Математическое моделирование контр

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»
(РУТ (МИИТ)

Одобрено кафедрой
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ»

Протокол №   2 от 8 сентября 201 8 г.

Автор: Ридель Валерий Вольдемарович, д.ф.-м.н.

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ С МЕТОДИЧЕСКИМИ
УКАЗАНИЯМИ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Математическое моделирование

Уровень ВО:        Специалитет

Форма обучения:    Заочная

Курс:               3

Специальность: 23.05.03 Подвижной состав железных дорог (ПСс)

Специализация: Все специализации

Москва

Тема:«Математические модели в виде обыкновенных
дифференциальных уравнений»

Задание 1.1. Построить математическую модель механической системы, состоящей из
пружины с жесткостью k, один конец которой жестко закреплен, а на другом находится
тело массой m. Тело скользит по горизонтальному стержню: коэффициент вязкого
сопротивления μ. Смещение тела из положения равновесия равно x0.

Найти:

• а)    амплитуду, частоту и период свободных колебаний механической системы;

• б)    частоту и период затухающих колебаний системы;

• в)    уравнение огибающей кривой колебаний;

• г)    смещение, скорость и ускорение тела в момент времени t для затухающих
  колебаний.

Построить графики смещения свободных и затухающих колебаний системы в
зависимости от времени.

• 1.1.    k = 94 н/м , m = 0,6 кг , μ = 0,52 , x0 = 0.10 м , t1= 2,5 с;

• 1.2.    k = 96 н/м , m = 0,7 кг , μ = 0,56 , x0 = 0.12 м , t1= 2 с;

• 1.3.    k = 98 н/м , m = 0,8 кг , μ = 0,58 , x0 = 0.14 м , t1 = 3 с;

• 1.4.    k = 100 н/м , m = 0,9 кг , μ = 0,6 , x0 = 0.10 м , t1 = 3,5 с;

• 1.5.    k = 102 н/м , m = 1 кг , μ = 0,62 , x0 = 0.11 м , t1 = 4,5 с;

• 1.6.    k = 104 н/м , m = 1,1 кг , μ = 0,64 , x0 = 0.13 м , t1 = 4 с;

• 1.7.    k = 106 н/м , m = 1,2 кг , μ = 0,66 , x0 = 0.09 м , t1= 5 с;

• 1.8.    k = 108 н/м , m = 1,3 кг , μ = 0,68 , x0 = 0.15 м , t1 = 3,5 с;

• 1.9.    k = 110 н/м , m = 1,4 кг , μ = 0,7 , x0 = 0.10 м , t1 = 4 с;

• 1.10.    k = 112 н/м , m = 1,6 кг , μ = 0,72 , x0 = 0.14 м , t1 = 5 с.

Задание 1.2. Подводная лодка водоизмещением V движется горизонтально со
скоростью υ на глубине H от поверхности моря. Средняя плотность лодки ρ1. В момент t0
= 0 лодка начинает всплытие. Сопротивлением воды пренебречь.

Определить:

• а)    время t1, когда лодка всплывет на поверхность моря;

• б)    расстояние L, которое пройдет лодка в горизонтальном направлении в момент
  всплытия;

• в)    вертикальную скорость u лодки;

• г)    траекторию движения подводной лодки в координатах (l, h);

• д)    тип соответствующей кривой.

Плотность воды принять равной ρ0 = 10^-3 кг/м³. Сделать чертеж.

• 2.1.    V = 1150 т, υ = 15 км/ч, Н = 300м, ρ1 = 0,5∙10^-3 кг/м³;

• 2.2.    V = 1280 т, υ = 20 км/ч, Н = 350 м, ρ1 = 0,6∙10^-3 кг/м³;

• 2.3.    V = 1200 т, υ = 25 км/ч, Н = 250 м, ρ1 = 0,8∙10^-3 кг/м³;

• 2.4.    V = 1360 т, υ = 18 км/ч, Н = 280 м, ρ1 = 0,7∙10^-3 кг/м³;

• 2.5.    V = 1420 т, υ = 16 км/ч, Н = 320 м, ρ1 = 0,65∙10^-3 кг/м³;

• 2.6.    V = 1170 т, υ = 22 км/ч, Н = 260 м, ρ1 = 0,85∙10^-3 кг/м³;

• 2.7.    V = 1500 т, υ = 17 км/ч, Н = 310 м, ρ1 = 0,55∙10^-3 кг/м³;

• 2.8.    V = 1800 т, υ = 24 км/ч, Н = 330 м, ρ1 = 0,75∙10^-3 кг/м³;

• 2.9.    V = 1600 т, υ = 19 км/ч, Н = 340 м, ρ1 = 0,6∙10^-3 кг/м³;

• 2.10.    V = 1700 т, υ = 25 км/ч, Н = 280 м, ρ1 = 0,8∙10^-3 кг/м³.

Тема: «Вариационные принципы. Стохастические модели»

Задание 2.1. Пусть заданы координаты точек А и С. Точка В лежит на прямой y = 0.

Используя вариационные принципы построения математических моделей, найти:

• а)    условие, при котором ломаная АВС имеет наименьшую длину;

• б)    числовое значение этого условия;

• в)    наименьшую длину ломаной АВС.

• 3.1.    А(-5;10), С(25;15);

• 3.2.    А(5;15), С(30;5);

• 3.3.    А(0;5), С(25;10);

• 3.4.    А(-10;15), С(20;10);

• 3.5.    А(5;10), С(30;15);

• 3.6.    А(-5;5), С(15;15);

• 3.7.    А(-10;5), С(20;15);

• 3.8.    А(0;10), С(25;5);

• 3.9.    А(5;5), С(30;10);

• 3.10.    А(-5;15), С(25;10).

Задание 2.2. Провести идентификацию эмпирической математической модели.

• А) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 2-го порядка
  W = a0 + a1x + a2x²,   0 ≤ x ≤ 10.

Б) Предполагается, что процесс описывается одномерным уравнением 3-го порядка

W = a₀ + a₁x + a₂x²+ a₃x³   0 ≤ x ≤ 10.

Считаем, что величина х измеряется точно, а W – с ошибкой ε, имеющей
нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной
дисперсией М(ε) = 0, σ²(ε) = 1. Проверить адекватность модели методом Фишера и
сравнить модели А) и Б) графически с моделью линейной регрессии.