторону, противоположную
начальной. Возникает вторая волна - волна понижения давления. Эта волна перемещается в направлении
задвижки с той же скоростью c и гасит давление, созданное первой ударной волной.

Время t = 2L/c, когда волна понижения давления достигает закрытой задвижки, называется фазой
удара. Вся масса жидкости будет иметь давление р и двигаться влево с начальной скоростью (в сторону
резервуара).

Вследствие инерции жидкость в трубопроводе в дальнейшем будет стремиться оторваться от
задвижки, приводя к понижению давления до величины p - ∆p₁ (точка 3). Разжавшись, слой жидкости у
задвижки остановится, после чего произойдет падение давления и остановка смежного слоя, т.е. влево
пойдет третья полуволна понижения давления и остановки жидкого столба. Когда волна снижения
достигнет резервуара, в момент t = 3L/c (точка 4) вся жидкость в трубе будет неподвижна и иметь
пониженное давление p - ∆p.

В этом состоянии жидкость не может оставаться в покое, т.к. давление в резервуаре больше, чем
давление в трубопроводе. Вследствие упругости жидкость начнет перемещаться, но теперь от открытого
конца в сторону задвижки. При этом в трубопроводе начнется процесс восстановления начального давления
и начальной скорости – четвертая полуволна (восстановления начальной скорости и начального давления).
Когда она ко времени t = 4L/c достигнет задвижки, во всем трубопроводе будут восстановлены и начальная
скорость и начальное давление (точка 5).

Но так как задвижка продолжает оставаться закрытой, жидкость продолжать свое движение не
может и у задвижки вновь возникнет удар. На этом первый цикл заканчивается и начинается второй,
который при отсутствии энергетических потерь будет повторять первый (точка 6 и т.д.).

В реальных трубопроводах за счет потерь энергии в последующих фазах давление значительно
снижается (рис. 4.3).

Рис. 4.3

7.1.2. Определение повышения давления в трубопроводе

Рассмотрим общий случай – частичное открытие задвижки (непрямой удар).

За промежуток времени сжатия волна пройдет путь ∆L = c.∆t (рис. 4.4) , где с - скорость
распространения ударной волны. На этой длине давление увеличится от p до p+∆p. Соответственно примут
значения: скорость v+∆v, диаметр трубы d+∆d и площадь ее поперечного сечения ω+∆ω, плотность
жидкости ρ+∆ρ.

р^р

d+Ad
at+jiat

Рис. 4.4

Повышение давления в трубе ∆p определяется из соотношения

∆p = - p ⋅ c ⋅ ∆v;

(4.1)

Из (2-1) следует, что максимальное повышение давления в трубе будет при прямом ударе, когда v₁= v₀ + ∆v = 0, т.е. ∆v = -v₀, тогда

∆p =ρ⋅c⋅v₀;

(4.1,а)

Т.о. при мгновенном полном закрытии задвижки повышение давления при гидравлическом ударе
зависит только от скорости распространении ударной волны и начальной скорости движения жидкости. При
более медленном закрытии и постоянной для данного трубопровода и данной жидкости скорости
распространения ударной волны - от соотношения начальной и конечной скорости движения жидкости.

Приращение массы за счет разности объемов втекающей и вытекающей жидкости.

∆m ∆v

=-

mc

(4.2)

Приращение массы жидкости, выраженное через приращение площади поперечного сечения трубы

и плотности.

∆m ∆ρ ∆ω

m ρω

(4.3)

Приращение площади поперечного сечения трубы, выраженное через приращение диаметра

∆ω 2.∆d

ωd

(4.4)

Рис. 4.5

Относительное приращение длины окружности (относительное удлинение), а также
относительное приращение диаметра трубы

∆l 2π.∆d ∆d ∆σ∆p.d

ε= = = = =.

l 2π.d d E2E.δ

Здесь E – модуль упругости материала стенок трубы.

Относительное приращение площади поперечного сечения трубы (см. рис. 4.5)

∆ω∆p.d

= .(4.5)

ω E.δ

Изменение плотности жидкости при изменении внешнего давления

∆ρ ∆p

ρ⁼E
o

(4.6)

7.1.3. Пути борьбы с гидравлическим ударом

Рис. 4.6

Пути борьбы с гидравлическим ударом:

1. Расчет трубопроводов, стыков и оборудования производят на давление ∆p.
2. Применяют запорные устройства, обеспечивающие медленное закрытие
трубопровода, например, с винтовым проводом.
3. Ставят на трубопроводах предохранительные клапаны, срабатывающие при

повышении давления сверх допустимого.

4. Ставят на трубопроводах воздушные клапаны (рис. 4.6). Гидравлический удар

смягчается за счет сжатия или расширения воздуха.

При приемке водопроводных станций в эксплуатацию обязательно производят их проверку на
гидравлический удар.

7.2. УДАРНЫЕ ВОЛНЫ В ГАЗАХ
- 7.2.1. Волны уплотнения и разрежения

Сжимаемость жидкости обуславливает важное явление - образование в ней волн уплотнения и
разрежения.

Как было установлено ранее, в несжимаемой жидкости возмущения, вызванные повышением или
понижением давления, распространяются мгновенно. И, следовательно, в движение вовлекаются все
частицы жидкости той или иной области (пространства), где возникает возмущение.

Повышение давления в какой-либо точке (области) сжимаемой жидкости вызывает в первый
момент уплотнение частиц, близлежащих к источнику возмущения; в следующий момент уплотненные
частицы расширяются, вызывая уплотнения других, соседних, частиц и т.д. Таким образом, повышение
давления в некоторой точке (области) сжимаемой жидкости вызывает образование в ней волны уплотнения,
распространяющейся с некоторой скоростью. Переднюю границу волны уплотнения называют фронтом
волны.

7.2.2. Ударные волны, как одно из важных проявлений сжимаемости газа

Математически уравнения идеальной гидромеханики допускают разрывные решения, т.е. решения,
которые имеют скачки параметров газа (плотности, давления, скорости и температуры). Одним из таких
проявлений в природе является образование ударной волны около летящего со сверхзвуковой скоростью
тела в плотных слоях атмосферы Земли. Например, образование ударной волны около летающих
сверхзвуковых самолетов или ударных волн около метеоритов, вторгающихся в плотные слои атмосферы
Земли с большими сверхзвуковыми скоростями.

Известно, что около пассажирских самолетов, летающих главным образом с дозвуковыми
скоростями, никакие ударные волны не образуются.

Пусть есть сферическое тело радиуса R (рис. 4.7), которое летит в воздухе со сверхзвуковой
скоростью. Тогда впереди такого тела образуется ударная волна В, являющаяся границей между областями 1
и 2, которые отличаются значениями параметров газа. В системе координат, связанной с летящим телом,
поток газа набегает на покоящееся тело. Пусть ось Оx направлена вдоль скорости потока, а V₁, p₁, r₁ и T₁ –
скорость, давление, плотность и температура, соответственно, в невозмущенном телом потоке газа (до
ударной волны). В область 1 возмущения от тела не попадают, поскольку тело движется со сверхзвуковой
скоростью. Так как скорость газа в лобовой точке тела А обращается в нуль, то от точки А до точки С на
ударной волне есть область дозвуковой скорости газа, которой достигают возмущения воздуха от летящего
тела.

Физический смысл образования ударной волны и заключается в разделении невозмущенного и
возмущенного потоков газа. Если через V2, p2, r₂ и T2 обозначить скорость, давление, плотность и
температуру газа соответственно сразу же после ударной волны В, то справедливы неравенства

V2 < V1, p2 > p 1 , Г2 > Г! , T2 > T1.

Это означает, что скорость за ударной волной уменьшается, а давление, плотность и температура
возрастают. Сильным возрастанием температуры за ударной волной и объясняется оплавление
возвращающихся на Землю космических аппаратов и метеоритов, вторгающихся в атмосферу с большими
сверхзвуковыми скоростями.

Такие ударные волны называются ударными волнами сжатия (плотность газа возрастает).
Интересно, что в природе никогда не наблюдались ударные волны разрежения, в которых плотность падает.
Математически образование ударных волн разрежения запрещается известной в гидроаэромеханике
теоремой Цемплена.

Соотношения между параметрами с индексами «1» и «2» можно получить из интегральных законов
сохранения массы, импульса и энергии, поскольку они справедливы и для разрывных функций.

Рис. 4.7.

B - головная ударная волна, А - критическая точка на теле, в которой скорость обращается в нуль, С - точка
на ударной волне и на оси симметрии Ox, 1 и 2 - области течения перед и за ударной

Такие соотношения называются соотношениями Гюгонио и имеют вид (в системе координат,
связанной с ударной волной)

r1 Vn1 = r2 Vn2;

r1 Vn1V1 + p1 n = r2 Vn2V2 + p2 n;

[ri V12/2 + pi g/(g- 1)]V_nI = fa V22/2 + p2g/(g - 1)]Vn2. (4.10)

Вместе с уравнением состояния эти соотношения позволяют определить значения параметров газа
за ударной волной (индекс «2») по значениям параметров невозмущенного ударной волной потока газа
(индекс «1»).

Зависимость между плотностью газа и давлением после и до скачка уплотнения выражается

уравнением

Р2 ^(k — ^!) + ^(k + ^!)p2 / p1

Р1 ⁽k + ^!) + ⁽k ^{- !)}p2/ pi

(4.11)

Эта зависимость называется ударной адиабатой, или адиабатой Гюгонио.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В конспекте лекций рассмотрены законы равновесия и движения жидкостей и газов и применение
этих законов к решению практических задач. Настоящая лекция является теоретической базой для
студентов-теплоэнергетиков, т. к. знание гидрогазодинамик (технической гидромеханики) необходимо для
решения многочисленных инженерных задач, в том числе в теплогазоснабжении и вентиляции, в частности,
для расчета трубопроводов, проектирование котельных агрегатов, печных и сушильных установок, воздухо-
и газоочистных аппаратов, теплообменных аппаратов.

Скачать методический материал

Комментарии (0)

Чтобы оставить комментарий, нужно войти в личный кабинет или зарегистрироваться.

Гидравлика Бакалавр ТЕ Электрон курс Л

G

Y W ’

[G] н кгс

= м—илин

2смкгс

1 н кгс

w м см

t

1градус.

tC

Y g • Р

M

pT

T = р. Sdu,dn

Т du

S dn

TdnL S. du J

н с н.c

мм

см м м

М

Р

Гу] = [MJ = н.с м = кг.м с м = м[р] 2 кг 2 2 кг сL р м см

сс

Р - Р л4q = п o d

P

г

xyz

dQ = dW = da. dl = u. da.dt dt

dQ = u. da. (1 - 2)

щ _ da,u2 da

Q = u. dm = v. dm = v.m.

m m

R = mX

h =mср B

= v. d .р = у. dd р v ’

v.d

v

м.м.с

Rv

22pu pu

Y

p

Y

m.g.z

пол m.g

p.W p

дав yW Y

p

p

п пол дав у

u

e. + e. = c' + e' = e = H = Const.

Г

Y g- p

p cp

k

k p w2

— dp = p- w ■ dW;

p- w ■ ф = const.

w

a

k p w2

\ Р

+--= const.

ao

o

] po

aw o

a w макс

a w ao к +1 кр

wмакс

p. w • а = const

dp

p a2

dp da

daa

w • dw dw

w

^G

^Y W ’

[G] н _кгс

= м—или
н

2
см
кгс

1
градус^.

T = р. Sdu,
dn

Tdn
L S. du J

Гу] = [MJ ₌ н.^с м = ^кг.м с м = м
[р] 2 кг 2 2 кг с

^{L р} м см

Р - Р л4
q ₌ п o d

dQ = dW = da. dl = u. da.
dt dt

щ _ da,
u₂ da

R = ^mX

h =^mср B

₌ v. d .р ₌ у. d
d р v ’

22
pu pu

Y g^- p

k p w²

k p w²

a

o

] ^po

aw _o

^{a w} макс

a w ^a_o к +1 кр

w

макс

p a²

da
a

dw
w

^ρ

dρ
^ρ

w² dw

^ρ

^w

dρ
^ρ

v² L v²

h

w

fi мсi

ii

vi²

vi²

2g _i fi 2g _i м.с.i 2g

² мсi

fi ² мсi

_i fi v₂²

мсi ²

_i v₂

ⁱ

у
)

^Y )

т . X
o

^p

Q = C м. IR.I .

^p

^p

^f C ²a ². R

^f K²

Q².L
K²

h = h_fi