Теоритические основы электротехники

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
Федеральное Государственное Бюджетное Образовательное Учреждение Высшего
Профессионального Образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

(МИИТ)

Кафедра: «Электрификация
и электроснабжение»

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Задание на контрольную работу №4 с методическими указаниями
по дисциплине для студентов-специалистов 3 курса
специальности: «Системы обеспечения движения поездов»

специализации: «Электроснабжение железных дорог»

Москва, 2013 г.

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

В контрольной работе № 4 студенты решают три задачи:

• 1 . Расчет электрического поля постоянного тока в проводящей среде;
• 2 и 3. Расчет электрической цепи с распределенными параметрами.

Контрольные задания имеют 100 вариантов. Варианты задач № 1, 2 и 3 отличаются друг
от друга числовыми значениями заданных величин. Номер варианта в этих задачах определяется
по двум последним цифрам шифра студента.

Требования к выполнению и оформлению контрольных работ изложены в рабочей
программе курса «Теоретические основы электротехники». При расчете указанных задач
студентам рекомендуется пользоваться интегрированным пакетом MathCad.

ЗАДАЧА №1

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА В ПРОВОДЯЩЕЙ
СРЕДЕ

Многие элементы электроустановок в соответствии с правилами устройства подлежат
заземлению. Это значит, что они должны быть надежно соединены с землей с помощью
заземляющих электродов, которые располагаются в земле и создают непосредственный контакт
с ней. На рис.1 показан полушаровой электрод, радиус которого r = а. Этот электрод
предназначен для заземления металлической опоры линии электропередачи постоянного тока.
Он выполняет роль защитного заземления при коротких замыканиях и ударах молнии в провод
или в опору. Ток короткого замыкания линии или ток молнии стекают через заземлитель в
землю и растекаются по толще земли. В некоторых случаях земля выполняет роль обратного
провода для линии электропередачи, выполненной по системе ДПЗ (два провода-земля).
Удельная проводимость земли принята равной γ = 10 ^-2 1/Ом∙м.

На рис. 1 кроме схематического изображения заземляющего полушарового электрода
показана кривая (1) зависимости потенциала ^ϕ на поверхности земли от расстояния а от центра
заземляющего электрода. На рисунке изображен также человек, шагающий по направлению к
центру электрода, и показан механизм возникновения шагового напряжения: разности
потенциалов между двумя точками на поверхности земли, расстояния которых ак от центра
заземляющего электрода отличаются друг от друга па величину человеческого шага lш.

Рис. 1. Схематическое изображение заземляющего полушарового электрода и
кривой распределения потенциала

В задаче требуется начертить схематическое изображение полушарового заземлителя и
определить:

• 1. Плотность тока ^δ на расстоянии а1 от центра полушарового электрода.
• 2. Напряженность поля Е на поверхности полусферы радиуса а1.
• 3. Значения потенциалов ϕk в точках на поверхности земли па расстояниях а1, а2, а3, а4 от
  центра полушарового электрода.
• 4. Шаговое напряжение Uшk на тех же расстояниях а1, а2, а3, а4 от центра полушарового
  электрода, принимая среднюю длину человеческого шага lш=0,8 м. При этом считается, что
  воображаемый человек «шагает» (удаляется от центра, или приближается к центру электрода)
  по прямой, соединяющей точку его нахождения с центром заземляющего электрода.
• 5. Сопротивление R заземления полушарового электрода.
• 6. Радиус опасной зоны а0, т.е. радиус круга на поверхности земли с центром
  полушарового электрода. Радиус опасной зоны определить из условия техники безопасности,
  принимая шаговое напряжение на границе этой зоны не превышающее 150 В.

По результатам расчета построить графики зависимости потенциала и шагового
напряжения от расстояния а.

Численные значения величин, необходимых для решения задачи приведены в табл. 1.
Номера вариантов выбираются: по последней цифре шифра студента номер варианта для
значений a, I, а по предпоследней цифре – номер варианта значений а1, а2, а3, а4.

Таблица 1 - Исходные данные

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ №1

В данной задаче предлагается определить характеристики распределения потенциалов
электрического поля па поверхности земли вокруг заземляющего устройства. Такая задача
имеет практическое значение в схемах электроснабжения, например, в случае короткого
замыкания проводов высокого напряжения на опору или в случае прямого удара молнии в
опору.

Ток короткого замыкания, протекая по земле, как по обратному проводу, образует на
поверхности земли и внутри ее электрическое поле. В задаче предлагается определить основные
характеристики этого электрического поля.

Принимается, что основание опоры мачты представляет собой полушаровой электрод,
радиус которого r = а. Поверхность соприкосновения полушарового электрода с землей равна S
=2πа².

При возможном коротком замыкании ток короткого замыкания I, проходящий через опору,
будет отводиться в землю через заземлитель (полушаровой электрод). Плотность тока ^δ на
поверхности полушарового электрода при этом будет равна отношению величины тока к
поверхности полушарового электрода, через которую проходит этот ток, т.е

• δ=^l= ^I 2

S 2⋅π⋅a²

^,

где I – ток короткого замыкания.

Применяя закон Ома в дифференциальной форме δ = γ∙Е можно записанное выше
уравнение представить в другом виде:

γ⋅E=

I
2⋅π⋅a²

(1)

Из этого выражения находится напряженность электрического поля Е на поверхности
земли (и воображаемой полусферы в толще земли) на расстоянии аk от центра полушарового

электрода:

Ek

δI

= (2)

γ 2⋅π⋅γ⋅a_k²

Значение потенциалов фk в точках на поверхности земли на расстоянии ак от центра
полушарового электрода находится из условия:
да

Фк = J Ek ‘ da (3)

_ak k

Подставляя в это выражение значение напряженности электрического поля Еk, после
соответствующих преобразований получим расчетную формулу для определения потенциала в

рассматриваемых точках:

I

ф к = ^--------

² • ^п • Y • ^ак

(4)

Шаговое напряжение Uшk на расстоянии от центра полушарового электрода (абсолютное
значение разности потенциалов двух точек на поверхности земли, расстояние которых от центра
заземляющего электрода различается на величину шага (lш) может быть вычислено по формуле

или

U 1 =

ш^к 2 • п • y

11

a a +1

k kш

(5)

U i =

ш^k 2 • п • y

ш

a, (a₁ +1 )
kk ш

(6)

Радиус зоны опасности а0 можно найти, исходя из того, что шаговое напряжение ^Uш0 на
границах этой зоны не превышает допустимого значения шагового напряжения ^ш.доп , а
внутри зоны опасности уже больше ^ш.доп , т.е.

^U ш0 = ^U шдоп (7)

В соответствии с условием задачи ^ш.доп = 150 В.

Подставляя в выражение (7) значение шагового напряжения, получим:

1 11

•—

• ² •^п Y I a о a о +1 .

^U ш.доп

(8)

Это выражение после преобразования можно переписать в другом виде:

^2U ш.доп • ^П Y'a 0² + ^2U ш.доп • ^П Y • ¹ ш • a 0 - I • ¹ ш = ⁰(9)

Решая полученное квадратное уравнение (9), определяют радиус опасной зоны ао.
Сопротивление заземления R полушарового электрода можно найти по формуле:

R =---I---

2 • п • y • a

Построение графиков зависимости потенциала и шагового напряжения от расстояния а в
интегрированном пакете MathCad приведено на рис. 2 и рис. 3.

Рис. 2. Расчет электрического поля полушарового электрода в проводящей среде, которой
является земля. Зависимость потенциала от расстояния

Рис.3. Расчет электрического поля полушарового электрода в проводящей среде, которой
является земля. Зависимость шагового напряжения от расстояния

ЗАДАЧА №2

РАСЧЁТ ВТОРИЧНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДЛИННОЙ ЛИНИИ И
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕЙСТВУЮЩЕГО ЗНАЧЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ ВДОЛЬ НЕЕ ПРИ

ЗАДАННОЙ НАГРУЗКЕ

Продольные и поперечные первичные параметры на единицу длины однородной длинной
линии даны в табл. 2.

Таблица 2

Примечание:

мГн – миллигенри (10^-3 Гн), мкСм – микросименс (10^-6 См), нФ – нанофарад (10^-9 Ф).

Значения питающего напряжения U1, длины линии l, частоты f и комплексного

сопротивления нагрузки Z2=R2+jX2 в конце линии даны в табл. 3.

Таблица 3

Требуется:

• 1. Определить вторичные параметры длинной линии – волновое сопротивление ZB и

γ = α + jβ

коэффициент распространения (коэффициент затухания α и коэффициент фазы ).

• 2. Длину волны ^λ и фазовую скорость ν .
• 3. Входное сопротивление Z1BX линии со стороны первичных выводов и ток в начале
  линии I1.
• 4. Напряжение U2 и ток I2 в конце линии.
• 5. Построить график распределения действующего значения напряжения вдоль заданной

линии с распределенными параметрами.

• 6. Сравнить длину волны напряжения вдоль линии по графику с длиной волны,
  рассчитанной в п.2.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ №2

Задачу № 2 рекомендуется решать в интегрированном пакете MathCad. Пример решения
показан на рис. 4 [1, 2]. Для построения графика распределения действующего значения
напряжения вдоль длинной линии берется модуль комплексного напряжения uk путем

заключения этой величины в прямоугольные скобки – 1^1 . На графике lk и uk – это индексные

переменные, то есть элементы массива или вектора. Каждый элемент характеризуется своим
номером. Номер элемента (в данном случае k) является нижним индексом. Индекс должен быть

целым числом и начинаться с нуля. Чтобы ввести индекс, нужно нажать клавишу с

открывающей квадратной скобкой, после чего ввести нужный индекс.

Расчет электрической цепи с распределенными параметрами

Дано:

R0:=5.0 L0:=4.0 10 f := 2000 1 := 50 j:=T4

• -6 - 9

GO := 0.64 10 CO := 60 10 UI := 100 Z2 := 200 - 200j

Решение: Угловая частота w:=2 ir f w= 1.257 х10⁴

Комплексное продольное сопротивление

ZO := R0 + w-LO-j Z0 = 5 + 50.265i

Комплексная поперечная проводимость

YO := G0 + w CO j YO = 6.4 x 10“ ⁷ + 7.54i x 10“ ⁴

ЛЛЛЛЛ/V *

Волновое сопротивление
линии

ZB :

ZB = 258.523 - 12.716i

Коэффициент
распространения

a^V^v»

-3

^ = 9.753 х 10 + 0.195i

Коэффициент фазы

P = 0.195

Р := 1ш(7) Длина
волны

2тг

P

X = 32.236

w 4

Фазовая скорость v := — v = 6.447 x 10

Входное сопротивление co стороны первичных выводов

Z2 + ZB tanh(-f l)

Z1BX := ZB--—

Z2 tanh(7-l) + ZB

Z1BX = 319.288 - 63.431i

Ток в начале
линии

Il := ------

***• Z1BX

11 = 0.301 - 0.06i |ll| = 0.307

Напряжение в конце линии

_ UI Z2

• ¹² “ Z2cosh(-jl) + ZB sinh^ 1) ^U2 = -62.45+ 1.988i |U2| = 62.482

Ток в конце
линии

U2

12 := --- 12 = -0.151 + 0.161i

Z2

|I2| = 0.221

Распределение действующего напряжения вдоль линии

Рис. 4. Решение задачи № 2 в интегрированном пакете MathCad

ЗАДАЧА №3

РАСЧЁТ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ДЛИННОЙ ЛИНИИ И
ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЕЙСТВУЮЩИХ ЗНАЧЕНИЙ
НАПРЯЖЕНИЙ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ВОЛН ВДОЛЬ ЛИНИИ

Пользуясь исходными и расчетными данными задачи № 2 определить:

• 1. Полные мощности в начале и в конце линии и коэффициент полезного действия линии.
• 2. Построить график распределения действующих значений напряжений прямой и
  обратной волн вдоль заданной линии с распределенными параметрами.
• 3. Построить график распределения фаз напряжений прямой и обратной волн вдоль
  заданной линии с распределенными параметрами.
• 4. Пояснить в каких точках возникают максимумы и минимумы напряжений.
• 5. Построить график распределения действующего значения напряжения вдоль заданной
  линии с распределенными параметрами при согласованной нагрузке.
• 6. Определить задержку по времени при прохождении сигналом всей длины линии.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ №3

Задачу № 3 также рекомендуется решать в интегрированном пакете MathCad. Пример
решения показан на рис. 5 [1, 2].

Для расчета мощности в комплексной форме, необходимо величину напряжения
умножить на сопряженный комплекс тока. Чтобы величина комплекса стала сопряженной,
необходимо после введения этой величины, нажать две клавиши [Shift]+[“].

Начальные фазы прямой и обратной волн ради удобства отложены на графике в градусах.
Чтобы перевести в градусы значение фазы, выраженной в радианах, нужно функцию выражения
аргумента (arg) разделить на deg. Заметим, что комплексные величины в MathCad не
подчеркиваются.

Как видно из рис. 5, значения фаз прямой и обратной волн в определенных точках линии
скачкообразно изменяются. На рис.6 дано пояснение к этому скачкообразному изменению фаз.
Дело в том, что, хотя с изменением расстояния фазы волн изменяются непрерывно (фаза прямой
волны монотонно уменьшается, а фаза обратной волны - увеличивается по мере движения от
начала к концу линии), в качестве фазы берут угол, меньший по модулю 180°. Поэтому при
переходе из второго квадранта в третий или наоборот и происходит скачок фазы с изменением
его значения и знака (рис.6).

Рис. 5. Расчет энергетических показателей линии с распределенными параметрами
и распределение напряжений и фаз прямой и обратной волн вдоль линии

Рис. 6. Пояснение к скачкообразному изменению фазы прямой и обратной бегущих
волн

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

• 1. Серебряков А.С. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи с
  распределенными параметрами. Учебное пособие. Изд.2-е-пероераб. и доп.- М.: МИИТ, 2010 –
  87 с.
• 2. Серебряков А.С., Шумейко В.В. MATHCAD и решение задач электротехники, Учебн.
  пособие для вузов ж.д. транспорта, М.: Маршрут, 2005, 240 с.
• 3. Демирчян К.С, Нейман Л . Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы
  электротехники. В 3-х т. Учеб. для вузов. Изд. 4-е. перераб. и доп. - СПб.: Питер, 2004.