Практикум по основам надежности

Горелик А.В., Ермакова О.П.

ПРАКТИКУМ ПО ОСНОВАМ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

Учебное пособие для студентов специальности 190901 «Системы
обеспечения движения поездов»

Москва - 2010

Рецензенты: Митрохин В.Е. , доктор технических наук, профессор

Зав. кафедры «Системы передачи информации» ОмГУПС.

Шалягин Д.В., доктор технических наук, профессор,
начальник отдела ПКТБ ЦШ филиала ОАО «РЖД».

Горелик А.В., Ермакова О.П. Практикум по основам теории
надежности.- М.:

В учебном пособии содержатся задачи по всем основным разделам
дисциплины «Основы теории надежности», которая входит в перечень
базовых дисциплин федерального государственного образовательного
стандарта по специальности 190901 «Системы обеспечения движения
поездов».

В него включены задачи по расчету показателей надежности
невосстанавливаемых и восстанавливаемых изделий при основном и
резервном соединении элементов, а также задачи по оценке показателей
надежности по данным об их отказах, полученным по результатам
испытаний. В каждой главе приведены краткие сведения из теории
надежности, типовые примеры и задачи с ответами. Пособие включает как
простые задачи, полезные при первоначальном изучении теории надежности,
так и более сложные, решение которых будет способствовать выработке
практических навыков.

Книга предназначена для студентов специальности 190901 «Системы
обеспечения движения поездов»

ВВЕДЕНИЕ

Проблема надежности продолжает оставаться одной из основных в
современной технике. Это объясняется тем, что постоянно
совершенствуются и усложняются технические устройства и системы,
применяемые в практической сфере, и одновременно повышаются
требования к надежности их функционирования. Инженеры, физики и
математики приложили немало совместных усилий для разработки
современной теории надежности.

Наилучшим методом, изучения основ теории надежности и
закрепления теоретических знаний является решение практических задач.
Между тем в отечественной литературе задачники по теории надежности уже
давно не издавались.

Авторы решили восполнить этот пробел и подобрали, составили и
систематизировали задачи по основным разделам дисциплины «Основы
теории надежности».

Цель учебного пособия «Практикум по основы теории надежности» -
помочь читателю изучить теорию надежности и приобрести навыки
применения ее результатов к решению различных прикладных вопросов.

Учебное пособие содержит четыре главы. В каждой главе по три
параграфа. В первом из них даются сведения из теории и расчетные
формулы, во втором – типовые примеры с решениями, в третьем – задачи с
ответами. Числовые ответы являются приближенными, хотя, как правило,
получены при выполнении расчетов с использованием программы Mathcad.

В книге помещены задачи различной трудности – от простых до
достаточно сложных. Причем наряду с оригинальными задачами,
предложенными авторами, в сборник включены типовые примеры и задачи,
взятые из источников, указанных в списке литературы, промежуточные
результаты вычислений и ответы к типовым задачам и примерам уточнены с
помощью современных математических программ. Простые задачи могут
решаться студентами при первоначальном изучении теории надежности. К
простым задачам относятся задачи первой и второй глав. Более сложные
задачи приведены в третьей и четвертой главах.

Учебное пособие, конечно, не охватывает всех разделов теории
надежности. Так в нем не содержатся задачи оценки надежности систем по
результатам испытаний ее компонентов и контроля. Однако, по мнению

авторов, решение предложенных задач будет способствовать углублению
знаний теории и выработки практических навыков.

Книга предназначена для студентов специальностей 190402
«Автоматика телемеханика и связь на железнодорожном транспорте» и
190401 «Электроснабжение железных дорог».

• 1. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАДЕЖНОСТИ
  • 1.1. Показатели и количественные характеристики надежности

Показатель надежности – характеристика одного или нескольких
свойств, составляющих надежность объекта.

К числу наиболее широко применяемых показателей надежности,
которые регламентирует ГОСТ 27.002-89 (приложение 1), относятся:

• - вероятность безотказной работы в течение определенного времени P(t);
• - средняя наработка до первого отказа T O ;
• - наработка на отказ T ;
• - частота отказов а(t);
• - интенсивность отказов A(t);
• - параметр потока отказов ы(t);
• - коэффициент готовности K .

Характеристикой надежности будем называть количественное
значение показателя надежности конкретного изделия.

Выбор количественных характеристик надежности зависит от вида
изделия.

Основные показатели надежности можно разбить на две группы:

• - показатели, характеризующие надежность невосстанавливаемых изделий;
  - показатели, характеризующие надежность восстанавливаемых изделий.

Невосстанавливаемыми называются такие изделия, для которых в
рассматриваемой ситуации проведение восстановления работоспособного
состояния не предусмотрено в нормативно-технической и (или)
конструкторской документации. Если происходит отказ такого изделия, то
выполняемая операция будет сорвана, и ее необходимо начинать вновь в том
случае, если отказ можно устранить. К таким изделиям относятся изделия
однократного действия, такие как ракеты, управляемые снаряды,
искусственные спутники Земли, а также системы многократного действия,
такие как системы управления воздушным и железнодорожным движением,
системы управления химическими, металлургическими и другими
ответственными производственными процессами.

Восстанавливаемыми называются такие изделия, для которых в
рассматриваемой ситуации проведение восстановления работоспособного

состояния предусмотрено в нормативно-технической и (или)
конструкторской документации. Если произойдет отказ такого изделия, то он
вызовет прекращение функционирования изделия только на период
устранения отказа. К таким изделиям относятся: телевизор, агрегат питания,
локомотив, автомобиль и т. п.

На рис. 1.1 показан временной график работы невосстанавливаемых и
восстанавливаемых изделий.

Н.о К.о Н.о К.о

• а) -----О-------О------О--------О-----

tHP tH. p

• б) ----Х—tP---Х - - Х---P--Х -Х t^P3 Х -

t П1 tП 2

Рисунок 1.1. Временной график работы невосстанавливаемых и
восстанавливаемых изделий:

• а) - изделия невосстанавливаемые (t_HP - время непрерывной работы, Н.О -
  начало операции, К.О - коней операции);
• б) - изделия восстанавливаемые (t_p - время исправной работы, t_n - время
  вынужденного простоя).

Рассмотрим следующую модель испытаний. На испытании находится
No изделий, и испытания считаются законченными, если все они отказали.
Причем отказавшие изделия отремонтированными или новыми не
заменяются. Тогда показателями надежности данных изделий являются:
- вероятность безотказной работы P(t);

• - частота отказов а(t);
• - интенсивность отказов A(t);
• - средняя наработка до первого отказа Tо;

Вероятность безотказной работы выражает вероятность того, что в
пределах заданной наработки отказ изделия не возникнет.

Вероятность безотказной работы по статистическим данным об отказах
оценивается согласно выражению

P( t)=NO ■- n⁽t), (1.1)

NO

где n(t) - количество изделий, отказавших к моменту времени t, при их
исходном количестве No ; P(t) - статистическая оценка вероятности
безотказной работы. При большом числе изделий N_O статистическая оценка
P(t) практически совпадает с вероятностью безотказной работы P(t). На
практике иногда более удобной характеристикой является вероятность отказа
Q (t).

Вероятность отказа - вероятность того, что при определенных
условиях эксплуатации в заданном интервале времени произойдет хотя бы
один отказ. Отказ и безотказная работа являются событиями

несовместимыми и противоположными, поэтому

Q( t) = nt), Q (t) = 1 - P (t).

NO

(1.2)

Частотой отказов называется отношение числа отказавших изделий в
единицу времени к первоначальному числу изделий при условии, что все

вышедшие из строя изделия не восстанавливаются.

Частоту отказов по статистическим данным об отказах оценивается

согласно выражению

a( t) =

n (At)
N_O A t ’

(1.3)

где n (At) - число отказавших изделий в интервале времени

от t -

A t

до

A t

t +--

2

Частота отказов есть плотность вероятности (или закон

распределения) времени работы изделия до первого отказа. Поэтому

dP (t)_ dQ (t)
^a( t) = = ,

dt dt

t t ^

Q (t) = J a(t) dt, P (t) = 1 - j a(t )dt = j a(t)dt. (1.4)

0 0 t

Интенсивностью отказов называется отношение числа отказавших

изделий в единицу времени к среднему числу изделий, исправно работающих
в данный отрезок времени.

Согласно определению интенсивность отказов по статистическим
данным об отказах определяется

N + N_m
где ^Nср = i ₂ i⁺¹

Д t) =

n (At)

IT 4 ,

Nср ^At

(1.5)

- среднее число исправно работающих изделий в

интервале At; Ni- число изделий, исправно работающих в начале интервала
At; Ni₊₁ - число изделий, исправно работающих в конце интервала At.

Интенсивность отказов есть условная плотность вероятности
возникновения отказа невосстанавливаемого изделия, определяемая для
рассматриваемого момента времени при условии, что до этого момента
отказ не возник.

Вероятностная оценка этой характеристики находится из выражения

X (t) = ^(tl. (1.6)

P (t)

Интенсивность отказов и вероятность безотказной работы связаны
между собой зависимостью

t

-f Л( t) dt

P(t) = e ⁰ (1.7)

Средней наработкой до отказа Т_O называется математическое
ожидание наработки изделия до первого отказа.

Как математическое ожидание Т_O вычисляется через частоту отказов
(плотность распределения времени безотказной работы):

TO = М [t ]= J ta(t)dt. (1.8)

-да

Так как t положительно и P(0) = 1, а P(да) = 0, то

TO = jP(t)dt. (1.9)

0

По статистическим данным об отказах средняя наработка до первого
отказа вычисляется по формуле

NO

X ti
~

To = (1.10)

N_O

где t_i – время безотказной работы i- го изделия, N_O - число испытуемых
изделий.

Как видно из формулы (1.10), для определения средней наработки до
первого отказа необходимо знать моменты выхода из строя всех испытуемых
~

изделий. Поэтому для вычисления T_O пользоваться указанной формулой
неудобно. Имея данные о количестве вышедших из строя изделий n_i в
каждом i-ом интервале времени, среднюю наработку до первого отказа
лучше определить из выражения

m

∑ ⁿi^t срi

i=i

O _NO

~

.

(1.11)

В выражении (1.11) t_срi и m находятся по следующим формулам

t =
срi

ti-i + ti

2

t

, m= ⁿ,
∆t

где ti-1 - время начала i-ого интервала; ti - время конца i-ого интервала; t_n -

время, в течение которого вышли из строя все изделия; Лt = ti_-1 - ti -

интервал времени.

При изучении надежности технических устройств часто применяются
следующие законы распределения времени безотказной работы:
экспоненциальный, нормальный, Релея, Гамма, Вейбулла.

В табл. 1.1 приведены выражения для оценки количественных
характеристик надежности изделий при указанных законах распределения
времени безотказной работы.

Таблица 1.1. Основные соотношения количественных характеристик
надежности при различных законах распределения времени безотказной
работы

Из выражений для оценки количественных характеристик надежности
видно, что все характеристики являются функциями времени. На рис. 1.2
приведены зависимости количественных характеристик надежности изделий

г

д

Рисунок 1.2. Зависимость количественных характеристик от времени

• а) экспоненциальная модель; б) модель Релея; в) модель Вейбулла;
• г) модель нормального распределения; д) модель гамма распределения

Рассмотренные показатели надежности позволяют достаточно полно
оценить надежность невосстанавливаемых изделий. Они также позволяют
оценить надежность восстанавливаемых изделий до первого отказа.

Наличие нескольких показателей вовсе не означает, что всегда нужно
оценивать надежность изделия по всем показателям.

Наиболее полно надежность изделия характеризуется частотой отказов
a(t). Это объясняется тем, что частота отказов является плотностью
распределения, а поэтому несет в себе всю информацию о случайной
величине – времени безотказной работы.

Средняя наработка до первого отказа является достаточно наглядной
характеристикой надежности. Однако применение этого показателя для
оценки надежности сложной системы ограничено в тех случаях, когда:
- время работы системы гораздо меньше среднего времени безотказной
работы;

• - закон распределения времени безотказной работы не

однопараметрический;

• - система резервированная;
• - интенсивность отказов непостоянная;
• - время работы отдельных частей сложной системы разное.

Интенсивность отказов - наиболее удобная характеристика надежности
простейших элементов, так как она позволяет более просто вычислить
количественные характеристики сложной системы.

Наиболее целесообразным показателем надежности сложной системы
является вероятность безотказной работы. Это объясняется следующими
особенностями вероятности безотказной работы:

• - она входит в качестве сомножителя в другие более общие характеристики
  системы, например в эффективность и стоимость;
• - характеризует изменение надежности во времени;
• - может быть получена сравнительно просто расчетным путем в процессе
  проектирования системы и оценена в процессе ее испытания.

В табл.1.2 показана взаимосвязь между показателями надежности.

Таблица 1.2 Взаимосвязь между показателями надежности

ПОКАЗАТЕЛИ НАДЕЖНОСИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ

Рассмотрим следующую модель испытаний. Пусть на испытание
поставлено N изделий. Отказавшие изделия немедленно заменяются
исправными (новыми или отремонтированными). Испытания считаются
законченными, если число отказов достигает величины достаточной для
оценки надежности с определенной доверительной вероятностью. Если не

учитывать время необходимое на восстановление системы, то
количественными характеристиками надежности могут быть параметр
потока отказов ^( t) и средняя наработка на отказ T.

Параметр потока отказов есть отношение среднего числа отказов
восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к
значению этой наработки.

Согласно определению

M |n(t + Лt)|-M|n(t)|

^(t) = lim ——-----—---- ^v ' = M' | n (t) |,

• лt >o Лt

где Mn(t + Лt)| и Mn(t)| - математическое ожидание числа отказов за время
t + Л t, t.

По статистическим данным параметром потока отказов называется
отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу
испытываемых изделий при условии, что все вышедшие из строя изделия
заменяются исправными (новыми или отремонтированными).

Согласно определению

_. . n(Лt)

~(t) = —,

N⋅∆t

где n(Лt) - число отказавших изделий в интервале времени от

(1.12)

∆t

t-— до
2

t + ~; N — число испытываемых изделий; Лt - интервал времени.

Параметр потока отказов обладает следующими важными свойствами:

• 1) для любого момента времени независимо от закона распределения
  времени безотказной работы параметр потока отказов больше, чем частота
  отказов, т.е. ®(t) > Л(t);
• 2) независимо от вида функции а(t) параметр потока отказов &(t) при

¹

t ^ ® стремится к —. Это означает, что при длительной эксплуатации
TO

ремонтируемого изделия поток его отказов независимо от закона
распределения времени безотказной работы становится стационарным.
Однако это вовсе не означает, что интенсивность отказов есть величина
постоянная;

• 3) если Л(t) - возрастающая функция времени, то Л(t) > а(t) > а(t), если
  Л(t) - убывающая функция, то ^(t) > Л(t) > а(t);
• 4) при Л(t) ^ const параметр потока отказов системы не равен сумме

N

параметров потоков отказов элементов, т.е. ^с(t) ^ ^^i(t).

i=1

• 5) при Л(t) = const параметр потока отказов равен интенсивности отказов
  ^( t) = Л( t) = Л.

Средняя наработка на отказ есть отношение наработки
восстанавливаемого изделия к математическому ожиданию числа его
отказов в течение этой наработки.

Эта характеристика определяется по статистическим данным об
отказах по формуле

n

_ Е ti

T = i=L, (1.13)

n

где ti - время исправной работы изделия между (i - 1)-м и i-м отказами; n -
число отказов за некоторое время t.

Из формулы (1.13) видно, что в данном случае наработка на отказ
определяется по данным испытания одного образца изделия. Если на
испытании находится N образцов в течение времени t, то наработка на отказ
вычисляется по формуле

N nj

SItj

T = У , (1.14)

Е nj

j=1

где tij - время исправной работы j-го образца изделия между (i - 1)-м и i-м
отказом; nj- - число отказов за время tj-го образца.

Наработка на отказ является достаточно наглядной характеристикой
надежности, поэтому она получила широкое распространение на практике.

Параметр потока отказов и наработка на отказ характеризуют
надежность ремонтируемого изделия, но не учитывают времени,
необходимого на его восстановление. Поэтому они не характеризуют
готовности изделия к выполнению своих функций в нужное время. Для этих

целей вводятся такие показатели, как коэффициент готовности и
коэффициент вынужденного простоя.

Коэффициент готовности есть вероятность того, что изделие
окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент времени,
кроме планируемых периодов, в течение которых применение объекта по
назначению не предусматривается.

Эта характеристика определяется по статистическим данным как
отношение времени исправной работы к сумме времен исправной работы и
вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок.
Эта характеристика обозначается K_Г .

Согласно данному определению

К Г = -P-, (1.15)

t P + t П

где t_P – суммарное время исправной работы объекта; t_П – суммарное время

вынужденного простоя.

Времена t_P и t_П вычисляются по формулам

t_P=itpi, t п=Ь ni, (1.16)
i=1 i=1

где t_Pi - время работы изделия между (i – 1)-м и i-м отказом; t_Пi - время
вынужденного простоя после i-го отказа; n – число отказов (ремонтов)
изделия.

Для перехода к вероятностному показателю величины t_P и t_П
заменяются математическими ожиданиями времени между соседними
отказами и времени восстановления соответственно.

Тогда

К

T
т+Гв

(1.17)

где T - среднее время наработки на отказ; T_В - среднее время

восстановления.

Среднее время восстановления есть математическое ожидание
времени восстановления работоспособного состояния объекта.

Как математическое ожидание Т_B вычисляется через частоту
восстановления (плотность распределения времени восстановления):

TB = J ta B (t) dt,
0

(1.18)

где a - частота восстановления, равная a (t) = ^⁽t), (S(t) - вероятность
B в _dt

восстановления).

По статистическим данным среднее время восстановления вычисляется
по формуле:

n_i

Z ti

_~

T — I = 1

TB =

(1.19)

n_i

Коэффициентом вынужденного простоя называется отношение
времени вынужденного простоя к сумме времен исправной работы и
вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок.

Согласно определению

~ _ t П

K^П = ГТУ
tp + t П

(1.20)

или переходя к средним величинам,

Kn = (1.21)

П T + T В

Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя
связаны между собой зависимостью

Kn = 1 - K г •

(1.22)

При анализе надежности восстанавливаемых систем обычно
коэффициент готовности вычисляют по формуле

К

TO

To + Тв

(1.23)

Формула (1.23) верна только в том случае, если поток отказов
простейший, и тогда T = To •

Часто коэффициент готовности, вычисленный по формуле (1.23)
отождествляют с вероятностью того, что в любой момент времени
восстанавливаемая система исправна. На самом деле указанные
характеристики неравноценны и могут быть отождествлены при

определенных условиях.

Поэтому вводится понятие функции готовности, которая определяется

из выражения:

Pr (t ) = K Г (t) = ^— + -A- e ~^(A+»t
A + p A + p

t

P_r (t ) = K Г (t) = K Г + (1 - K Г) e ^K Г ■ T^B

(1.24)

; 1 1

где A = ; p =

TO TВ

Кроме установившегося коэффициента готовности часто используется
среднее значение этого коэффициента за интервал времени 0...ti

t_i

K Г = - f K Г (t) dt
ti 0

(1.25)

Коэффициент оперативной готовности Kо_Г - вероятность того, что
объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный момент
времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение
объекта по назначению не предусматривается, и, начиная с этого момента,
будет работать безотказно в течение заданного интервала времени

Согласно определению

Kог = Kг • e^-At (1.26)

Коэффициент оперативной готовности оценивает не только готовность
системы к выполнению заданных функций, но и способность выполнять
функции определенной временной протяженностью.

• 1.2. Типовые примеры и их решения

Задачи, которые встречаются при определении количественных
характеристик надежности, могут быть разделены на следующие группы:

• 1) определение количественных характеристик надежности по
  статистическим данным об отказах изделия;
• 2) определение количественных характеристик надежности изделия при
  известной математической модели надежности.

В настоящей главе при определении количественных характеристик
надежности технических устройств по статистическим данным об их отказах
не учитывается достоверность полученных результатов.

Кроме того, следует иметь в виду, что частота, интенсивность и
параметр потока отказов, вычисленные по формулам (1.3), (1.5), (1.12)
являются постоянными в диапазоне интервала Лt, а функции а(t), Л(t),
S)( t) - ступенчатыми кривыми или гистограммами. Для удобства изложения
в дальнейшем при решении задач на определение частоты, интенсивности и
параметра потока отказов по статистическим данным об отказах изделий
ответы относятся к середине интервала Лt. При этом результаты вычислений
графически представляются не в виде гистограмм, а в виде точек,
отнесенных к середине интервалов Лt и соединенных плавной кривой.

Рассмотрим типовые примеры.

Пример 1.1. На испытание поставлено 1000 однотипных электронных
ламп. За 3000 ч отказало 80 ламп. Требуется определить вероятность
безотказной работы и вероятность отказа электронных ламп в течение 3000 ч.

Решение. По формулам (1.1) и (1.2) определяем

P(3000) =

NO - n(t) _ 1000 - 80

NO ~ 1000

2(3000) =

n^ = -⁸⁰- = 0,08

NO 1000

или

2(3000) = 1 - P( t) = 1 - 0,92 = 0,08

Пример 1.2. На испытание поставлено 1000 однотипных ламп. За
первые 3000 ч работы отказало 80 ламп, а за интервал 3000 ч – 4000 ч
отказало еще 50 ламп. Определить частоту и интенсивность отказов
электронных ламп в промежутке 3000 ч – 4000 ч работы.

Решение. По формулам (1.3) определим частоту отказов

a(3500) =

n(Лt) _ 50

NOЛt " 1000 -1000

=5-10^-5 (1/ч)

Определим среднее число исправно работающих изделий в интервале
Л t.

N

ср

Ni + Ni₊₁ _ 920 + 870

2 = 2

= 895 (шт)

По формуле (1.5) находим интенсивность отказов

λ^~(3500) =

n(∆t)

^Nср^∆t

50

895 ⋅1000

= 5,6 ⋅10^-5(1/ч)

Пример 1.3. На испытании находилось 1000 образцов
неремонтируемой аппаратуры. Число отказов n(∆t) фиксировалось через

каждые 100 ч работы (∆t = 100 ч). Данные об отказах приведены в табл. 1.3.

Требуется вычислить количественные характеристики и построить

зависимость характеристик от времени.

Таблица 1.3. Данные об отказах к примеру 1.3

Решение. Аппаратура относится к классу невосстанавливаемых

~ ~~

изделий. Поэтому показателями надежности будут P (t) , α~(t) , λ(t) , T_O .

Вычислим P(t) . На основании формулы (1.1) имеем

P^~(100) =

N_O - n(100)

1000 - 50

1000

P^~(200) =

N_O - n(200)
NO

1000 - 90

1000

P^~(3000) = ^NO

- n(3000) 1000 - 575

NO

1000

= 0,425.

Для расчета характеристик α(t) и λ(t) применим формулы (1.3) и (1.5),

тогда

α^~(50) =

n(∆t)
N_O∆t

50
1000⋅100

=5⋅10^-4

(1/ч),

α^~(150) = ^n(∆t) = ⁴⁰

N_O∆t 1000 ⋅100

= 4 ⋅ 10^-4

(1/ч),

£(2950) = n^ =---⁴⁰---= 4 -10-⁴ (1/ч),

NO A t 1000 -100

1(50) = n(^At) =---

Nср ^At 100 -

5⁰-------v = 5,13 -10-⁴ (1 /ч),

^ 1000 + 950 ^ ^{, v} ’

I 2 )

/1(150) =

n (At) _ 40

Nср^At = 100-f ^950+910 1

I 2 )

= 4,3 -10-⁴ (1/ч),

/(2950) = n^)- =---
Nср ^At100 -

40

—°------ = 9 -10-⁴ (1/ч)

f 465+4251

I 2)

~ ^Z

Значения P(t), a(t), /(t), вычисленные для всех Ati, приведены в

табл. 1.4, а их зависимости от времени на рис. 1.3 и 1.4.

Вычислим среднее время безотказной работы, предположив, что на
испытании находились только те образцы, которые отказали.

Расчет проведем, используя формулу (1.11), учитывая, что

^t

m = —

A t

3000

100

= 30 и NO = 575, имеем

m

E nitcpi

т i=1
TO =

_~

NO

50 - 50 + 40-150 + 32 - 250 +... + 30 - 2850 + 40 - 2950

575

= 1400 (ч).

Полученное значение средней наработки до первого отказа является
заниженным, т.к. опыт был прекращен после отказа 575 образцов из 1000,

поставленных на испытание.

~ ~

Таблица 1.4. Вычисленные значения P (t), a( t), /(t) к примеру 1.3

~

Рисунок 1.3. Зависимость P от t к примеру 1.3.

Рисунок 1.4. Зависимость α^~ и λ^~ от t к примеру 1.3.

Пример 1.4. В течение некоторого периода времени производилось
наблюдение за работой одного экземпляра радиолокационной станции. За

весь период наблюдения было зафиксировано 15 отказов. До начала
наблюдения станция проработала 258 часов, а к концу наблюдения наработка
станции составила 1233 часа. Требуется определить среднюю наработку на

отказ T .

Решение. Наработка радиолокационной станции за наблюдаемый
период равна

t = 12 -11 = 1233 - 258 = 975 (ч)

n

Принимая ^ ti = 975 ч, по формуле (1.13) находим среднюю наработку
i=1

на отказ:

n
t

~=а:=975 = 65 (ч).
n 15

Пример 1.5. Производилось наблюдение за работой трех экземпляров
однотипной аппаратуры. За период наблюдения было зафиксировано по
первому экземпляру 6 отказов, по второму и третьему – 11 и 8 отказов
соответственно. Наработка первого экземпляра составила 181 ч, второго –
329 ч и третьего 245 ч. Требуется определить наработку аппаратуры на отказ
~

Решение. Определим суммарную наработку трех образцов аппаратуры:

N nj

t У = ЕЁ tj = 181 + 329 + 245 = 755 (ч)

j=1i=1

Определим суммарное количество отказов:

N

n Е = Е nj = 6 +11 + 8 = 25 (отказов).

j=1

Находим среднюю наработку на отказ по формуле (1.14)

~

T =

N nj

ЕЕ tj

j=1i=1

N

Е nj

j=1

t^=

ⁿ Е

755

25

= 30,2 (ч).

Пример 1.6. Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого
одного из них ведет к отказу системы. Известно, что первый прибор отказал
34 раза в течение 952 ч работы, второй -24 раза в течение 960 ч работы, а

остальные приборы в течение 210 часов работы отказали 4, 6 и 5 раз
соответственно. Требуется определить наработку до отказа системы в целом,
если справедлив экспоненциальный закон надежности для каждого из пяти
приборов.

Решение. Для решения данной задачи воспользуемся следующими
соотношениями:

n

л = 2 Л

i=1

To = —.
O Л

Определим интенсивность отказов для каждого прибора:
~ 34 ~24

Л~ =---= 0,0357 (1/ч), Л =---= 0,025 (1/ч),

¹ 952 ²960

~4 6 5

^,4,5 = “W = 0,071⁴ (1/ч).

Интенсивность отказов системы равна

Л =2 Л = Л + Л + Л₃,₄,₅ = 0,0357 + 0,025 + 0,0714 = 0,1321 (1/ч)
i=1, ,

Средняя наработка до отказа системы

To = — = ¹ = 7,57 (ч)-

O Л_с 0,1321

Пример 1.7. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было
зафиксировано 8 отказов. Время восстановления составило t₁ = 12 мин, t₂ = 23
мин, t3 = 15 мин, t4 = 9 мин, t5 = 17 мин, t6 = 28 мин, t7 = 25 мин, t8 = 31 мин.
~

Определить среднее время восстановления аппаратуры T_В .

Решение.

n_i

8

~

Т — ¹ =1
TB =

n_i

X ti 2 ti

- i=1

600

88

= 75 (мин).

Пример 1.8. Аппаратура имела среднюю наработку на отказ 65 ч и
среднее время восстановления 1,25 ч. Требуется определить коэффициент
готовности.

Решение. По формуле (1.17) имеем

К

T

65

г = — — =

Г Т + TB 65 +1,25

= 0,98

Пример 1.9. Пусть время работы элемента до отказа подчинено
экспоненциальному закону распределения с параметром λ= 2,5 ⋅ 10^-5 1/ч.

Требуется вычислить количественные характеристики надежности
элемента P(t), α(t), T_O , если t = 500, 1000, 2000 ч.

Решение. Используем формулы для P(t), α(t) и T_O , приведенные в
табл.1.1.

Вычислим вероятность безотказной работы:

_{P(t) = e}-λ⋅t _{= e}-2,5⋅10^-5⋅t _.

P(500) = e^{-2,5⋅10-5⋅500} =0,9875;

P(1000)=e^{-2,5⋅10-5⋅1000} =0,9753;

P(2000) = e^{-2,5⋅10-5⋅2000} = 0,9512.

Вычислим частоту отказа:

α(t)=λ(t)⋅P(t)=2,5⋅10^-5 ⋅ e^{-2,5⋅10-5⋅t}

α(500) =2,5⋅10^-5 ⋅ e^{-2,5⋅10-5⋅500} =2,5⋅10^-5⋅0,9875=2,469⋅10^-5(1/ч);
α(500)=2,5⋅10^-5⋅e^{-2,5⋅10-5⋅1000} =2,5⋅10^-5 ⋅0,9753=2,439⋅10^-5(1/ч);
α(500) =2,5⋅10^-5 ⋅ e^{-2,5⋅10-5⋅2000} =2,5⋅10^-5 ⋅0,9512=2,378⋅10^-5(1/ч).

Вычислим среднюю наработку до первого отказа:

¹
TO =_λ

1

2,5⋅10^-5

= 40000 (ч).

Пример 1.10. При эксплуатации системы было зарегистрировано n = 40
отказов. Распределение отказов по группам элементов и время, затраченное
на восстановление, приведены в табл. 1.5 Необходимо найти величину

среднего времени восстановления системы.

Решение. Определяем среднее время восстановления аппаратуры по

группам элементов.

Для полупроводниковых приборов:

n_i

∑ti
i =1
TB =

_~

n_i

8

∑ti

= i=1

8

600

8

= 75 (мин)

Аналогично:

• - для резисторов и конденсаторов 76 мин;
• - для реле, трансформаторов, дросселей 113 мин;
• - для ЭВП 50 мин;
• - для прочих элементов 120 мин.

Рассчитаем среднее время восстановления системы по формуле:

~^m

TBC = E tei ’ mi ,
i=1

где t_вi - среднее время восстановления элементов i-й группы; m_i - вес отказов
по группам элементов.

T_BC = 0,2 • 75 + 0,25 • 76 + 0,1 -113 + 0,35 • 50 + 0,1-120 = 74,8 (мин).

Таблица 1.5. Количество зарегистрированных отказов по группам к

примеру 1.10

1.3. Задачи

В настоящем разделе приведены задачи по расчету количественных
показателей надежности, предлагаемые для самостоятельного решения. Эти
задачи легко решить, используя типовые примеры, приведенные в
предыдущем разделе.

• 1.1. На испытание поставлено 400 изделий. За время t = 3000 ч отказало
  200 изделий, за интервал времени Δt = 100 ч отказало 100 изделий. Требуется
  определить вероятность безотказной работы за 3000 ч, 3100 ч, 3050 ч;
  частоту отказов и интенсивность отказов за 3050 ч.

Ответ: P(3000) = 0,5; P(3100) = 0,25; P(3050) = 0,375; a(3050) = 2,5 -10-³
1/ч; λ^~(3050) = 6,67⋅10^-3 1/ч.

• 1.2. В течение 1000 ч из 10 гироскопов отказало 2. За интервал времени
  1000 – 1100 ч отказал еще один гироскоп. Требуется найти частоту и
  интенсивность отказов гироскопов в промежутке времени 1000 – 1100 ч.
  Ответ: α^~(1050)=10^-3 1/ч, λ^~(1050)=1,3⋅10^-3 1/ч.
• 1.3. Система состоит из трех приборов А, В и С. На испытание было
  поставлено 100 приборов каждого типа. За 100 ч работы приборы типа А
  отказали 10 шт, приборы типа В – 20 шт и приборы С - 50 шт. Определить
  вероятность безотказной работы каждого прибора, частоту отказов и
  интенсивность отказов.

Ответ: PA (100) = 0,9; PB (100) = 0,8; PC (100) = 0,5; aA (50) = 10^-31/ч;
α^~_B(50)=2⋅10^-3 1/ч; α^~_C(50)=5⋅10^-31/ч; λ^~_A(50)=1,05⋅10^-3 1/ч;

λ^~_B(50)=2,2⋅10^-3 1/ч; λ^~_C(50) =6,67⋅10^-3 1/ч.

• 1.4. Работающее на дистанции устройство содержит 1600 элементов
  (реле, резисторы, конденсаторы, трансформаторы и другие). Фиксировались

отказы через каждые 100 часов работы. Данные об отказах приведены в табл.

1.6.

Таблица 1.6. Исходные данные к задаче 1.4

Необходимо определить показатели надежности: вероятность

безотказной работы, вероятность отказа, частоту отказов, интенсивность
отказов, среднее время наработки до отказа. Построить график зависимости
вероятности безотказной работы от времени

~z ~Z ~

Ответ: P (t), a( t), Л( t) см. табл. 1.7 и рис.1.5, To = 575,42 ч

Таблица 1.7. Вычисленные значения P( t), а( t), Л( t) к задаче 1.4

P(t)

о .в

0.4

0.2

О 500 ЮОО 1500 2000

Рисунок 1.5 Зависимость P от t (к задаче 1.4)

• 1.5. Имеются статистические данные об отказах трех групп одинаковых
  изделий, приведенные в табл. 1.8. В каждой группе было по 100 изделий и их
  испытания проводились по 1 группе 550 ч, по 2 группе 400 ч, по 3 группе 200
  ч. Необходимо вычислить количественные характеристики P( t), а( t), Л( t) и

построить графики этих функций.

Таблица 1.8. Исходные данные к задаче 1.5

P P

Ответ: P(t), а(t), Л(t) см. табл.1.9. и рис. 1.6 и 1.7.

P P

Таблица 1.9. Вычисленные значения P (t), а( t), A( t) к задаче 1.5

~

Рисунок 1.7 Зависимость α^~ и λ от t (к задаче 1.5)

• 1.6 - 1.9. В течение времени ∆t проводилось наблюдение за
  восстанавливаемым изделием, и было зафиксировано n(∆t) отказов. До
  начала наблюдения изделие проработало t₁ ч, общее время наработки к

~

концу наблюдения составило t₂ ч. Требуется найти наработку на отказ T .

Исходные данные для решения задач и ответы приведены в табл. 1.10.

Таблица 1.10. Исходные данные и ответы к задачам 1.6 – 1.9

1.10 – 1.13. В течение некоторого времени проводилось наблюдение за

работой N_O экземпляров восстанавливаемых изделий. Каждый из образцов
проработал t_i ч и имел n_i отказов. Требуется определить наработку на отказ
T по данным наблюдения за работой всех изделий.

Исходные данные для решения задач и ответы приведены в табл. 1.11.

Таблица 1.11. Исходные данные и ответы к задачам 1.10 – 1.13

1.14 – 1.17. Электронная аппаратура состоит из k групп элементов. В

процессе эксплуатации зафиксировано n отказов. Количество отказов в j-й
группе равно n_j ; среднее время восстановления элементов j-й группы равно
~

t_j мин. Требуется вычислить среднее время восстановления аппаратуры T_В .

Исходные данные для решения задач и ответы приведены в табл. 1.12.

Таблица 1.12. Исходные данные и ответы к задачам 1.14 – 1.17

1.18 – 1.21. Изделие имеет среднюю наработку на отказ T и среднее

время восстановления T_В . Необходимо определить коэффициент готовности
изделия.

Исходные данные для решения задач и ответы приведены в табл. 1.13.

Таблица 1.13. Исходные данные и ответы к задачам 1.18 – 1.21

• 1.22. Интенсивность отказов изделия А = 0,82 -10 3 1/ч = const.
  Необходимо найти вероятность безотказной работы в течение 6 ч полета
  самолета P (6), частоту отказов а (100) при t = 100 ч и среднюю наработку до
  первого отказа T_O .

Ответ: P(6) = 0,995, а(100) = 0,75-10—3 1/ч, TO = 1220 ч.

• 1.23. Вероятность безотказной работы телекоммуникационной сети в
  течение 120 ч равна 0,9. Предполагается, что справедлив экспоненциальный

закон надежности. Требуется рассчитать интенсивность отказов и частоту
отказов сети для момента времени 120 ч.

Ответ: λ=0,83⋅10^-3 1/ч, α(120)=0,747⋅10^-3 1/ч.

• 1.24. При эксплуатации системы автоматики было зафиксировано
  n = 20 в течение 350 часов. При этом распределение отказов отдельных
  элементов системы и время, затраченное на их устранение (время
  восстановления), приведено в табл. 1.14. Необходимо определить среднее
  время восстановления и коэффициент готовности системы
  Таблица 1.14. Исходные данные к задаче 1.24

  Элементы	Количество отказов, ni	Вес отказов по группе, n m= i n	Время восстановления, t , мин	Суммарное время восстановления по группе, ti , мин
  Полупроводник овые приборы	5	0,25	80 20 22 18 23	163
  Реле	2	0,1	10 12	22
  Резисторы (конденсаторы)	10	0,5	-	230
  Пайка	3	0,15	-	42

~

Ответ: T_B = 0,38 ч, K_Г = 0,9989.

• 1.25. Определить количественные характеристики надежности p(t),

а(t), A(t) и To интегральных микросхем для времени их работы
t = 500, 1000, 2000 ч при условии, что параметр распределения о = 1000 ч,
время работы ИМС до отказа подчиняется закону распределения Релея.

Ответ: Результаты расчетов приведены в табл. 1.15.

Таблица 1.15. Результаты расчета к задаче 1.25

1.26 - 1.45. На испытание поставлено N0 изделий. За время t ч вышло
из строя n(t) штук изделий. За последующий интервал времени Лt вышло из
строя n(Лt) изделий. Необходимо вычислить вероятность безотказной

работы за время t и t + Лt, частоту и интенсивность отказов на интервале
Л t.

Исходные данные для решения задачи и ответы приведены в табл.1.16.

Таблица 1.16. Исходные данные и результаты расчета к задачам 1.26 – 1.45

• 1.46. Интенсивность отказов реле Л = 10 ⁵ 1/ч. Сколько реле может

отказать за один год работы, если всего работало 250 реле?

Ответ: n (t) = 22.

• 1.47. На испытание поставлено 100 приборов. В течение времени
  t = 1000 ч отказало 10 приборов. Найти вероятность безотказной работы и
  среднее время наработки до первого отказа, если для приборов справедлив
  экспоненциальный закон надежности.

Ответ: P (t) = 0,82, To = 5000 ч.

• 1.48. Время безотказной работы электровакуумного прибора подчинено
  закону Релея с параметрами а = 1800 ч. Определить вероятность безотказной
  работы электровакуумного прибора в течение времени t = 1000 ч, частоту
  отказа а( t) и интенсивность отказа Л( t).

Ответ: P(1000) = 0,87: а(1000) = 0,25 • 10^-3 1/ч; Л(1000) = 0,29 •Ю^-3 1\ч

• 1.49. Вероятность безотказной работы изделия в течение времени
  t = 1000 ч равна P(t) = 0,95 . Время исправной работы подчинено закону
  Релея. Определить количественные характеристики надежности α(t) , λ(t) .
  Ответ: α(1000)=0,95⋅10^-4 1/ч; λ(1000)=10^-4 1/ч
• 1.50. Время безотказной работы реле подчинено закону Вейбулла с
  параметрами k = 2,6 λ₀ = 1,65 ⋅ 10^-7 1/ч. Определить вероятность безотказной
  работы реле в течение времени t = 150 ч, частоту отказа α(t) и
  интенсивность отказа λ(t) .

Ответ: P(150) = 0,92: α(150)=11,9⋅10^-4 1/ч; λ(150)=12,9⋅10^-4 1\ч

• 2. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ НЕРЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ

• 2.1. Методы расчета

Задача расчета показателей надежности сложной системы состоит в
том, чтобы определить ее показатели надежности, если известны показатели
надежности отдельных элементов и структура системы, т.е. характер связей
между элементами с точки зрения надежности.

Наиболее простую структуру имеет нерезервированная система,
состоящая из n элементов, у которой отказ одного из элементов приводит к
отказу всей системы (рис.2.1). В этом случае система имеет логически
последовательное соединение элементов.

1

2

n

Рисунок 2.1. Логически последовательное соединение элементов

При расчете показателей надежности таких устройств предполагается,
что отказ элемента является событием случайным и независимым.

Тогда вероятность безотказной работы изделия в течение времени t
равна произведению вероятностей безотказной работы ее элементов в
течение того же времени. Так как вероятность безотказной работы элементов
в течение времени t можно выразить через интенсивность отказов в виде
(1.7), то расчетные формулы для вероятности безотказной работы
технического устройства при последовательном соединении элементов
можно записать следующим образом:

n

Pc⁽t) = Pi⁽ t) • Р 2⁽ t) • .•. • Pn (t) = П Pi⁽t),
i=1

(2.1)

• -^J A1(t)dt -jA₂(t)dt -JAn (t)dt -^^ JAi(t)dt

PC(t) = e ⁰ • e о •... • e о = e i=ю

Выражения (2.1) наиболее общие. Они позволяют определить
вероятность безотказной работы изделия до первого отказа при любом законе
изменения интенсивности отказов во времени.

На практике наиболее часто интенсивность отказов изделий является
величиной постоянной. При этом время возникновения отказов подчинено

экспоненциальному закону распределения, так как для нормального периода
работы аппаратуры справедливо условие λ = const.

В этом случае выражения для количественных характеристик примут

вид:
t
-^

Pc (t ) = e^-2 = eT ; 2 = X 2,.; ac (t) = ле-'; /о_л = -(2.2)

i=1

Если все элементы данного типа равнонадежны, интенсивность отказов
будет

r

2c = X N-,(2.3)

i=1

где: N_i - число элементов i-го типа; r – число типов элементов.

На практике очень часто приходится вычислять вероятность
безотказной работы высоконадежных систем. При этом произведение 2_ct
значительно меньше единицы, а вероятность безотказной работы P(t) близка

к единице.

В этом случае количественные характеристики надежности можно с

достаточной для практики точностью
приближенным формулам:

r

p_c (t) = 1 - — = 1 -1X N-;

i=1

вычислить

по следующим

r

- = X Ni-i

i=1

^;

(2.4)

1

T о. c . = —

²c

1

r

X N-

i=1

; ac (t) = - (1 - 2ct).

Вычисление количественных

характеристик

надежности по

приближенным формулам не дает больших ошибок для систем, вероятность
безотказной работы которых превышает 0,9, т.е. для -t < 0,1.

При расчете показателей надежности систем часто приходится
перемножать вероятности безотказной работы отдельных элементов расчета
и возводить их в степень и извлекать корни. При значениях вероятность P(t),
близких к единице, эти вычисления можно с достаточной для практики
точностью выполнить по следующим приближенным формулам:

nn

P_C(t)=∏p_i(t)≈1-∑q_i(t),
i=1 i=1

PC(t)=piⁿ(t)=1-nqi(t), (2.5)

ⁿ p_i(t) =1-^qi(t),
n

где qi (t) - вероятность отказа i-го блока.

В зависимости от полноты учета факторов, влияющих на работу
изделия, различают прикидочный, ориентировочный и окончательный расчет
показателей надежности.

ПРИКИДОЧНЫЙ РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

Прикидочный расчет основывается на следующих допущениях:

• - все элементы изделия равнонадежны;
• - интенсивность отказов всех изделий не зависит от времени, т.е. λ= const ;
• - отказ любого элемента приводит к отказу всего изделия.

Прикидочный расчет показателей надежности выполняется в
следующий случаях:

• 1) при проверке требований по надежности, выдвинутых заказчиком в
  техническом задании (ТЗ) на проектирование изделия;
• 2) при расчете нормативных данных по надежности отдельных блоков и
  устройств системы;
• 3) для определения минимально допустимого уровня надежности элементов
  проектируемого изделия;
• 4) при сравнительной оценке надежности отдельных вариантов изделия на
  этапе эскизного проектирования.

Прикидочный расчет показателей надежности позволяет судить о
принципиальной возможности обеспечения требуемой надежности изделия.

ОРИЕНТИРОВОЧНЫЙ РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ

Ориентировочный расчет показателей надежности учитывает влияние
на надежность только количества и типов, входящих в систему элементов, и
основывается на следующих допущениях:

• - все элементы данного типа равнонадежны, т.е. величины интенсивности
  отказов ( λ_i ) для этих элементов одинаковы;
• - все элементы работают в номинальном (нормальном) режиме,
  предусмотренном техническими условиями;
• - интенсивности отказов всех элементов не зависят от времени, т.е. в
  течение срока службы у элементов, входящих в изделие, отсутствует
  старение и износ, следовательно λ_i(t) = const;
• - отказы элементов изделия являются событиями случайными и
  независимыми;
• - все элементы изделия работают одновременно.

Для определения показателей надежности изделия необходимо знать:

• 1) вид соединения элементов расчета надежности;
• 2) типы элементов, входящих в изделие и число элементов каждого типа;
• 3) величины интенсивностей отказов элементов λ_i , входящих в изделие.

Выбор λ_i для каждого типа элементов производится по

соответствующим таблицам, приведенных в справочниках по надежности.

Таким образом, при ориентировочном расчете показателей надежности
необходимо знать структуру системы, номенклатуру применяемых элементов
и их количество.

Ориентировочный метод расчета показателей надежности используется
на этапе эскизного проектирования после разработки принципиальных
электрических схем изделий. Он позволяет наметить пути повышения
надежности изделия и производится по формулам (2.2)…(2.4).

ОКОНЧАТЕЛЬНЫЙ (ПОЛНЫЙ) РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
НАДЕЖНОСТИ

Полный расчет показателей надежности изделия выполняется тогда,
когда известны реальные режимы работы элементов после испытания в
лабораторных условиях основных узлов и макетов изделия.

Элементы изделия находятся обычно в различных режимах работы,
сильно отличающихся от номинальной величины. Это влияет на надежность
как изделия в целом, так и отдельных его составляющих частей. Выполнение
окончательного расчета показателей надежности возможно только при
наличии данных о коэффициентах нагрузки отдельных элементов и при
38

наличии графиков зависимости интенсивности отказов элементов от их
электрической нагрузки, температуры окружающей среды и других
факторов, т.е. для окончательного расчета необходимо знать зависимости

4 = f (кнТ ,...).

Эти зависимости приводятся в виде графиков либо их можно
рассчитать с помощью, так называемых поправочных коэффициентов
интенсивности отказов k_i , позволяющих учесть влияние различных факторов
на надежность изделия.

Для определения показателей надежности изделия необходимо знать:
1) число элементов с разбивкой их по типам и режимам работы;

• 2) зависимости интенсивности отказов элементов Ai от электрического
  режима работы и заданных внешних условий;
• 3) структуру системы.

В общем случае Ai зависит от следующих воздействующих факторов:

• - электрического режима работы данного элемента;
• - окружающей температуры;
• - вибрационных воздействий;
• - механических ударов;
• - линейных ускорений;
• - влажности;
• - воздействия морской воды;
• - воздействия биологических факторов (грибок, плесень, насекомые);
  давления;
• - воздействия электромагнитных волн;
• - радиоактивное излучение и ряда других факторов.

Знание зависимости интенсивности отказов Ai от воздействующих
факторов является необходимым для правильного использования элементов с
целью получения заданной вероятности безотказной работы за время t.

При разработке и изготовлении элементов обычно предусматриваются
определенные, так называемые «нормальные» условия работы: температура
+25±10° С, номинальный электрический режим, отсутствие механических
перегрузок и т. Д. Интенсивность отказов элементов в «нормальном» режиме
эксплуатации называется номинальной интенсивностью отказов A_Hi.

Интенсивность отказов элементов при эксплуатации в реальных
условиях λ_i равна номинальной интенсивности отказов λ_нi , умноженной на
поправочные коэффициенты k_i , т.е.

n

λi=λнi⋅k1⋅k2⋅...⋅kn =λнi∏ki,
i=1

где: λ_нi - интенсивность отказов элемента, работающего в нормальных
условиях при номинальной электрической нагрузке; k₁,k₂,...,k_n-

поправочные коэффициенты, зависящие от различных воздействующих
факторов.

Полный расчет показателей надежности применяется на этапе
технического проектирования изделия.

• 2.2. Типовые примеры и их решения

Пример 2.1. Система состоит из 12600 элементов. Интенсивность

отказа элемента λ= 0,32⋅10

-

⁶ 1/ч.

Необходимо определить вероятность безотказной работы систем в
течение времени t = 50 ч.

Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (2.3) равна:

λ_c =λ⋅N =0,32⋅10^-6 ⋅12600=4,032⋅10^-3 (1/ч).

Тогда на основании (2.2)

P_C(50)=e^-λct = e^-4,032⋅10

^3⋅50 =0,82.

Пример 2.2. Используя данные примера 2.1, вычислить среднюю
наработку до первого отказа системы.

Решение. Средняя ]
вычисляется по формуле
примера 2.1, получим
11
Τ==

^O.C λc 4,032⋅10^-

наработка до первого отказа системы Τ_O.C

• (2.2). Подставляя в формулу значение λ_c из

= 250 (ч).

Пример 2.3. Система состоит из трех блоков, средняя наработка до
первого отказа которых равна T1 = 160 ч, T2 = 320 ч, T3 = 600 ч. Для блоков
справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить
среднюю наработку до первого отказа системы.

Решение. Воспользуемся формулой (2.2) для средней наработки до
первого отказа системы. В нашем случае интенсивность отказов системы

равна

; = л + l + i = X + X + X = — + — + — = 0,011 (1/ч).

^{c 1 2 3} T1 T2 T3 160 320 600

Τ

1

O.C = А

λ_c

1
0,011

= 91 (ч).

Пример 2.4. Система состоит из двух устройств. Вероятности
безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 ч. равны:
/>1(100) = 0,95; p2(100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон
распределения надежности. Необходимо найти среднюю наработку до

первого отказа системы.

Решение. Найдем вероятность безотказной работы системы по формуле
(2.1)

PC⁽t) = Р1⁽ t) • Р 2⁽ t).

Отсюда PC (100) = p1 (100) • p2 (100) = 0,95 • 0,97 = 0,92.

Найдем интенсивность отказов системы, воспользовавшись формулой

PC (100) = 0,92 = e -¹ = e -¹ '¹⁰°.

Из этого выражения найдем Л_с -100.

1_c-100 = ln0,92«0,083 или 1_c = 0,83-10-³ (1/ч).

Среднее время наработки до первого отказа

1

T O. C. = —
^Lc

1

0,83 -10"³

= 1200 (ч).

Пример 2.5. Вероятность безотказной работы одного элемента в
течение времени t равна p(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность

безотказной работы системы, состоящей из N = 100 таких элементов.

Решение. Вероятность безотказной работы системы равна
PC (t) = PN (t) = (0,9997)¹⁰⁰. Вероятность p (t) близка к единице, поэтому для
вычисления вероятности безотказной работы системы воспользуемся
формулой (2.5). В нашем случае q(t) = 1 - p(t) = 1 - 0,9997 = 0,0003. Тогда

вероятность

безотказной работы

системы

PC (t) = 1 - Nq(t) = 1 -100 • 0,0003 = 0,97 .

Пример 2.6. Вероятность безотказной работы системы в течение
времени t равна Pc (t) = 0,95. Система состоит из N = 120 равнонадежных
элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента.

Решение. Вероятность безотказной работы элемента будет равна
pi (t) = NPc (t). Так как вероятность безотказной работы системы близка к
единице, то вычисления p(t) удобно выполнить по формуле (2.5). Для
нашего случая Qc (t) = 1 - Pc (t) = 1 - 0,95 = 0,05.

Тогда

p (t) = NP_C (t) = 1 - QCt) = — = 0,9996.

^C N 120

Пример 2.7. Система состоит из пяти приборов, вероятность исправной
работы которых в течение времени t = 100 ч равны: p1(100) = 0,9996;
p2(100) = 0,9998; p3(100) = 0,9996; p4(100) = 0,999; p5(100) = 0,9998.

Требуется определить частоту отказов системы в момент времени t = 100 ч.

Предполагается, что отказы приборов независимы и для них
справедлив экспоненциальный закон распределения надежности.

Решение. По условию задачи отказы приборов независимы, поэтому
вероятность безотказной работы системы равна произведению вероятностей
безотказной работы приборов. Тогда по формуле (2.5) для случая
высоконадежных систем имеем

5
Pc (t) = 1 -Z qi( t).
i=1

Определим вероятность отказа каждого блока:

q1 (100) = 1 - p1 (100) = 1 - 0,9996 = 0,0004,

q 2 (100) = 1 - p2(100) = 1 - 0,9998 = 0,0002,

q 3 (100) = 1 - p3 (100) = 1 - 0,9996 = 0,0004
q ₄ (100) = 1 - p₄(100) = 1 - 0,999 = 0,001,
q ₅ (100) = 1 - p₅ (100) = 1 - 0,9998 = 0,0002.

Тогда

Pc (100) = 1 - (0,0004 + 0,0002 + 0,0004 + 0,001 + 0,0002) = 0,9978.

Так как вероятность безотказной работы системы близка к единице, то
в соответствии с формулой (2.4) для P_C (t) интенсивность отказов системы
можно вычислить из выражения

отсюда

Pc (t) = 1 - Act,

Ac =

1 — Pc (t )
t

Подставляя значения Pc (100) и время t = 100 ч, получим

Ac =

1 - 0,9978

100

= 2,2 -10—5 (1/ч).

Тогда частота отказов в соответствии с формулой (2.4) будет

a_c (t) « Ac (1 - Act) = 2,2 -10^-5(1 - 2,2 -10^-5 -100) = 2,195 -10^-5 (1/ч).

Пример 2.8. Все элементы электронного усилителя работают в
нормальный период эксплуатации, т.е. A = const. Усилитель должен
непрерывно работать в течение 10 ч. Из схемы известно, что усилитель
состоит из 2 ламп, 8 резисторов и 6 конденсаторов. Интенсивность отказов
всех элементов указана в табл. 2.1. Требуется рассчитать вероятность
безотказной работы системы P_C (t) и среднюю наработку до первого отказа

TO.C.

Решение. Для выполнения ориентировочного расчета надежности
усилителя рассчитаем интенсивность отказов компонентов по группам, и
рассчитанные значения занесем в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Таблица расчета интенсивности отказов к примеру 2.8

Интенсивность отказов усилителя рассчитаем по формуле (2.3):

Ac = (0,18 + 0,24 + 0,2 + 0,2 + 0,06 + 0,26 + 0,18 +18) -10^-5 = 19,32 -10^-5 (1/ч).

Pc (10) = e^{- A}ct = e-^{19,32-10 -}5^-10 = 0,9981

Τ

1

O.C - г

1

19,32 -10=5

- 5176 (ч).

Пример 2.9. Изделие состоит из N - 3 групп приборов. Отказы первой

группы подчинены экспоненциальному закону надежности с интенсивностью
отказов Л - 0,2 -10—³ 1/ч. Отказы приборов второй группы - закону Релея с
параметром & —1000 ч и отказы приборов третьей группы - закону Вейбулла
с параметрами Л0 - 0,1 -10—4 1/ч и k —1,5. Требуется определить вероятность
безотказной работы изделия в течение времени t - 500 часов.

Решение. Найдем вероятность безотказной работы каждой группы
приборов за время t - 500 часов.

Д(500) - e^-Лt - e^-0,2'¹⁰-3 '⁵⁰⁰ - 0,905;

t² (500)²

—

P₂(500) - e ²& - e ²'⁽¹⁰⁰⁰⁾ - 0,883;

P₃(500) - e-^Л0tk - e^-0,1'¹⁰-4-⁵⁰0^1,5 - 0,895.

PC(500) - P1 (500) - P2(500) - P₃ (500) - 0,716.

• 2.3. Задачи

В настоящем разделе приведены задачи на расчет показателей
надежности невосстанавливаемых изделий при основном соединении
элементов. Эти задачи легко решать, используя типовые примеры,
рассмотренные в разделе 2.2.

• 2.1. Аппаратура состоит из 2000 элементов, интенсивность отказов
  которых Л - 0,33 -10^-5 1/ч. Необходимо определить вероятность безотказной
  работы аппаратуры в течение времени t - 200 часов и среднюю наработку до
  первого отказа. Для элементов справедлив экспоненциальный закон
  надежности.

Ответ: PA(200) - 0,27; TO.A -151,5 ч.

• 2.2. Система управления состоит из 6000 элементов, интенсивность
  отказов которых Л - 0,16 -10^-6 1/ч. Необходимо определить вероятность
  безотказной работы в течение времени t = 50 часов и среднюю наработку до
  первого отказа. Для элементов справедлив экспоненциальный закон
  надежности.

Ответ: PC(50) = 0,953; TO.C = 1040 ч.

• 2.3. Невосстанавливаемая в процессе работы радиоаппаратура
  сантиметрового диапазона состоит из 1000 элементов. Требующееся время
  непрерывной работы t = 200 часов. Определить вероятность безотказной
  работы и среднюю наработку до первого отказа, если Л = const = 0,1 -10-5 1/ч.
  Ответ: PA (200) = 0,82; TO.A = 1000 ч.
• 2.4. Прибор состоит из N = 5 узлов. Надежность узлов характеризуется
  вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая равна:
  Р1( t) = 0,98, p 2( t) = 0,99, p з( t) = 0,998; p 4( t) = 0,975; p 5( t) = 0,985.
  Необходимо определить вероятность безотказной работы прибора.

Ответ: Рпр (t) = 0,93.

• 2.5. Изделие включает четыре устройства, надежность которых
  характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t,
  равной: p1(t) = 0,94, p₂(t) = 0,95, pз(t) = 0,97; p₄(t) = 0,945. Необходимо
  определить вероятность безотказной работы изделия.

Ответ: Ризд (t) = 0,819.

• 2.6. Комплекс состоит из N = 3 систем. Надежность отдельных систем
  характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t,
  которая равна: p1( t) = 0,78, p ₂( t) = 0,93, p з( t) = 0,82. Необходимо
  определить вероятность безотказной работы комплекса.

Ответ: PK (t) = 0,595.

• 2.7. – 2.9. Изделие состоит из N групп приборов. Отказы первой
  группы подчинены экспоненциальному закону надежности с интенсивностью
  отказов Л. Отказы приборов второй группы - закону Релея с параметром а и
  отказы приборов третьей группы - закону Вейбулла с параметрами Лд и k.
  Требуется определить вероятность безотказной работы изделия в течение
  времени t.

Исходные данные для решения задач и ответы приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2. Исходные данные и ответы к задачам 2.7 – 2.9

2.10. – 2.12. Система состоит из N блоков, средняя наработка до
первого отказа которых равна T_o.i . Для блоков справедлив экспоненциальный
закон надежности. Требуется определить среднюю наработку до первого
отказа системы.

Исходные данные для решения задач и ответы приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3. Исходные данные и ответы к задачам 2.10 – 2.12

2.13 – 2.15. Система состоит из N блоков. Вероятность безотказной
работы каждого блока в течение времени t равна p_i (t) . Для блоков

справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить
среднюю наработку до первого отказа системы.

Исходные данные для решения задач и ответы приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4. Исходные данные и ответы к задачам 2.13 – 2.15

2.16 – 2.18. Система состоит из N элементов. Вероятность безотказной
работы одного элемента в течение времени t равнаp(t) . Требуется

определить вероятность безотказной работы системы.

Исходные данные для решения задач и ответы приведены в табл. 2.5.

Таблица 2.5. Исходные данные и ответы к задачам 2.16 – 2.18

2.19 – 2.21. Вероятность безотказной работы системы в течение

времени t равна P_C (t). Система состоит из N равнонадежных элементов.

Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента.

Исходные данные для решения задач и ответы приведены в табл. 2.6.

Таблица 2.6. Исходные данные и ответы к задачам 2.16 – 2.18

2.22 – 2.24. В изделии могут быть использованы только те элементы,
интенсивность отказов которых равна А. Изделие имеет число элементов N.
Требуется определить среднюю наработку до первого отказа и вероятность
безотказной работы в конце первого часа.

Исходные данные для решения задач и ответы приведены в табл.2.7.

Таблица 2.7. Исходные данные и ответы к задачам 2.16 – 2.18

• 2.25. Система состоит из трех устройств. Вероятность безотказной
  работы каждого устройства в течение времени t = 100 ч равна: Р1(100) = 0,95;
  Р₂(100) = 0,96; Р3(100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон

надежности. Определить среднюю наработку до первого отказа системы.
Ответ: Toc = 1223,2 ч.

• 2.26. Система состоит из двух устройств. Вероятность безотказной
  работы каждого устройства в течение времени t = 100 ч равна Р1(100) = 0,9;
  Р2(100) = 0,8. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Определить
  вероятность безотказной работы системы за 200 ч работы.

Ответ: Р_с(200) = 0,52.

• 2.27. Комплекс состоит из трех систем. Известны вероятности
  безотказной работы каждой системы в течение 50 ч, которые равны:
  Р1(50) = 0,7, Р2(50) = 0,8, Р₃(50) = 0,9, Справедлив экспоненциальный закон
  надежности. Определить вероятность безотказной работы комплекса в
  течение 100 ч и среднее время наработки до отказа.

Ответ: Р_с(100) = 0,247, TO.C = 72,97 ч.

• 2.28. Система состоит из трех приборов A, B, и С, причем отказ любого
  прибора ведет к отказу системы. На испытание было поставлено 100
  приборов каждого типа. За 100 часов работы приборы типа A отказали 10
  шт., приборы B – 20 шт. и приборы С – 50 шт. Определить наработку до

отказа системы в целом, если для приборов каждого типа справедлив
экспоненциальный закон надежности.

Ответ: Toc = 101 ч.

• 2.29. Система состоит из 100 элементов с одинаковой интенсивностью
  отказов. Вероятность отказа системы в течение 50 ч Q (50) = 0,2. Справедлив
  экспоненциальный закон надежности. Определить наработку до первого
  отказа одного элемента системы.

Ответ: То = 22410 ч

• 2.30. Система состоит из двух блоков, средняя наработка до первого
  отказа которых равна То1 = 200 ч; То2 = 40 ч. Для блоков справедлив
  экспоненциальный закон надежности. Определить вероятность отказа
  системы за 10 часов работы.

Ответ: Q(10) = 0,259

• 2.31. Система состоит из трех блоков, средняя наработка до первого
  отказа которых равна TO1 = 160 ч; То2 = 320 ч; То₃ = 600 ч. Для блоков
  справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить
  вероятность безотказной работы системы за 100 часов работы.

Ответ: Pc (100) = 0,333

• 2.32. Система управления состоит из 6000 приборов с одинаковой
  интенсивностью отказов. Средняя наработка до отказа системы управления
  Т₀. с = 600 ч. Требуется рассчитать вероятность отказа одного прибора за 10
  часов непрерывной работы. Справедлив экспоненциальный закон
  надежности.

Ответ: q(10) = 0,3-10-⁵

• 2.33. Система состоит из n одинаковых элементов. Средняя наработка
  до первого отказа одного элемента То = 1000 ч. Известно, что вероятность
  отказа системы в течение 100 ч Q (100) = 0,4. Справедлив экспоненциальный
  закон надежности. Требуется определить число элементов.

Ответ: n=5

• 2.34. Схема расчета надежности устройства приведена на рис.2.2.
  Интенсивность отказов элементов имеют следующие значения: 21 = 0,5 -10^-3

1/ч, λ₂ = 0,3 ⋅ 10^-3 1/ч, λ₃ = 0,8 ⋅ 10^-3 1/ч. Закон надежности считаем
экспоненциальным. Найти среднюю наработку до первого отказа устройства.

λ3

Рисунок 2.2. Схема расчета надежности (к задаче 2.34).

Ответ: T_O.C = 625 ч

• 2.35. – 2.40. Необходимо выполнить ориентировочный расчет
  показателей надежности системы, состоящей из N элементов различного
  типа. Требуется вычислить вероятность безотказной работы системы в
  течение времени t и среднюю наработку до первого отказа T_O .

Расчет следует выполнить по данным о надежности элементов,

приведенным в приложении 2.

Исходные данные для решения задачи приведены в табл.2.8.

Таблица 2.8. Исходные данные к задачам 2.35 – 2.40

Ответ: Результаты расчетов приведены в табл. 2.9.

Таблица 2.9. Результаты расчетов к задачам 2.35 -2.40

• 2.41. Средняя наработка прибора до отказа равна То = 10000 ч. Для
  прибора справедлив экспоненциальный закон надежности. Найти время
  работы прибора t, если вероятность безотказной работы P(t) = 0,9.

Ответ: t = 1050 ч

• 2.42. Средняя наработка до отказа изделия То = 1000 ч. Найти частоту
  отказа изделия для момента времени равного средней наработке до отказа,
  если интенсивность отказа постоянна.

Ответ: «(1000) = 0,37 -10-³ 1/ч

• 2.43. Вероятность безотказной работы изделия за время t = 200 ч равна
  P(200) = 0,98. Определить вероятность отказа изделия за 100 и 300 часов
  работы, если интенсивность отказов постоянна.

Ответ: Q (100) = 0,01, Q (300) = 0,03

• 2.44. Наработка изделия до отказа подчиняется закону распределения
  Вейбулла с параметрами й^ = 0,1 -10-5 1/ч, k = 2. Определить вероятность
  безотказной работы изделия за 200 часов работы.

Ответ: P (200) = 0,96,

• 2.45. Наработка изделия до отказа подчиняется закону распределения
  Вейбулла с параметрами ^ = 0,2 -10^-3 1/ч, к = 0,5. Определить время работы
  изделия t, если вероятность безотказной работы P(t) = 0,9.

Ответ: t = 22,95 ч

• 2.46. – 2.50. Система состоит из n последовательно соединенных
  элементов. Вероятность безотказной работы в течение времени t ч равна
  P_C (t) . Определить интенсивность отказов одного элемента.

Исходные данные для решения задачи и ответы приведены в табл.2.10
Таблица 2.10. Исходные данные и ответы к задачам 2.50 -2.55.

• 3. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ
  НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ

• 3.1. Методы расчета

Резервирование применение дополнительных средств и (или)
возможностей с целью сохранения работоспособного состояния изделия при
отказе одного или нескольких его элементов.

В этом случае отказ наступает только после отказа основных и всех
резервных элементов. При этом возможно резервирование на уровне всей
системы в целом (общее резервирование) или на уровне отдельных ее
элементов (раздельное резервирование).

На практике применяются способы резервирования, приведенные на
рис. 3.1. Схемные реализации различных способов резервирования показаны
на рис. 3.2.

Рисунок 3.1. Способы резервирования

Общее резервирование - резервирование, при котором резервируемым
элементом является все изделие в целом (рис.3.2,а). Раздельное
резервирование — резервирование, при котором резервируемыми являются
отдельные элементы изделия или их группы (рис.3.2,б).

Основным параметром резервирования является его кратность.
Кратность резерва - отношение числа резервных элементов изделия к числу

резервируемых ими основных элементов изделия, выраженное
несокращенной дробью.

В зависимости от кратности резервирование подразделяется на
резервирование с целой и дробной кратностью. Схемные обозначения обоих
видов резервирования при постоянном включении резерва одинаковы. Для

их различия на схеме указывается кратность резервирования m.

При резервировании с целой кратностью величина m есть целое число,
при резервировании с дробной кратностью – дробное несокращаемое число.

2

1

1

2

n

n

a)

б)

2

1

2

n

n

2

n

е)

k

m = —

n

1

г)

в)

к

n - k
m=---

k

д)

Рисунок 3.2. Схемные реализации различных способов резервирования
а) общее постоянное с целой кратностью; б) раздельное постоянное с
целой кратностью; в) общее замещением с целой кратностью; г)
раздельное замещением с целой кратностью; д) общее постоянное с
дробной кратностью; е) раздельное замещением с дробной кратностью.

4

Например, m = — означает наличие резервирования с дробной кратностью,

при котором число резервных элементов равно четырем, число основных –
двум, а общее число элементов – шести. Сокращать дробь нельзя, так как
4

если m = — = 2, то это означает, что имеет место резервирование с целой
кратностью, при котором число резервных элементов равно двум, а общее
число элементов равно трем.

По способу включения резервирование разделяется на постоянное и
резервирование замещением. Постоянное резервирование – резервирование
без перестройки структуры изделия при возникновении отказа его
элемента. Резервированием замещением – резервирование, при котором
функции основного элемента передаются резервному только после отказа

основного элемента.

При включении резерва по способу замещения резервные элементы до
момента включения в работу могут находиться в трех состояниях:

• - нагруженном;
• - облегченном;
• - ненагруженном.

Приведем основные расчетные формулы для указанных выше видов

резервирования.

• 1. Общее резервирование с постоянно включенным резервом и целой
  кратностью (рис.3.2,а):

Pc( t) = 1 -

-| m+1

n

1-П Pi( t)

i=1 _

^,

(3.1)

где p_i (t) - вероятность безотказной работы i-го элемента в течение времени
t; n – число элементов основной системы или любой из резервных систем; m
– кратность резервирования (число резервных цепей).

При экспоненциальном законе распределения надежности, когда

Pi⁽t ) = e'"t,

PC (t) = 1 - (1 - e^- ^)^m+1, (3.2)

mm

TO.C = _T Z 7-7 = TO Z 7-7,
^oi=0 i + ¹ i=0 i + ¹

(3.3)

(3.4)

1 c (t) =

1 o (m + 1)e - ¹ ot (1 - e ~ ¹ ot m

1 -(1 - e-¹ ot m⁺1
n

где A_o = ^ Ai - интенсивность отказов основной системы или любой из
i=1

резервных систем; T_O - среднее время наработки до первого отказа основной
системы или любой из резервных систем.

При резервировании неравнонадежных изделий

mm

Pc(t) = 1 - п qi (t) = 1 - П [1 - Pi (t)], (3.5)

i=0 i=0

где q_i(t), p_i (t) - вероятность отказов и вероятность безотказной работы i-го
изделия в течение времени t соответственно.

• 2. Раздельное резервирование с постоянно включенным резервом и
  целой кратностью (рис.3.2,б):

ⁿ

Pc (t) = П {1 - [1 - Pi( t)] mi }, (3.6)

i=1

где p_i (t) - вероятность безотказной работы i-го элемента в течение времени
t; m_i - кратность резервирования i-го элемента; n – число элементов основной
системы.

При экспоненциальном законе распределения надежности, когда
Pi (t) = e ,

ⁿ

Pc (t) = П{1 - [1 - e^-Ai" ] mi⁺¹}. (3.7)

i=1

При равнонадежных элементах и одинаковой кратности

резервирования

Pc^(t ) = ^{1 -(1} - ^{e 1} tm

т - fp^-^ m ¹

^TO.C = J PC^(t)dt = ,л1

0 ^A(m + 1) i=o vi⁽vi + 1⁾...⁽vi + n ^- 1)

^AC ^(t ) =

n (m + 1)Ae^{- At} (1 - e ~ ^At m
1 -(1 - e ’^At m⁺1

(3.8)

(3.9)

(3.10)

i +1

где Л - интенсивность отказа одного элемента системы; v =----
m +1

.

• 3. Общее резервирование замещением с целой кратностью (рис.3.2,в):

При экспоненциальном законе надежности и ненагруженном состоянии
резерва

Pc (t ) = e - ^Л f &£,
i=0 i!

TO.C = m^¹ =( m + 1)T₀,
^Ло

I ^Ло ^W>t)m

^{Л (t} )= mU^i

m!Y WL

i'

i=0

(3.11)

(3.12)

(3.13)

где Л_о, To - интенсивность отказа и средняя наработка до первого отказа

основной (нерезервированной) системы.

При экспоненциальном законе надежности и облегченном состоянии
резерва

Pc (t) = e - ^wt

m_a

¹⁺ f 7^{(1 -} e
i=1 i!

. - wit

^,

(3.14)

^m

TOC = _T f —7,
Л_о i=ol + ik

(3.15)

i-1 ( 1 \

где ai = П j⁺у ;
j=0k ^Л1 J

k = i; Л

Ло ¹

интенсивность отказов резервного

устройства до замещения.

При нагруженном состоянии резерва формулы для P_C (t) и T_O.C
совпадают с (3.2) и (3.3) соответственно.

• 4. Раздельное резервирование замещением с целой кратностью

(рис.3.2,г):

n

Pc (t )=n Pi(t) (3.16)

i=1

где P_i (t) - вероятность безотказной работы системы из-за отказов элементов
i-го типа, резервированных по способу замещения. Вычисляется P_i (t) по
формулам общего резервирования замещением [формулы (3.11), (3.14)].

При равной надежности всех элементов:

Pc (t ) = e - 'ot

^к C ^(t ) =

m (Mi.

^E i

к o (кt) m

m

m! E

i=0

(Mm
i!

^,

(3.17)

(3.18)

• 5. Общее резервирование с дробной кратностью и постоянно
  включенным резервом (рис.3.2,д):

n - k

Pc (t) = E CP—i (t)' [1 — P (t )]i, (3.19)

i=0

где P (t) - вероятность безотказной работы основной или любой из резервных

систем; n – общее число элементов расчета резервированного соединения, k –

число элементов необходимое для нормальной работы, n - к - число

резервных элементов. Кратность резервирования m =

n - к n!

----, Ci =--------
k ⁿ i!(n - i)!

число комбинаций из n элементов по i.

При экспоненциальном законе распределения функции надежности

PC(t)= E'^Cin-^-kn^-i)t (1 - e-^t) ,
i=0

__ i n - к i

^TO.C = _? E

к i=0 ^к + I

(3.20)

(3.21)

.

• 6. Раздельное резервирование замещением с дробной кратностью
  (скользящее резервирование) (рис.3.2,е):

Pc(t) = e-"ot E^ (3.22)

i=0 ^i!

Этот вид резервирования применяется, если все элементы системы
выполняют одинаковые функции. Основная система имеет n элементов, а k
k
элементов находятся в холодном резерве. Кратность резервирования m = —.
n

Надежность данной системы равна надежности системы с общим
резервированием с замещением, но в то же время имеет в n раз меньше

резервных элементов. Однако переключающие устройства при этом
усложняются.

Вероятность безотказной работы резервированной системы можно
вычислить, суммируя вероятности всех благоприятных гипотез, т.е.
k

Pc (t) = Z Pj( t), (3.23)

J=1

где p _j (t) - вероятность j-й благоприятной гипотезы, k – число

благоприятных гипотез.

При расчете показателей надежности дискретных устройств
управления требуется учитывать характер возникающих в них
неисправностей (например, в безопасных системах). Поэтому в таких
устройствах отдельно подсчитывается вероятность отсутствия ложного
сигнала «0» - Po(t) и вероятность отсутствия ложного сигнала «1» - Д(t). На
рис.3.3 показана избыточная структура, содержащая n идентичных каналов
передачи информации.

Рис.3.3 Избыточная структура

Число n называется избыточностью структуры. На входы каналов
поступают двоичные переменные xi...xn. Выходы каналов подключены к
входам одного восстанавливающего органа (ВО). Такая структура называется
(n,1) - структурой. Если все элементы структуры исправны, то сигналы yi на
выходах каналов равны и на выходе восстанавливающего органа
формируется сигнал

• У1 + У2 + ••• + Уп = У.

Если в одном или нескольких каналах возникает неисправность, то на
выходах появляются ошибки типа 0 ^ 1 или 1 ^ 0. Восстанавливающий
орган корректирует (исправляет) определенное число ошибочных сигналов
y_i и реализует в этом случае некоторую пороговую функцию:

y = Mnd = f (У1, y 2- y_n) =

1, апёе fy

i=1

0, апёе Xy/

i =1

- d > 0,

— d < 0,

3.24

где n - избыточность (число входов восстанавливающего органа), y_i -
значение логической переменной, d - порог восстанавливающего органа.

_Q , n +1 _ _ _ ~ _

При нечетном n, если порог d = — восстанавливающий орган

реализует мажоритарную логическую функцию.

При расчете показателей надежности (n ,1) - структур (рис.3.3) будем

предполагать, что ВО абсолютно надежен и известны pо(t) - вероятность
отсутствия в каналах ошибки типа 1 ^ 0 и Р1(t) - вероятность отсутствия в
каналах ошибки типа 0 ^ 1. Тогда вероятности отсутствия ложных сигналов
«0» и «1» можно определить по формулам:

/Дt) = Cd ■ (1 — p0(t))^n—d + Cn⁺¹ ■ (p0(t))^d+1 • (1 — p0(t))^n—(d+1) + -+Cn ■ (p0(t))n =
n

= Xcn ■ (p0(t))' ■ (1 — p0(t))n^—‘ 3.25

i=d

P1(t) = Cn^—(d—11 ■ (p1(t))^n—(d ^—" ■ (1 — p1(t))d^—1 + Cn^—(d—2) ■ (p1(t))^n—(d—2) ■ (1 - p1(t))d^—2 +
n

+... + Cn ■ (p1(t))n = X Cn ■ (p1(t))i ■ (1 — p1(t))n-i 3.26

i=n—(d—1)

Часто для расчетов удобнее пользоваться выражениями для
вероятности отказов ^0, Q1. Эти выражения получают по аналогии с
формулами (3.25) и (3.26):
n

Q(t) = XCn ■ (q0(t))i ■ (1—q0(t))^n—‘ 3.27

i=n—(d—1)

n

Q1(t) = X Cn ■ (q1(t))' ■ (1—q1(t))^{n —} ‘ 3.28

i=d

Реально надежность (n ,1) - структур зависит от надежности ВО. Так
как ВО является последним сравнивающим элементом структуры, то
надежность (n ,1) - структуры в целом не может быть выше надежности ВО.

В приложении 3 приведены выражения для расчета показателей
надежности некоторых ( n,1 ) - структур.

• 3.2. Типовые примеры и их решения

Пример 3.1. Дана система, схема расчета показателей надежности
которой изображена на рис.3.4. Необходимо найти вероятность безотказной
работы системы при известных вероятностях безотказной работы ее
элементов (значения вероятностей указаны на рисунке).

а б вг

Рисунок 3.4. Схема расчета показателей надежности (к примеру 3.1).

Решение. Из рисунка 3.4 видно, что система состоит из двух (I и II)
неравнонадежных устройств.

Устройство I состоит из четырех узлов:

а – дублированного узла с постоянно включенным резервом, причем
каждая часть узла состоит из трех последовательно соединенных (в смысле
надежности) элементов;

б – дублированного узла по способу замещения;

в – узла с одним нерезервированным элементом;

1

• г – резервированного узла с кратностью резервирования m = .

Устройство II представляет собой нерезервированное устройство,
надежность которого известна.

Так как оба устройства неравнонадежны, то на основании формулы
(3.5) имеем

m

PC(t)=1-∏(1-pi(t))=1-[1-pI(t)]⋅[1-pII(t)].

i=0

Найдем вероятность pI (t). Вероятность безотказной работы
устройства I равна произведению безотказной работы всех узлов, т.е.
Pl⁽t) = Ра ⁽t) • Рб ⁽t) • Рв ⁽t) • Рг ⁽t) .

В узле а число элементов основной и резервной цепи n = 3, а кратность
резервирования m = 1, тогда на основании формулы (3.1), имеем

Ра ⁽t) = ¹ -

3

^{1 -}П Pi⁽t)
i=1

2

= 1 - (1 - 0.9³]² = 0.93.

В узле б кратность общего резервирования замещением m = 1, тогда на
основании формулы (3.11) имеем

рб (t) = e -^A-t ]m ("t)- = e -^A-t (1 + A-1) = 0.9 • (1 + 0,1) = 0.99.
i=0 i!

В узле г применено резервирование с дробной кратностью. В этом
случае число основных и резервных систем n = 3, число систем,
необходимых для нормальной работы k = 2. Тогда на основании формулы
(3.19)

п ^_ к 1-5

Рг(t) = XC'nPn-¹ (t)-[1 -р(t)]' = Xс3р '(t)■ [1 -р(t)]i = 3p²(t)-2p³(t) =0,972
i=0 i=0

Вероятность безотказной работы устройства I будет

Pi (t) = Ра (t) - Рб (t) - Рв (t) ■ р_г (t) = 0,93 ■ 0,99 - 0,97 ■ 0,972 = 0,868.

Тогда вероятность безотказной работы резервированной системы будет

m

Pc (t) = 1 -П (1 - Pi (t)) = 1 - [1 - Pi (t)] ■ [1 - Pii (t)] = 1 - (1 - 0,868)(1 - 0,9) = 0,987.
i=0

Пример 3.2. Вероятность безотказной работы преобразователя
постоянного тока в переменный в течение t = 1000 ч равна 0,95. Для
повышения надежности системы электроснабжения на объекте имеется такой
же преобразователь, который включается в работу при отказе первого.
Требуется рассчитать вероятность безотказной работы и среднюю наработку
до первого отказа системы, состоящей из двух преобразователей.

Решение. В данном случае имеет место общее резервирование
замещением кратности m=1. Для расчета вероятности безотказной работы
воспользуемся формулой (3.11):

Pc (t) = e- Xm ^ = e" "0t (1 + A_ot).

i=0 i^!

По условию задачи вероятность безотказной работы основной системы
P_O (1000) = e-^Aot = 0,95, тогда A_ot = ln0,95 = 0,05. Подставив эти значения в
формулу, получим:

PC (1000) = 0,95(1 + 0,05) = 0,9975.

Среднюю наработку до первого отказа системы рассчитаем по формуле
(3.12):

Tо.C — (m + 1)To = 2To .

Так как в течение времени t = 1000 ч Aot = 0,05, то

А_о = ^“5 = 0’^5 = 0,5 -10-4 (1/ч), а средняя наработка до первого отказа

11

нерезервированного преобразователя То = — =-----
А_о 0,5 -10

—

_т = 20000 (ч).

Тогда средняя наработка до первого отказа резервированной системы

То. C = 2То = 40000 (ч).

Пример 3.3. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, средняя
наработка до первого отказа элемента То = 1000 ч. Предполагается, что
справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и
основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднюю
наработку до первого отказа Т_{о с} системы, а также частоту отказов ас (t) и
интенсивность отказов Ас (t) в момент времени t = 50 ч в следующих

случаях:

• 1) нерезервированной системы;
• 2) дублированной системы при постоянно включенном резерве;
• 3) дублированной системы при включении резерва по способу замещения.

Решение. По условию задачи справедлив экспоненциальный закон
надежности для элементов, поэтому средняя наработка до отказа основной

системы

1 1 1 TO 1000

То о — То 1 — — — — — —100 (ч).

• O. O 0^.1 А_о 10, 10 - А 10 10

I ^Ai
i—1

Тогда на основании формулы (3.3) для средней наработки до первого
отказа при постоянно включенной одной резервной системе имеем

m₁

TO.C = TO.2 = TO.O I . = TO.O

i=0 i ^{+ 1}

\

1 + ' ] = 150 (ч).

² 7

При дублировании системы по методу замещения
TO. C — TO .3 — To . o (m +1) — 2То O — 200 (ч).

В случае нерезервированной системы интенсивность отказов не
зависит от времени и равна сумме интенсивностей отказов элементов.

Найдем интенсивность и частоту отказов системы в момент времени
t = 50 ч для случая 1:

10 10 1 1

А(50) = 2 2-=2 = ^ = 0,01 (1/ч).

i=1 i=1 TO. i TO. O

«1(50) = 21(50) • P (50) = 21(50) • e -²¹⁽⁵°⁾•⁵° = 0,01 • e ■°^,°¹•⁵° = 6-10^-3 (1/ч).

В случае дублированной системы интенсивность и частота отказов
могут быть найдены по известной вероятности безотказной работы системы.
В рассматриваемом случае число элементов нерезервированной системы
n = 10, кратность резервирования m = 1. Тогда на основании формул (3.2) и
(3.11) имеем

P2 (t) = 1 - (1 - e^-2ot)^m+1 = 2e~²ot - e~²²ot,

P3 (t) = e² 2⁽²⁾- = e-² (1 + 2₀t)
i=0 ^i!

Найдем интенсивность и частоту отказов для случаев 2 и 3:

«2 (t) = — Pt) = 22₀e -²⁰ (1 - e ^{- 201}),
dt

1 M = O(t) 22„e -^2ot (1 - e ) 22_O (1 - e²)

• ² P₂(t) 2e “² - e “²²-‘ 2 - e “²ot ’

a₃ (t) = -Pt) = 22 • t • e²,

• ³ dt ’

_{л (t} =} a3(t) ₌ 2 ■ t • e~² 22 ■ t

• ³ P>(t) e-²ot (1 + 2₀t) 1 + 2₀t'

Подставляя в полученные выражения исходные данные, будем иметь:

a ₂(50) = 4,8 •Ю^-3 (1/ч); 22(50) = 5,7 •Ю^-3 (1/ч);

a₃(50) = 3 • 10^-3 (1/ч); 2₃(50) = 3,3 3 40^-3 (1/ч);

Пример 3.4. Для повышения надежности усилителя все его элементы
дублированы. Предполагается, что все элементы подвержены лишь одному
виду отказов и последствия отказов отсутствуют. Необходимо найти
вероятность безотказной работы усилителя в течение t = 5000 ч. Состав

элементов нерезервированного усилителя и данные о интенсивности отказов
его элементов приведены в табл.3.1.

Таблица 3.1. Данные о интенсивности отказов элементов ( к примеру 3.4)

Решение. В данном случае имеет место раздельное резервирование с
кратностью m = 1, число элементов нерезервированной системы n = 11.
Тогда используя данные табл.3.1, на основании формулы (3.7) получим:

PC (5000) = П {1 - [1 — e^-Ai '⁵⁰⁰° ]2}.

i=1

Так как Ai << 1, то для приближенного вычисления показательную
функцию можно разложить в ряд и ограничиться первыми двумя членами
разложения 1 - e - ^Ai"⁵°°° = 5000А_г-. Тогда

11 11 11

PC (5000) = П{1 — [1 — 5000A_i ]²} = 1 -^ (5000A)² = 1 - 5000² ^ A² = 0,985
i=1 i=1 i=1

Пример 3.5. Схема расчета показателей надежности устройства

приведена на рис.3.5:

Рисунок 3.5. Схема расчета показателей надежности (к примеру 3.5).

Предполагается, что последствие отказов отсутствует и все элементы
расчета равнонадежны. Интенсивность отказа элементов А = 1,35 • 10^-31/ч.
Требуется определить наработку до первого отказа резервированной
системы.

Решение. В данном случае имеет место раздельное резервирование
равнонадежных устройств с постоянно включенным резервом. Число
элементов нерезервированной системы n=2, кратность резервирования m=1.
Для вычисления средней наработки до первого отказа воспользуемся
формулой (3.9):

_т (n -1)! Л 1 = 1 f 1 .

O^.C Л(m + 1)“0 v, (v, + 1)...⁽ v, + n - 1) 2Л=о v (v^ 1)

Так как

i +1 i +1
m + 1. = T^,

то v₀ =

1

2^{, V}1 = 1 ’

Тогда

T 14 1

TO C = 22 3 ⁺ 2

1

11

122

11

12 -1,35 -10^-3

= 680 (ч)

Пример 3.6. Схема расчета показателей надежности приведена на
рис.3.6. Интенсивности отказов элементов имеют следующие значения:
21 = 0,23-10^-3 1/ч: 22 = 0,5-10^-4 1/ч: 2₃ = 0,4-10^-3 1/ч. Предполагаем, что

последствие отказов элементов отсутствует. Необходимо найти среднюю

наработку до первого отказа устройства.

Рисунок 3.6. Схема расчета показателей надежности (к примеру 3.6).

Решение. Готовой формулы для средней наработки до первого отказа в
рассматриваемом случае нет. Поэтому необходимо воспользоваться

соотношением:

Tc Ч Pc (')dt ■

0

Найдем выражение для вероятности безотказной работы устройства.

Очевидно P_C (t) = pI (t) - pI (t) - р_ш (t), где

Pi (t) = 1 - [1 - p,( t )]² = 2 _A( t) - p2( t);

Piii (t) = 1 - [1 - p з( t )]² = 2 p з (t) - p 2 (t) ■

Тогда, подставляя значения pI (t) и pIII (t) в выражение для Pc (t),
получим

Pc (t) = [2 P1 (t) - p² (t)] - p 2 (t) - [2 p з (t) - p з² (t)] =

• ⁴ P1⁽ t ) P 2 ⁽ t ) P 3 ⁽ t ) ^{- 2} P 3 ⁽ t ) P 2 ⁽ t ) P1⁽ t ) ^{- 2} P12 ⁽ t ) P 2 ⁽ t ) P 3 ⁽ t ) ⁺ P12 ⁽ t ) P 2 ⁽ * ) P 32 ⁽ t )

Так как p₁ (t) = e ²¹ t; p₂ (t) = e ²2 t; p3 (t) = e ²³ t, то

p (t) = 4e^-(2i^{+ 2}2^{+ 2}з)t - 2e^-(22з^{+ 2}2^{+ 2}i)t - 2e^_(22i^{+ 2}2^{+ 2}з)t + e^-(22i^{+ 2}2^{+ 22}3)t

•

To. C

^

= J PC (t) dt =

0

4

2₁ + 22 + 23

2 2

—

22 + 22 + 2₁ 22₁ + 22 + 2

1

+--.

22₁ + 22 + 223

Подставляя в выражение для T_{o с} значение интенсивностей отказов из

условия задачи, получаем

To. с =

4 2 2

+

10-3(0,23 + 0,05 + 0,4) 10^-3(0,8 + 0,05 + 0,23) 10^-3(0,46 + 0,05 + 0,4)

---з------¹-----------= 2590 (ч)
10^-3(0,46 + 0,05 + 0,8)

Пример 3.7. Система имеет кратность общего резервирования m=5.
Основная нерезервированная система содержит четыре равнонадежных
элемента с логически последовательным соединением. Интенсивность отказа
одного элемента 2 = 0,2 -10^-3 (1/ч). Определить характеристики надежности
системы за 1000 ч работы.

Решение. Определим интенсивность отказов основной системы по
формуле:

2o = n • 2 = 42 = 4 • 0,2-10^-3 = 0,8-10^-3 (1/ч).

Вероятность безотказной работы системы определим по формуле (3.2):
PC (t) = 1 - (1 - e^{- 2}ot) m⁺¹ = 1 - (1 - e -^0,8 )6 = 0,972.

Среднее время наработки до первого отказа и интенсивность отказов

системы соответственно равны

^m

Toc = у Z 2

²o i=0 i ^{+ 1}

1

0,8 •Ю"³

(

1 +

k

11111Л

-+-+-+-+-

2 3 4 5 6 J

= 3062

(ч).

2 C (t) =

2 _o (m + 1)e "² ot (1 - e ~ ² ot m
1 -(1 - e'² ot m⁺1

0,8 •^10-3 •⁶ e ~ 71 -^e"^0,8)5 = 0.11 -10-3

1 - (1 - e "°,⁸)⁶

Пример 3.8. Вычислительная система построена из 500 однотипных

блоков с интенсивностью отказа 2 = 0,3 -10 ⁶ 1/ч. В скользящем холодном

резерве находятся пять таких же блоков, которые могут заменить любой из
отказавших блоков. Определить показатели надежности системы за 10000
часов работы.

Решение. Определим показатели надежности системы, используя
формулы

Pc (t ) = e~^Aot f
i=0 ^i!

Ac (t )= ^Ao (Aot) _v

-zA"
i=0 ^i!

To c= m+1 = ( m + 1}TO

O.C O

^Ao

Определим интенсивность отказов основной системы за время
t = 10000 ч.

Aot = nAt = 0,3 -10

Тогда

—I

⁶ • 500 • 10000 = 1,5.

PC (10000) = e^—1,5

1+1,5+o!+( + ol+

2! 3! 4! 5!

= 0,2231 • 4,4617 = 0,9954

A = ^{1,5 -10} (1,5) = 0,21^10-⁶ (i/ч)

C 5!-4,4617

Toc = 5 ⁺¹ ₄ = 40000 (ч).

1,5 -10-⁴

—

Пример 3.9. Для повышения точности измерения некоторой величины
применена схема группирования приборов из пяти по три, т.е. результат
измерения считается верным по показанию среднего (третьего) прибора.
Требуется найти вероятность и среднее время наработки до первого отказа
такой системы, если интенсивность отказов каждого прибора A = 0,4 -10-³
1/ч, последствие отказов отсутствует, а время, в течение которого система
измерения должна быть исправна, t = 500 ч.

Решение. Решим эту задачу двумя способами.

Способ 1. В данном случае измерительная система отказывает в том
случае, если откажут из приборов три и более, т.е. имеет место общее
резервирование дробной кратности, когда общее число приборов n = 5, число
приборов, необходимых для нормальной работы k = 3, а кратность

2

резервирования m = —

.

Используя формулу (3.19), получим

n - k 2 с

Pc (t) = Z C'nPn ^- i (t) • [1 — P (t )]i = Z C5p⁵—' (t)' [1 — P (t )]i = 6 P ⁵( t) —15 p ⁴( t) +10 p ³( t)
i=0 i=0

Так как вероятность безотказной работы одного прибора в течение времени

t = 500 ч будет

p (500) = e -² = e "⁰’^4d0 -3 '⁵⁰⁰ = 0,82, то

P_C (500) = 6p⁵(t) -15p⁴(t) +10p³(t) = 15 • 0,82⁵ -15 • 0,82⁴ +10 • 0,82³ = 0,95.

Средняя наработка до первого отказа системы вычисляется по формуле
(3.21):

T = 1ⁿ-k 1 = 1|J_ = 1 (1 +1 +1V ⁴⁷

O.C Л ^Z0k + i 2^03 + i A3 4 5J 602

47

60 • 0,4 • 10^-3

= 1958 (ч)

Способ 2. Благоприятными ситуациями в рассматриваемом случае

являются следующие:

• 1) все пять приборов исправны, вероятность этой гипотезы p1( t) = p ⁵( t);
• 2) один любой прибор отказал, а остальные исправны; так как приборов пять
  и каждый может отказать с равной вероятностью, q = 1 - p, то
  p 2⁽ t) =⁵ qp⁴ =⁵ p^{4 - 5} p⁵;
• 3) два любых прибора из пяти отказали (таких ситуаций может быть
  C5 = 10), а остальные три исправны, вероятность такого события будет
  pз(t) = C5²q²p³ = ^ (1 - p)² p³ = 10p³ - 20p⁴ +10p⁵.

• 1 • 2

Вероятность безотказной работы измерительной системы на основании
(3.23) будет

Pc (t) = p1( t) + p ₂( t) + p 3( t) = 6 p ⁵( t) -15 p ⁴( t) +10 p³, что совпадает с
ответом, полученным при первом способе решения.

Средняя наработка до первого отказа вычисляется в данном случае
путем интегрирования Pc (t) по всей временной оси:

^ ^

To.с = J Pc (t) = J [6p ⁵(t) -15 p ⁴(t) +10p³ (t)]dt

0 0

TO .C

z z z

= 6 J e~^52tdt -15 J e-^42tdt +10 J e~^2tdt =

0 0 0

f 6

1⁵

15 10 Л

4 ⁺ 3 /

1

Л

47

602

что

совпадает с ответом, полученным при первом способе решения.

Пример 3.10. Система, представляющая мажоритарную (3,1) –

структуру, состоит из трех логически последовательно соединенных блоков,
которые образуют три вычислительных канала. Известны вероятности
отсутствия ложного сигнала «0» каждого из блоков, которые соответственно
равны: p 01 = 0,93, p02 = 0,95, p 03 = 0,98. Система считается

работоспособной, если работоспособны два ее канала. Найти вероятность
отсутствия ложного сигнала «0» системы в целом, если ВО абсолютно
надежный.

Решение. Вероятность отсутствия ложного нуля для (3,1) – структуры,
в которой логическая формула ВО (система голосования) M ₃² , равна:

p,( t) = 3 p 02( t) - 2 p 0( t).

Учитывая, что канал образуют три последовательно соединенных
элемента, получим окончательную формулу расчета вероятности отсутствия
ложного сигнала «0» системы:

P0.C ⁽t) = ³ • [p01⁽t) • p02 ⁽t) • p03 ⁽t^)]2 ^{- 2} • [p01⁽t) • p02 ⁽t) • p03 ⁽t^)]3 •

Подставив значения вероятностей отсутствия ложного сигнала «0»
каждого блока в выражение для P_0.C (t) получим:

P₀.C(t) = 3(0,93 • 0,95 • 0,98)2 - 2(0,93 • 0,95 • 0,98)3 = 0,9506

Пример 3.11. Система, представляющая мажоритарную (3,1) –

структуру, состоит из трех логически последовательно соединенных блоков,
которые образуют три канала передачи информации. Известны вероятности
отсутствия ложного сигнала «1» каждого из блоков, которые соответственно
равны: p11 = 0,95, p₁₂ = 0,96, p_n = 0,98. Система считается

работоспособной, если работоспособны два ее канала. Найти вероятность
отсутствия ложного сигнала «1» системы в целом, если вероятность
безотказной работы ВО равна p^ = 0,999.

Решение. Вероятность отсутствия ложной единицы для (3,1) –

структуры, в которой логическая формула ВО M ₃² , равна:

P( t) = 3 p2( t) - 2 p3( t).

Учитывая, что канал образуют три последовательно соединенных
элемента, а также последовательное соединение ВО, получим окончательную

формулу расчета вероятности отсутствия ложного сигнала «1» системы
Pi.с⁽t) = ^{3 • [P11 (t) • P12(t) • P13⁽t^)]2 - ² •[P11 (t) • P12⁽t) • P13⁽t)]^3} • Pai .

Подставив значения вероятностей отсутствия ложного сигнала «1»
каждого блока и значение вероятности безотказной работы ВО в выражение
для Pq. c (t) получим:

P₁.C(t) = {3(0,95 • 0,96 • 0,98)² - 2(0,95 • 0,96 • 0,98)³} • 0,999 = 0,9675

• 3.3. Задачи

• 3.1. Схема расчета показателей надежности приведена на рис.3.7.
  Необходимо найти вероятность безотказной работы изделия, если известны
  вероятности отказов элементов q₁ (t) = 0,05, q ₂ (t) = 0,1.

Рисунок 3.7. Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.1).

Ответ PC (t) = 0,997

• 3.2. Схема расчета показателей надежности показана на рис. 3.8.
  Вероятность безотказной работы элементов соответственно равна p₁( t) = 0,9,
  p ₂( t) = 0,8. Требуется определить вероятность безотказной работы и
  вероятность отказа изделия.

Рисунок 3.8. Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.2).
Ответ PC (t) = 0,991, QC (t) = 0,009

• 3.3. Схема расчета показателей надежности показана на рис. 3.9.
  Необходимо найти вероятность безотказной работы изделия по известным
  вероятностям отказов элементов q₁ (t) = 0,1, q ₂ (t) = 0,2.

Рисунок 3.9. Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.3).

Ответ Pc (t) = 0,95,

• 3.4. Схема расчета показателей надежности показана на рис. 3.10.
  Требуется определить вероятность безотказной работы устройства, если
  известны вероятности безотказной работы элементов p1 (t) = 0,9, p ₂ (t) = 0,8,
  p ₃( t) = 0,85, p 4( t) = 0,94.

p₁ p₂

^p3 ^p4

Рисунок 3.10. Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.4).
Ответ Pc (t) = 0,944,

• 3.5. Система состоит из двух приборов, соединенных параллельно. На
  испытание было поставлено 100 приборов типа А и 200 приборов типа В. За
  200 часов работы осталось работоспособными 80 приборов А и 150 приборов
  В. Определить среднюю наработку до первого отказа системы в целом, если
  для приборов каждого типа справедлив экспоненциальный закон.

Ответ Toc = 1200 ч.

• 3.6. Определить вероятность отказа системы, схема расчета
  показателей надежности которой приведена на рис.3.11. При этом вся
  система в целом резервирована такой же системой в «горячем» резерве.
  Известны вероятности безотказной работы элементов: p1( t) = 0,9, p ₂( t) = 0,8

Рисунок 3.11. Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.4).

Ответ Pc (t) = 0,998

• 3.7. Схема расчета показателей надежности показана на рис. 3.12.
  Интенсивности отказов элементов имеют следующие значения: А1 = 0,3 -10-³
  1/ч, ^2 = 0,7 -10-³ 1/ч. Необходимо определить вероятность безотказной

работы изделия в течение времени t = 100 ч и среднюю наработку до первого
отказа, если для элементов справедлив экспоненциальный закон надежности.

Рисунок 3.12. Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.7).

Ответ PC(100) = 0,99, TO.C = 1500 (ч)

• 3.8. Схема расчета показателей надежности изделия показана на
  рис.3.13. Интенсивности отказов элементов имеют значения: Л1 = 0,3 -10-³
  1/ч, 22 = 0,7 -10-³ 1/ч. Необходимо определить вероятность безотказной
  работы изделия в течение времени t = 100 ч и среднюю наработку до первого
  отказа, если для элементов справедлив экспоненциальный закон надежности.

Рисунок 3.13. Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.8).

Ответ PC (100) = 0,994, TO.C = 1760 (ч)

• 3.9. Схема расчета показателей надежности резервированного
  устройства приведена на рис. 3.14. Интенсивности отказов элементов:
  21 = 0,23 -10-3 1/ч; 22 = 0,5 -10-4 1/ч: 23 = 0,4 -10-3 1/ч. Определить

вероятность отказа устройства за 100 часов работы, если справедлив

экспоненциальный закон надежности.

Ч 21 —Т

! ° ______ ” ²2 f

Ч 21 —I

------------ 2з Ч

Рисунок 3.14. Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.9).

Ответ PC (100) = 0,999, Q(100) = 0,001

• 3.10. Система состоит из двух одинаковых элементов. Интенсивность
  отказа каждого элемента 2 = 0,5 -10-3 1/ч = const. Система имеет двукратный
  «холодный» резерв. Определить вероятность безотказной работы системы за
  1 час времени работы с учетом резервирования.

Ответ PC (1) = 0,999

• 3.11 Схема расчета показателей надежности приведена на рис. 3.15.
  Определить среднее время наработки до первого отказа системы, если
  известны вероятности отказов его элементов за 100 часов работы:
  q1(100) = 0,05, q ₂(100) = 0,1

Рисунок 3.15. Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.11).

Ответ Toc = 1382 ч.

• 3.12. Средние наработки до первого отказа элементов схемы рис. 3.12

равны T_O.1 и T_O.2 . Справедлив экспоненциальный закон надежности для

элементов. Необходимо найти среднюю наработку до первого отказа

системы.

Ответ T_O.C

^3TO .1 • TO .2 _ч

^2(T0.1 + TO .2)

• 3.13. Средняя наработка до первого отказа устройства рис. 3.12 равна
  Toc = 1000 ч и T01 = 2T02. Справедлив экспоненциальный закон
  надежности для элементов. Необходимо найти вероятность безотказной
  работы устройства в течение t = 100 ч.

Ответ PC(100) = 0,98

• 3.14. Схема расчета показателей надежности изделия приведена на рис.
  3.16. Известна вероятность безотказной работы устройства за t = 100 ч
  работы p(100) = 0,9. Для изделия справедлив экспоненциальный закон

надежности. Определить вероятность безотказной работы системы за 500 ч
работы.

P=0,9

P=0,9

P=0,9

Рисунок 3.16. Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.14).
Ответ PC (500) = 0,983

• 3.15. Изделие состоит из двух элементов, менее надежный элемент
  дублирован путем замещения при ненагруженном состоянии резерва.
  Средняя наработка до первого отказа элементов равны То1 = 100 ч,
  Т_о 2 = 200 ч. Найти среднюю наработку до первого отказа изделия, если для
  элементов справедлив экспоненциальный закон надежности.

Ответ ToC = 100 ч.

• 3.16. Предложено конструктором три варианта схем построения
  изделия (рис. 3.17):

• а) b) c)

Рисунок 3.17. Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.16).
a) изделие нерезервированно и средние наработки до первого отказа
элементов равны To1 = To 2 = 300 ч;

• b) один элемент дублируется путем замещения при ненагруженном
  состоянии резерва, а второй, как и в схеме рис. 3.17,а нерезервирован,
  причем средние наработки до первого отказа дублированного узла и
  нерезервированного элемента те же;
• c) один элемент дублирован путем постоянно включенного резерва, а второй
  нерезервирован, как и в схеме рис. 3.17,а и б, средние наработки до
  первого отказа дублированного узла и нерезервированного элемента
  равны 300 ч;

Какой из вариантов более предпочтителен с точки зрения надежности,
если надежность изделия оценивать средней наработкой до первого отказа.
Ответ. Более предпочтителен вариант b, так как для варианта а: Toc = 150
ч, для варианта b: To с = 200 ч, для варианта с: То с = 180

• 3.17. Интенсивность отказов изделия Л = 0,016 1/ч. Для повышения

надежности имеется возможность либо облегчить режимы работы элементов
и тем самым снизить интенсивность отказов изделия вдвое, либо
дублировать изделие при постоянно включенном резерве без облегчения
режимов работы элементов.

Какой способ более целесообразен, если надежность изделия оценивать
средней наработкой до первого отказа?

Ответ. Более целесообразно облегчить режимы работы элементов, так как в
этом случае среднее время безотказной работы изделия возрастет вдвое, а
при дублировании – только в 1,5 раза.

• 3.18. Используя данные задачи 3.15, установить, какой способ
  повышения надежности изделия из предложенных в задаче 3.15 более
  целесообразен, если надежность оценивать вероятностью безотказной работы
  в течение времени непрерывной работы изделия t = 20 ч.

Ответ. Более целесообразно дублировать изделие, так как при дублировании
вероятность безотказной работы Рс (20) = 0,93, а при облегченном режиме
работы элементов Рс (20) = 0,85.

• 3.19. Машина состоит из 1024 стандартных ячеек и множества других
  элементов. В ЗИПе имеется еще две однотипные ячейки, которые могут
  заменить любую из отказавших. Все элементы, кроме указанных ячеек,
  идеальны в смысле надежности. Известно, что интенсивность отказов ячеек
  есть величина постоянная, а средняя наработка до первого отказа машины с
  учетом двух запасных ячеек То с = 60 ч. Предполагается, что машина
  допускает короткий перерыв в работе на время замены отказавших ячеек.
  Требуется определить среднее время наработки до первого отказа одной
  ячейки.

Ответ Т_о.. = 20480 ч.

• 3.20. Система состоит из двух одинаковых элементов. Для повышения
  ее надежности конструктор предложил два следующих варианта (рис. 3.18):
  a) дублирование системы по способу замещения с ненагруженным
  состоянием резерва;

b) скользящее резервирование при одном резервном элементе, находящемся
в ненагруженном состоянии.

Какой из вариантов более целесообразен с точки зрения надежности, если
интенсивность отказов элемента Л ?

а)

b)

Рисунок 3.18. Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.20).

Ответ. Pa (t) = Рь (t) = e~^2Л't (1 + 2Л • t), т.е. варианты равноценны.

• 3.21. Система состоит из N однотипных элементов, каждый из которых

имеет среднюю наработку до первого отказа, равную

То = ¹ • Для

Л

повышения надежности применено скользящее резервирование, при котором
m резервных элементов находятся в ненагруженном режиме. Необходимо
найти среднюю наработку до первого отказа системы.

• - T_o • (m +1)

Ответ T_{n r} = —------.

O.C. _N

• 3.22. Вероятность безотказной работы вычислительного устройства
  p = 0,6. Какое число устройств следует иметь в «горячем резерве», чтобы
  результирующее значение вероятности отказа резервированной системы не
  превышало 10^-2.

Ответ n = 4.

• 3.23. Найти вероятность безотказной работы системы, если вероятность
  безотказной работы элемента p (t) = 0,9. Для элемента применено

1
резервирование с кратностью m = —.

Ответ Pc (t) = 0,919

• 3.24. Система состоит из двух одинаковых элементов. Интенсивность
  отказа каждого элемента Л = const = 0,5•IO^-3 1/ч. Схема имеет двукратный

«холодный» резерв. Определить вероятность безотказной работы системы за
один час времени работы с учетом резервирования.

Ответ PC (1) = 0,999

• 3.25. Вероятность отказа устройства q(t) = 0,4. Какое количество
  параллельно включенных устройств необходимо иметь, чтобы
  результирующее значение вероятности отказа такой резервированной
  системы было Qc (t) < 0,01 .

Ответ n = 5.

• 3.26. Вероятность безотказной работы преобразователя в течение
  t = 1000 ч равна p(1000) = 0,95. Для повышения надежности имеется такой
  же преобразователь, который включается в работу при отказе первого.
  Требуется рассчитать вероятность безотказной работы такой системы в
  течение времени t = 2000 ч.

Ответ PC (2000) = 0,995

• 3.27. Найти вероятность отказа системы в течение времени t = 100 ч
  работы, если известны интенсивности отказов ее элементов: Л1 = 0,5 • 10^-3 1/ч;
  Л = 0,3 •Ю^-3 1/ч. Схема расчета показателей надежности устройства
  приведена на рис.3.19 .Справедливо условие Л = const.

Рисунок 3.19. Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.27).

Ответ PC(100) = 0,998

3.28. Найти вероятность безотказной работы системы, если вероятность
безотказной работы элемента p (t) = 0,3. Для элемента применено

1

резервирование с кратностью m =

Ответ PC (t) = 0,084

• 3.29. Схема расчета показателей надежности представлена на рис.3.20.
  Заданы вероятности безотказной работы ее элементов. Укажите расчетную
  формулу вероятности безотказной работы системы.

Рисунок 3.20 Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.29).
Ответ PC (t) = (P + P, - P • P,) • P,

• 3.30. Приемник состоит из трех блоков. Интенсивности отказов этих
  блоков соответственно равны: Л1 = 4•IO^-4 1/ч; Л2 = 2,5•IO^-4 1/ч; Л = 3•IO^-4
  1/ч. Требуется рассчитать вероятность безотказной работы приемника в
  течение времени t = 100 ч для случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется
  дублирование приемника в целом при постоянно включенном резерве; в)
  имеется дублирование каждого блока приемника при постоянно включенном
  резерве.

Ответ: а) P(100) = 0,91; б) P(100) = 0,992 ; в) P(100) = 0,997

• 3.31. В системе телеуправления применено горячее дублирование
  канала управления. Интенсивность отказа канала Л = 10^-2 1/ч. Рассчитать

вероятность безотказной работы в течение времени t = 10 ч и среднюю
наработку до отказа системы.

Ответ PC (10) = 0,99 TOC = 150 ч

• 3.32. В системе применено общее резервирование с постоянно
  включенным резервом канала телеуправления, имеющего интенсивность

отказав Л = 5 -10-3 1/ч. Кратность резервирования m = 3. Рассчитать
вероятность безотказной работы в течение времени t = 50 ч и среднюю
наработку до первого отказа системы.

Ответ PC (50) = 0,99 TO.C = 330 ч

• 3.33. Для изображенной на рис.3.21 схемы расчета показателей
  надежности установить зависимость интенсивности отказов от времени.

Рисунок 3.21 Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.33).

Ответ Лс (t) =

8Л - e ~4^Лt (1 - e ~4^Лt)

1 - (1 - e" ^{4 Лt} )2 ⁺

Л(10 - e ~^4Лt)

о - 4 Лt

2 - e

• 3.34. Нерезервированная система управления состоит из n элементов.
  Вероятность безотказной работы системы в течение времени t ч равна P_C(t) .
  Необходимо рассчитать допустимую интенсивность отказов одного
  элемента, считая элементы равнонадежными, в следующих случаях: а)
  резервирование отсутствует; б) применено общее дублирование системы с
  постоянно включенным резервом; в) применено поэлементное дублирование

с постоянно включенным резервом.

• — In Pc (t) — ln [1 — 1 — PC (t) 1

Ответ: а) Л <----C—; б) Л <----——--------; в)

nt nt

- ln^[ - J-nPM J

Л <---------------

t

• 3.35. В радиопередатчике, состоящем из трех равнонадежных каскадов,
  применено раздельное дублирование каждого каскада с нагруженным
  резервом. Интенсивность отказов каскада равна Л = 5 -10^-4 1/ч. Определить
  вероятность безотказной работы в течение времени t = 100 ч и среднюю
  наработку до отказа.

Ответ: РП(100) = 0,992; Т_о.П = 1400 ч

• 3.36. В радиопередатчике, состоящем из трех равнонадежных каскадов,
  применено общее дублирование с нагруженным резервом. Интенсивность
  отказов каскада равна Л = 5 - 10^-4 1/ч. Определить вероятность безотказной

работы в течение времени t = 100 ч и среднюю наработку до отказа.

Ответ: РП(100) = 0,98; Т_О.П = 1000

• 3.37. Устройство обработки информации состоит из трех одинаковых
  блоков. Вероятность безотказной работы устройства в течение времени t ч
  P_У (t) должна быть не менее 0,9. Определить какова должна быть
  вероятность безотказной работы каждого блока в течение времени t ч для
  случаев: а) резерв отсутствует; б) имеется общее резервирование устройства
  с нагруженным резервом; в) имеется раздельное резервирование блоков с
  нагруженным резервом.

Ответ: Рб (t) = 33^ = 0,96; б) Рб = 1 - 1 -3/Ру (t) = 0,81;

в) Рб (t) = 3Л -1- - Ру (t) = 0,92

• 3.38. Блок промежуточной частоты состоит из двух одинаковых
  усилителей. Вероятность безотказной работы каждого усилителя в течение
  наработки t ч равна Ру (t) = 0,97. Определить какова должна быть кратность
  резерва m для получения вероятности безотказной работы блока с резервом
  Р_Б (t) = 0,99 в двух случаях: а) имеется общее резервирование с нагруженным
  резервом; б) имеется раздельное резервирование с нагруженным резервом.
  Ответ: mа ~ т_Б ~ 2
• 3.39. Основной приемо-передающий блок радиорелейного пункта связи
  имеет среднюю наработку до отказа То о = 500 ч. Блок дублирован в горячем
  резерве. Резервный блок имеет среднюю наработку до отказа То P = 600 ч.
  Определить среднюю наработку до отказа резервного соединения в целом.
  Ответ То,с = 820 ч
• 3.40. В вычислительном устройстве применено резервирование с
  нагруженным резервом и дробной кратностью «два из трех». Интенсивность
  отказов одного нерезервированного блока равна Л = const = 4 -10^-3 1/ч.
  Определить вероятность безотказной работы резервированного устройства в
  течение времени t = 40 ч и среднюю наработку до отказа.

Ответ: РУ(40) = 0,98; ТО_у = 208 ч

• 3.41. Определить какова должна быть вероятность безотказной работы
  блока P_Б (t) вычислительного устройства, чтобы применение резервирования

с нагруженным резервом и дробной кратностью «два из трех» обеспечило
повышение надежность вычислительного устройства.

Ответ РБ (t) > 0,5

• 3.42. Определить вероятность безотказной работы системы, показанной
  на рис.3.22, если известны вероятности безотказной работы ее элементов
  p1( t) = 0,5 p ₂( t) = 0,6 p з( t) = 0,7 p 4( t) = 0,8 p 5( t) = 0,9.

Рисунок 3.22 Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.42).

Ответ Pc (t) = 0,821

3.43. Определить вероятность безотказной работы системы, показанной
на рис. 3.23, если известны вероятности безотказной работы ее элементов
pi( t) = 0,9 p 2( t) = 0,95 p з( t) = 0,8 p 4( t) = 0,97 p 5( t) = 0,97.

Рисунок 3.23 Схема расчета показателей надежности (к задаче 3.43).
Ответ Pc (t) = 0,849

3.44. Устройство состоит из двух равнонадежных блоков соединенных
последовательно. Интенсивность отказов одного блока Л = 0,01 1/ч. Для
повышения надежности предлагается ввести дублирование с нагруженным
резервом. Определить какой вид резервирования оптимальный, если время
работы устройства t = 10 ч.

Ответ: раздельное резервирование лучше, т.к. для общего резервирования
Рс (10) = 0,967 To с = 75 ч; для раздельного резервирования Рс (10) = 0,982
To , с = 91,66 ч

3.45. Устройство состоит из четырех элементов. Интенсивность отказов
одного элемента Л = const = 0,01 1/ч. Для повышения надежности
предлагается ввести резервирование устройства с постоянно включенным
резервом и кратностью m = 4. Определить вероятность безотказной работы

системы в течение времени t = 50 ч и среднее время наработки до первого
отказа.

Ответ: PC(50) = 0,517; TO.C = 57 ч

• 3.46. Устройство состоит из 10 равнонадежных блоков, соединенных
  последовательно. Интенсивность отказов одного устройства А = 10-4 1/ч. Для
  повышения надежности устройство резервируется. Предполагается, что
  справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти
  среднюю наработку до первого отказа устройства в следующих случаях: а)
  дублирование при постоянном включении резерва; б) дублирование при
  включении резерва по способу замещения.

Ответ: а) То У = 1500 ч; б) Т_0У = 2000 ч

• 3.47. Устройство автоматического поиска неисправностей состоит из
  двух логических блоков. Средняя наработка до отказа этих блоков одинакова
  и для каждого из них То Б = 200 ч. Определить среднюю наработку до отказа
  устройства T_{O У} в двух случаях: а) дублирование при постоянном включении
  резерва; б) дублирование при включении резерва по способу замещения, если
  для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности.

Ответ: а) Т_о.. У = 150 ч; б) Т_о.У = 200 ч

• 3.48. Блок усилителей промежуточной частоты включает в себя n = 4
  последовательно соединенных равнонадежных усилителя и один усилитель в
  ненагруженном резерве. Интенсивность отказов каждого усилителя
  А = const = 6 -10-⁴ 1/ч. Определить вероятность безотказной работы блока в
  течение времени t = 100 ч.

Ответ РБ (100) = 0,96

• 3.49. Блок телеметрии включает в себя два одинаковых приемника.
  Интенсивность отказов каждого приемника равна А = const = 4-10 ⁴ 1/ч.

Требуется определить вероятность отказа блока в течение времени t = 250 ч
для следующих вариантов: а) резерв отсутствует; б) имеется один приемник в
ненагруженном скользящем резерве.

Ответ: а) Q_E (250) = 0,18; б) Q_Б (250) = 0,015

• 3.50. В радиопередающем канале связной системы используется
  основной передатчик П₁ и два передатчика П₂ и П₃ находящиеся в
  ненагруженном резерве. Интенсивность отказов основного передатчика
  81

равна Ло = const = 10 3 1/ч. Определить вероятность безотказной работы

РР (t) в течение времени t = 100 ч и среднюю наработку до отказа

радиопередающего канала.

Ответ: РР(100) = 0,99; TO,_Р = 3000 ч

• 3.51. Система, представляющая (3,1) – структуру состоит из трех
  равнонадежных элементов и абсолютно надежного мажоритарного элемента
  с системой голосования «2 из 3». Вероятность отсутствия сигнала ложного
  «0» каждого элемента равна p ₀ (t) = 0,8. Определить вероятность отсутствия
  сигнала ложного нуля системы в целом.

Ответ: Р_о( t) = 0,896

• 3.52. Вероятность отказа элемента (4,1) - структуры q0(t) = 0,01.
  Определить вероятность появления сигнала ложного «0», если используется
  абсолютно надежный мажоритарный элемент и система голосования «3 из
  4».

Ответ: Р_о( t) = 0,999

• 3.53. Интенсивность отказа элемента (3,1) - структуры Л = 0,02 -10^-3
  1/ч. Все элементы структуры равнонадежны и для них справедлив
  экспоненциальный закон надежности. Определить вероятность появления
  сигнала ложного «0» за время t = 100 ч, если вероятность безотказной
  работы мажоритарного элемента р^ (t) = 0,87 и система голосования «1 из
  3».

Ответ: Р0(t) = 0,861

• 3.54. Среднее время наработки до первого отказа (4,1) – структуры
  T_o = 200 ч. Все элементы структуры равнонадежны и для них справедлив
  экспоненциальный закон надежности. Определить вероятность появления
  сигнала ложного «0» за время t = 50 ч, если вероятность безотказной работы
  мажоритарного элемента р^ (t) = 0,98 и система голосования «2 из 4».

Ответ: Р₀( t) = 0,945

• 3.55. Вероятность появления сигнала ложного нуля элемента (2,1) –
  структуры р0(t) = 0,68. Все элементы системы равнонадежны. Вероятность
  безотказной работы мажоритарного элемента pjj (t) = 0,92 и система

голосования «1 из 2». Определить вероятность появления сигнала ложного
«0» системы.

Ответ: Po(t) = 0,826

• 4. РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ
  СИСТЕМ
  • 4.1. Методы расчета

Восстанавливаемое изделие это изделие, для которого в
рассматриваемой ситуации проведение восстановления работоспособного
состояния предусмотрено в нормативно-технической и (или)
конструкторской документации. Восстановление возможно с прекращением
выполнения изделием своих функций и без нарушения выполнения своих
функций.

При разработке сложной электронной аппаратуры, цифровой техники и
систем автоматического управления практически встречаются следующие
случаи восстанавливаемости изделий.

• 1. Резервирование с восстановлением, т.е. такое резервирование, когда
  отказавшие блоки восстанавливаются и снова включаются в состав резервной
  группы. Существенной особенностью конструкции такой аппаратуры
  является возможность осуществлять ремонт отказавших блоков во время
  выполнения аппаратурой своих функций.
• 2. Изделия с временной избыточностью, т.е. изделия располагающие
  для выполнения поставленной задачи резервом времени.

Основной круг задач, рассматриваемых при расчете надежности
восстанавливаемых систем, относится к следующей ситуации. Исправное
изделие начинает эксплуатироваться в момент времени t = 0 и, проработав
случайное время X_i , выходят из строя. На ремонт требуется случайное время
Y_i . Этот процесс продолжается в течение всего срока службы изделия,
причем величины X_i и Y_i (i = 1,2...) независимы.

Рассмотрим наиболее распространенный метод расчета надежности
восстанавливаемых систем.

МЕТОД, ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ КЛАССИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

При решении большого класса задач удобно исходить из вероятностей
нахождения системы в том или ином состоянии. В общем случае число таких
состояний будет больше двух, но при решении задач теории надежности
обычно приходится иметь дело с конечным числом состояний.

Пусть в момент времени t система находится в состоянии i. Если
вероятность Pij (t, t + Аt) перехода системы за время Лt из состояния i в
состояние j не зависит от поведения системы до момента t, то такой
случайный процесс называется марковским процессом. Если эта вероятность
также не зависит от момента t , то имеет место однородный марковский
процесс.

Для этого случая можно найти характеристики надежности путем
решения дифференциальных уравнений.

Рассмотрим очень важный для теории надежности случай, когда
потоки отказов и восстановлений являются простейшими: А = const,
и = const. Это значит, что производительность труда ремонтника постоянна
и не зависит от времени. Поэтому время восстановления имеет
экспоненциальный закон распределения F (t) = 1 - e ~ ^; TB = —.

Р

Например, пусть требуется найти коэффициент готовности KГ (t).
Если система исправна будем говорить, что она находится в состоянии (Gq),
если неисправна и восстанавливается - в состоянии (Q). Обозначим
вероятности нахождения системы в момент (t, t + А t) в этих состояниях через
Po( t), Pq (t + А t) и P1( t), P1(t + А t) соответственно. Естественно, что
P_o(t) + P1(t) = 1 и KГ = Pq(t). Обозначим также через PQ1 (Лt) и P1Q(Лt)-
условную вероятность того, что в момент времени t система находится или в
состоянии Gq или в состоянии G1, а в момент времени t + Аt или в состоянии
G1 или в состоянии Gq , т.е. за интервал времени Аt произошел отказ
(восстановление) системы. Тогда

P₀₁ (А t ) = АА t

P₁₀ (А t )= ^А t

Будем считать, что за время At может произойти только один отказ или
только одно восстановление. Тогда на интервале At могут произойти четыре
несовместимых события: А₁ (G_o, G0) - в момент времени t система находилась
в состоянии G₀ , в момент времени она осталась в том же состоянии,

т.е. отказа не произошло; A2 (G_o, G1) - отказ произошел; А3 (G1, G₀) -
восстановление произошло; А4 (G1, G1) - восстановление не произошло. Тогда

P0 (t + A t) = P (A1) + P (A3) = P0 (t )(1 - AA t) + P1 (t )^A t

P1 (t + At) = P (A 2) + P (А 4) = P_o (t )AA t + P1 (t )(1 - vAt)

или

Po (t + A t)-Po (t'

A t

P (t + A t)-P (t)

A t

A’, (t)+vP (t)

= APo (t)+vP (t).

Положим At ^ 0. Тогда получим систему дифференциальных

уравнений:

dPA = -_APo (t)+vP (t)
dt

dP^ = APo(t)-vP(tt) ’

I dt

(4.1)

Система дополняется условием P (t)+ P (t) = 1.

Решение системы (4.1) при начальных условиях Po(t) = 1 и P1 (t )= 0 (в
начальный момент времени система работоспособна) имеет вид:

Po (t ) = K г (t) =

P (t )= K П (t) =

VA

—+e

A + v A + v

AA

---e

A + v A + v

.^-(a+v) t

,^-(a+v )t

(4.2)

Если в начальный момент времени система неработоспособна, то

Po (o) = o, Pi (o) = 1 и решение системы имеет вид

Po (t )=K Г (t ) =

v v _e-(A+v )t

A + v A + v

Pl (t ) = K П (t) =

^A ₊ ^v _e-^(A+v )t

A + v A + v

(4.3).

При t ^ от независимо от начального состояния системы (Go или G1)
вероятности Ро( t) = K Г (t), P^t ) = K П (t) стремятся к постоянным значениям

к — ^A - к — ^А

K Г = Д ; K П = Д .

А + A А + A

(4.4)

Это означает, что при экспоненциальных законах распределения
времени наработки на отказ и времени восстановления, случайный процесс
работы восстанавливаемой системы стабилизируется, и вероятность застать
систему работоспособной в произвольный момент времени остается
постоянной. Система с указанными свойствами называется эргодической, а
сам процесс – марковским случайным процессом.

При малых значениях величины (А + a)t, когда e^-(А+A)t = 1 - (А + a)t,

из уравнения (4.2) получим:

к Г (t) = ~A+^А [1 - (А + A) t ] = 1 - At;

А + а А + a

K п ⁽t) =

-----[1 — (А + A)t] = At.
А + а А + a

(4.5)

Отсюда следует, что в начальный период эксплуатации коэффициент
готовности примерно равен вероятности безотказной работы P(t), а

вероятность P₁(t) - вероятности отказа Q(t) .

При нескольких работоспособных состояниях

n
к Г = Е jt). (4.6)

j'=1

где n - число работоспособных состояний; Pj (t) - вероятность j -го

работоспособного состояния.

Часто число неработоспособных состояний значительно меньше числа

работоспособных. При этом удобнее вычислить коэффициент простоя:

m+1-n

кП (t) = Е P( t), (4.7)

i=1

где Pi(t) - вероятность i-го неработоспособного состояния; m +1 - общее
число состояний.

Величина ошибки AK Г (t) при использовании коэффициента
готовности для оценки вероятности нахождения в работоспособном
состоянии вычислении при KГ > 0,9 составит:

K_Г

AKГ(t) - (1 - KГ)KГ-^KГ -100% (4.8)

МЕТОД, ОСНОВАННЫЙ НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ ТЕОРИИ ГРАФОВ

Метод состоит в следующем:

• 1) составляется система дифференциальных уравнений, описывающих
  поведение устройства;
• 2) выбираются начальные условия решения задачи;
• 3) определяются вероятности застать изделие в исправном состоянии в
  любой момент времени и вероятности безотказной работы;
• 4) определяются в случае необходимости другие количественные
  характеристики надежности по аналитическим зависимостям,
  приведенным в разделе 1.

Рассмотрим эту методику на частном примере.

Пусть дано некоторое устройство, для повышения надежности
которого применено резервирование. Известны:

• - интенсивность перехода устройства из j -го состояния в j -1 и j +1;
• - необходимое время работы устройства;
• - кратность резервирования m ;
• - число обслуживающих бригад.

Предполагается, что при замене работающего элемента на резервный
перерыва в работе устройства не происходит, поэтому отказ устройства
наступает при одновременной неработоспособности основного и всех
резервных элементов (состояние m +1).

Необходимо вычислить вероятность безотказной работы P(t) в течение
времени t и вероятность того, что резервированное устройство будет
исправно в любой момент времени t ( K_Г (t)).

Решение. Сделаем следующие допущения:

• - длительность безотказной работы и время восстановления отдельных
  элементов подчиняется экспоненциальному закону:
• - при отказе одного устройства оно сразу же отправляется на
  восстановление и ожидает очереди на обслуживание, если все ремонтные
  бригады заняты, или немедленно начинается процесс восстановления,
  если очереди на восстановления нет.

Рассмотрим случай ненагруженного резерва с абсолютно надежным
переключателем и одной ремонтной бригадой, обслуживающей устройство
(ограниченное восстановление)

При указанных выше допущениях функционирование

резервированного устройства можно представить графом, изображенным на
рис. 4.1.

λ λλλ

G о.. . . . ч Gj L ^k . . .4Gm+1

^{µ µ}µ

• a)

λλλλ

Gо . . . ч Gj L * . . . о ПGm+1

V jV ■⁺¹)^ (m+1)Л^

• б)

Рисунок 4.1. Граф состояний резервированной восстанавливаемой
системы в ненагруженном резерве при ограниченном а) и неограниченном б)
восстановлении

Узлам графа соответствуют состояния системы (0, 1, 2, …, m+1), а
ветвям – возможные переходы из одного состояния в другое.

Искомая система дифференциальных уравнений может быть
составлена с помощью графа по следующим правилам. Производная
вероятности состояния равна сумме стольких слагаемых, сколько стрелок
связано с этим состоянием. Каждое слагаемое равно произведению
интенсивности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, на
вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Слагаемое имеет
знак минус, если стрелка исходит из данного состояния, а знак плюс – если
стрелка направлена в данное состояние. Полученная система уравнений
называется системой уравнений Колмогорова.

Для графа состояний (рис.4.1,а) получим следующую систему
дифференциальных уравнений.

Pt)=-AP0( t)+ri1( t)
dt

....

dPi (t)

~ri = APj—1 (t) - (A + a)Pj (t) + ^Pj+i (t)
t

(4.9),

. . . .

driri = APm (‘) - riPm+1( t)
dt

где J = 1,...,m.

Надежность восстанавливаемого изделия, как правило, определяется
при условии, что в момент включения все элементы исправны. Тогда

Pj (0) =

1 j = 0,
0, j * 0.

Начальные условия для рассматриваемого графа состояний: /0(0) = 1;
P1(0) = ... = Pj (0) = Pm+1(0) = 0 .

Система решается с помощью преобразований Лапласа или

dPj (t)
численными методами. При t ^ да производные —---> 0 и система (4.9)

dt

превращается в однородную систему линейных уравнений:

'0 = -APg( t) + riP1( t)

....

0 = APj-1 (t) - (A + riPj (t) + ^Pj₊₁ (t)

....

0 = APm (t) - ri^m+1( t)

Для решения системы (4.10) необходимо добавить уравнение

m+1

Z ^PJ =¹

(4.10)

(4.11)

J=9

В результате решения системы (4.10) совместно с уравнением (4.11)
получим установившиеся значения коэффициентов простоя и готовности:

1

K П Pm+1

А

-

j=Qk Л 7

K Г = 1 - Pm+1 = 1

-

1

.

(4.12)

А

—

j=Qk ^Л 7

Если та же система обслуживается (m +1) ремонтными бригадами

(неограниченное восстановление), то очередь на ремонт отсутствует. Граф

состояний для ненагруженного резерва и неограниченного восстановления
представлен на рис.4.1,б. В результате решения системы уравнений
совместно с нормировочным уравнением (4.11) получим

K П = Pm+1 =

1

m+'(m +1)! Г а

-^
j=Q ^j!

\ m+1-j

K Г = 1 — Pm+1 = 1

k ^Л 7

1

(4.13).

_—

m+ 1( m +1)! ( а

-^
j=Q j^!

\ m+1-j

k ^Л 7

Графы состояний для системы, состоящей из одного основного и m
элементов в нагруженном резерве, представлены на рис.4.2.,а для
ограниченного восстановления и б для неограниченного.

m+1)2

G₀

А

(m+2-/)Л (m ■ I - j) Л

Gj

А ^^^А

a)

⁽m^+1)Л

G₀

.^‘

^(m+2-/)^rA(m+1—/_Л
G_j

^Л

Gm+.
(m +1)а

б)

Рисунок 4.2. Граф состояний резервированной восстанавливаемой
системы в нагруженном резерве при ограниченном а) и неограниченном б)
восстановлении

Составляя систему уравнений и решая ее совместно с нормировочным
уравнением (4.11), получим

для ограниченного восстановления

к„ =р , =____1___

K ^П Pm+ТГ

^¹ А

j=0 j! к ^л у

K Г = 1 - Pm+1 = 1

-

1

m+11 Л V

^ 1А

j=0 j! к ^л у

(4.14)

для неограниченного восстановления

K г = 1 — Pm+1 = 1

_—

Л

K П = Pm+1 =

( л

\ m+1

к ^{л + А} у

Л

\ m+1

к ^{Л + А} )

m

= Z C

j=0

m +1- j
m +1

•

( А

\m+1-j (

ч ^{л +} А у

•

л V

к ^{Л + А} у

(4.15)

Выражение (4.15) представляет собой вероятность случайного

исхода,

имеющего биноминальное распределение. Это объясняется независимостью
отказов и восстановлений элементов.

Если изделие состоит из одного элемента и m резервных элементов в

нагруженном резерве с разными интенсивностями отказов, то число
возможных состояний равно 2^m+1 и граф состояний имеет разветвленный
вид. На рис.4.3 представлен граф состояний для двух элементов с

различными интенсивностями отказов и неограниченным восстановлением.

G

G

G

G

1

Рисунок 4.3. Граф состояний резервированной восстанавливаемой
системы, состоящей из двух элементов с различными интенсивностями

отказов

В этом случае

Kг(t) = 1 - Д(t); Kп(t) = Рз(t).

При t >/ KГ = 1 — P₃; K_П = Р₃.

Рассмотрим резервированные системы, для которых отказы
недопустимы, но ремонт отказавшего элемента производится во время
выполнения задачи. Если система состоит из основного элемента и m
элементов в нагруженном резерве, то для случая ограниченного
восстановления граф состояний системы представлен на рис.4.4.

(m+1)2 ^(m+2-Mm+j 2z^. Z^

G о . . . « 7 Gj L ^k . . . < 4 Gm ^kGm+1

G-G^T LI

Рисунок 4.4. Граф состояний резервированной восстанавливаемой
системы, состоящей из одного и m элементов в нагруженном резерве.

Состояние m +1 является поглощающим

При попадании системы в состояние m +1 происходит отказ системы,
который недопустим и приводит к невыполнению поставленной задачи.

Вероятность безотказной работы системы при условии, что в
начальный момент времени t = 0 в системе нет неисправных элементов, т.е.
P0(0) = 1; Д(0) =... = Pm+1(0) = 0 равна

m

P'(ti) = Z Pj( ti). (4.16)

i=0

Вероятность отказа системы в течение времени выполнения задачи
также является условной вероятностью и соответственно равна

Q'(ti) = Pm+1( ti). (4.17)

Важным показателем является средняя наработка до отказа

^ ^ m

TO = J P‘(t)dt = J £ pj (t)dt. (4.18)

0 0 i=0

Примеры резервированных систем, отказы которых недопустимы во
время функционирования: система управления выведением на орбиту
космического аппарата, радиолокационная станция, обеспечивающая
посадку самолета, систему автоматического управления тормозами тепловоза
и т.п. Конструктивное исполнение таких систем позволяет производить
ремонт непосредственно во время применения.

При решении системы уравнений, составленных по графу рис.4.4 с
помощью преобразований Лапласа, целесообразно использовать правило
облегчающее расчет.

Для определения средней наработки до отказа достаточно найти
преобразование Лапласа вероятности безотказной работы P (s) и подставить
в него s = 0.

МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАННЫХ СЕТЕЙ

Основная идея этого метода заключается в том, что сети придается
такая конфигурация, для которой можно применять известные расчетные
формулы. При этом исходная сеть преобразуется дважды: в сеть с заведомо
более высокой и в сеть с заведомо более низкой надежностью. В результате
расчетов показателей надежности двух полученных сетей получают
верхнюю и нижнюю границы интервала показателей надежности, внутри
которого находится значение показателя надежности рассматриваемой сети.

Преобразование исходной сети заключается в поэтапном исключении
из рассмотрения отдельных линий путем их закорачивания или разрыва. При
этом разрыв любой линии связи уменьшает надежность сети или переводит
ее в неработоспособное состояние, а закорачивание линии связи
(равносильно объединению двух узлов) повышает надежность сети.

В ходе преобразования сети намечают начальный и конечный узлы,
поочередно выбирают линии связи и преобразуют сеть до тех пор, пока не
будут получены последовательно-параллельные цепи. Правил выбора тех
или иных линий связи не существует.

Рассмотрим применение этого метода на примере сети, показанной на
рис.4.5. Для простоты будем считать узлы сети абсолютно надежными, а
линии связи равнонадежными.

б)

в)

18 18

Рис.4.5 Преобразование сети:

г)

ж)

а) - исходная схема; б) - первый этап преобразования путем удаления ветви 5;
в) - второй этап преобразования путем удаления ветви 4; г) - эквивалентная
логическая схема для расчета нижней границы показателей надежности; д) -
первый этап преобразования путем закорачивания ветви 5: е) – второй этап
преобразования путем закорачивания ветви 4; ж) – эквивалентная схема для

расчета верхней границы показателей надежности.

Для получения сети с заведомо более низкой надежностью необходимо
последовательно разорвать линии 5 и 4 (рис.4.5,б, в). В результате этих
преобразований получим эквивалентную логическую схему для расчета
показателей надежности (рис.4.5, г)

Для получения сети с заведомо более высокой надежностью
необходимо последовательно закоротить линии 5 и 4 (рис.4.5,д, е). В
результате этих преобразований получим вторую эквивалентную логическую
схему для расчета показателей надежности.

В рассматриваемом примере использование метода марковских цепей
для расчета показателей надежности приведет к сложным решениям из-за
большого числа состояний системы, поэтому используют простой

приближенный метод расчета, согласно которому для последовательного
включения подсистем:

n

Ka = 1 - n + E К Ai; (4.19)

i=1

для параллельного включения:

m

Ka = 1-П (1 — KAi), (4.20)

i=1

где K_Ã - коэффициент готовности последовательной (параллельной) группы
из n(m) подсистем.

Если в системе применяется скользящее резервирование подсистем, то
для расчета коэффициента готовности вместо формулы (4.20) применяется
формула:

m

Ka = Z cmKAC (1 — KAi) m-i (4.21)

i=k

В табл.4.1 приведены нормированные значения показателя
коэффициент готовности K_Г телекоммуникационных сетей.

Таблица 4.1. Нормированные значения показателя коэффициент готовности

4.2. Типовые примеры и их решения

Пример 4.1. Коэффициент простоя K _П = 0,1. Интенсивность
восстановления ^ = 0,1 -10—3. Определить вероятность отказа системы за 100
ч работы, если справедлив экспоненциальный закон надежности.

Решение. Для решения данной задачи воспользуемся следующими
соотношениями:

кп = 1 - к г ;

K

Г =

;

Л + д

Q (t) = 1 - e^{- Л}

Определим интенсивность отказов системы

_л= д(1 - К г ) ₌ дК _п
К г 1 - КП

0,1 -10-3 - 0,1

1 - 0,1

= 0,1-10-⁴

(1/ч)

Определим вероятность отказа системы за время t = 100 ч работы

Q (100) = 1 - e ^{- 0,1-10} —4^-100 = 0,001

Пример 4.2. Аппаратура имела среднюю интенсивность отказа
Л = const = 0,001 1/ч и среднее время восстановления ТВ = 1 ч. Определить
коэффициент готовности K_Г и вероятность отказа аппаратуры за 1 ч работы.
Справедлив основной закон надежности.

Решение. Для решения данной задачи воспользуемся следующими

соотношениями:

к - Д ■

^К Г = ; , ’

Л + д

¹

TO = Л ’

Q (t) = 1 - e^-Л

.

Определим коэффициент готовности аппаратуры

К_г = -^- = —=--=--¹--= 0,999

^Г Л + д Л-TB +1 0,001 +1

Определим вероятность отказа аппаратуры за время t = 1 ч
Q (t) = 1 - e-^Л = 1 - e-^0,001 = 0,001

Пример 4.3. Коэффициент готовности изделия K_Г = 0,9. Среднее
время восстановления ТВ = 100 ч. Найти вероятность безотказной работы
устройства за 10 ч, если справедлив экспоненциальный закон надежности.

Решение. Для решения данной задачи воспользуемся следующими
соотношениями:

K

Г=

Д .

Л + д

¹

^ТВ = ;

М

P (t) = e ~^Л

.

Определим интенсивность отказов системы

, М(1 — K Г) 1 — K Г 1 — 0,9

Л =-------= —----=-----

KГ

TB • KГ 100 ■ 0,9

= 0,001 (1/ч)

P (10) = e^Л0 = e "^0,01 = 0.99

Пример 4.4. Известно, что интенсивность отказов устройства Л = 0,02

1,ч, а среднее время восстановления ТВ = 10 ч. Требуется вычислить

коэффициент готовности K_Г и функцию готовности P_Г (t) устройства.

Решение. Для

решения задачи воспользуемся следующими

соотношениями:

¹

TO = Л ’

к_г = - TO- ;

Г То + Тв

t

—

K Г (t) = K Г + (1 — K Г) e K Г' ^ТВ .

Определим среднюю наработку до первого отказа устройства

¹

TO = Л

1

0,02

= 50 ч

Тогда коэффициент готовности устройства К

TO

То + Тв

50

50 +10

= 0,83.

Функция готовности

tt

к Г (t) = к Г + (I — K Г) e K Г ■ ^ТВ = 0,83 + (1 — 0,63) e °,8³⁴⁰ = 0,83 + 0,17e "^0,12 t

Пример 4.5. В случае отказа непрерывно работающего устройства оно
некоторое время находится в нерабочем состоянии – ремонтируется. После
ремонта устройство немедленно начинает работать. Интенсивность отказа
устройства Л = 0,001 1/ч, а интенсивность восстановления м = 0,1 1/ч.

Определить вероятности появления возможных состояний станции в
моменты времени t1 = 5 и 12 = 30 ч. Рассмотреть два случая: а) устройство в

момент начала функционирования (t = 0) работоспособно; в) устройство в
момент начала функционирования (t = 0) неработоспособно.

Решение. Устройство может находиться в двух состояниях:
работоспособном и неработоспособном. Для определения вероятностей этих
состояний воспользуемся выражениями (4.2) в случае, если устройство в
момент времени t = 0 работоспособно и (4.3) - если неработоспособно. Тогда
для случая а)

/>0 (t ) = K Г (t ) =

Д Д _е~Л+^ )t

Л + д Л + д

Р1 (t) = K П (t) = ^— + -Д e -^(Л+Д )t
Л + д Л + д

----^0,1---^0,1----e ~^3,03 = 0,99

0,001 + 0,1 0,001 + 0,1

0,001 0,1

-----------+-----------e ^3,03 = 0,01

0,001 + 0,1 0,001 + 0,1

Пример 4.6. В случае отказа непрерывно работающего устройства оно
некоторое время находится в нерабочем состоянии – ремонтируется. После
ремонта устройство немедленно начинает работать. Интенсивность отказа
устройства Л = 0,001 1/ч, а интенсивность восстановления д = 0,1 1/ч.
Определить среднее значение коэффициента готовности в течение наработок
t = 5 ч и t = 30 ч для случая, когда в момент начала функционирования
устройства работоспособно.

Решение. Среднее значение функции готовности вычисляется по
формуле:

Подставив выражение

t_i

K _Г (t) — - f K _Г (t) dt.

ti 0

для K _Г (t) согласно (4.2) и выполнив

интегрирование получим:

ti

K г (t) — - JK г (t) dt — -
t_i

1

t_i

д

д

0

Л

t

^; i 01^Л + д

+ ^Л e ’^(Л+д) ti 1 dt —

Л + д J

+--5—

Л + д (Л + д)² ti

(1 _— e^{—( Л + д} ) ti )

Для заданных числовых значений t KГ(5) - 0,991 K_Г(30) - 0,99.

Пример 4.7. Определить величину ошибки AK_Г при вычислении
вероятности нахождения восстанавливаемой системы в работоспособном
состоянии в момент времени, равный наработке до отказа То, если K _Г — 0,6,

а распределении времени до отказа и времени восстановления подчиняется
экспоненциальному закону. В начальный момент времени t — 0 система
работоспособна.

Решение. При экспоненциальном законе распределения времени до
отказа и времени восстановления коэффициент готовности можно найти по
формуле

K Г -

д

TO

Л + д То + Тв

Подставив в выражение для функции готовности – вероятности
нахождения системы в работоспособном состоянии t — То найдем
соотношение между функцией готовности и коэффициентом готовности.

1

„ , _x д Л

^K г ⁽t)^— ~----⁺ ~----e

Л + д Л + д

— I

—

^(Л+д > — K Г + (1 — K _Г) e ^{1—K Г}

Ошибка при использовании коэффициента готовности для оценки
вероятности нахождения в работоспособном состоянии в момент времени
t — То

1

AK Г — K _Г (t) — K _Г — (1 — K _Г) e ^{1—K Г} — 0,4 • 0,082 — 0,033

Пример 4.8. Поездная радиостанция включает в себя приемный и
передающий блоки, интенсивность отказов которых одинаковы и равны

к = 10 ² 1/ч. Интенсивность восстановления ц = 2 1/ч. Станцию обслуживает
одна ремонтная бригада. При неработоспособности любого из блоков
радиостанция неработоспособна. При этом работоспособный блок
выключается, и в нем не могут происходить отказы. Определить значения
коэффициентов готовности и простоя радиостанции.

Решение. Число возможных состояний поездной радиостанции равно
двум: Gо - работоспособное состояние (оба блока работоспособны); G1 -
неработоспособное (один из блоков неработоспособен). Граф состояний
представлен на рис.4.6.

22

Ц

Рисунок 4.6. Граф состояний (к примеру 4.8)

По графу составляем систему дифференциальных уравнений:

<

dPo (t)
dt

dW
dt

= -2кРо (t) + p₽i (t)

= 2кРо (t) -pP (t)

При t > v перейдем к системе алгебраических уравнений:
- 2кР₀ (t) + pP_i (t) = 0

1 2кРо (t) -рР (t) = 0

Заменив одно уравнение нормировочным условием: Р0 + Pi = 1 имеем:
- 2кР₀ (t) + pP_i (t) = 0

1 Р0 + Pi = 1

В результате решения этой системы уравнений получим:

K г = P =

Ц
ц + 22

2

2 + 0,02

= 0,99; K п = Pi =

22

ц + 22

0,02

2 + 0,02

= 0,0i.

Пример 4.9. Восстанавливаемое устройство, время безотказной работы

и время восстановления которого подчиняются экспоненциальному закону
распределения, имеет коэффициент готовности KГ = 0,9. Определить
вероятность нахождения устройства в работоспособном состоянии KГ (t) в

момент времени t_i = 50 ч, если наработка до первого отказа Т_о = 500 ч.

Решение. Зная коэффициент готовности и среднее время наработки до
первого отказа, найдем среднее время восстановления, используя формулу
(1.23)

K_r = _ TO- = ⁵00_ = 0,9

Г To + Tb 500 + Tb

Tb =

500 - 450
---------= 56 ч.

0,9

Используя выражение (4.2) найдем соотношение между функцией
готовности и коэффициентом готовности устройства.

_ _ (TO + TB \t

-t

K_r(t) = _ ⁰_ + _ B_ e ^TO'TB ^ = K_r + (1 -K_r)e ^KГ'TB

Г To + TB To + TB ГГ

Для t = 50 ч

50

KГ(t) = 0,9 + (1 - 0,9)e °,9'⁵⁶ = 0,9 + 0,1 • 0,37 = 0,94.

Пример.4.10. Для питания электростанции используется

электроагрегат с двумя генераторами, каждый из которых обладает
производительностью, достаточной для нормальной работы. Эти генераторы
работают поочередно. При отказе работающего генератора в работу
включается резервный генератор, а отказавший отключается и
ремонтируется. Отказ электроагрегата состоит в прекращении питания

радиостанции.

Конструкции электроагрегата допускает одновременный ремонт обоих

генераторов, имеется нужное число ремонтников.

Определить коэффициент готовности электроагрегата, если наработка
на отказ генератора T_O в 5 раз больше среднего времени устранения отказа
T_B . Предполагается, что время безотказной работы и время восстановления

подчиняются экспоненциальному закону распределения.

Решение. Электроагрегат может находиться в одном из трех состояний:

• - G0 - электроагрегат работоспособен; оба генератора работоспособны;
• — G1 - электроагрегат работоспособен, но один из генераторов отказал и
  находится в ремонте;
• - G2 - электроагрегат неработоспособен, оба генератора ремонтируются.

Обозначим вероятности указанных состояний в момент времени t
через Po (t), P1 (t), P₂ (t). Эти вероятности при t > ® имеют пределы Po, P,
P₂. Поскольку для рассматриваемого агрегата переход из состояния Gо в
состояние G1 не нарушает его работоспособности K Г = P_o + P_i.

Составим граф состояний (рис.4.7) и соответствующую этому графу
систему дифференциальных уравнений.

AA

G0 G1G2

А2a

Рисунок 4.7. Граф состояний (к примеру 4.10)

' dPo( t)
dt
dPi( t)
dt

dP2( t)
. dt

= -APo( t) + APi( t)

= APo(t) - (A + a)P^t) + 2^P₂(t)

= AP1( t) - 2^( t)

Для определения установившихся значений Po и Pi положим все
производные равными нулю. Получим систему линейных уравнений, которая
добавляется характеристическим уравнением Po + Pi + P2 = 1:

0 = -APo( t) + APi( t)

• < o = APo(t) - (A + a)Pi(t) + 2AP2(t)

0 = APi( t) - 2aP2( t)

В результате решения системы уравнений получим:

• _{p =} 2a² . _p _ A

• ⁰ 2a² + 2Aa + A²’ ⁱ 2a² + 2Aa + A² ‘

_{K =} 2А² , ^2Aa

Г 2a ² + 2Aa + A² 2a ² + 2Aa + A²

При A = 0,2a получим KГ = 0,98.

Пример 4.11. Преобразователь состоит из рабочего блока и блока в
ненагруженном резерве. Распределения времен между отказами и
восстановлениями подчиняются экспоненциальному закону с параметрами

A = 8-10

3

1/ч, a = 0,8 1/ч. Определить значения коэффициента простоя и во

сколько раз уменьшается величина коэффициента простоя преобразователя

при применении неограниченного восстановления по сравнению с

ограниченным.

Решение. Для определения коэффициентов простоя для случаев
ограниченного и неограниченного восстановления воспользуемся
соответственно выражениями (4.12) и (4.13). Число возможных состояний
равно трем.

Для ограниченного восстановления

K

П

= р , =
¹ m+1

1

1

m+1 LI V'
£ 1
j=0k ^Л у

1

1 + +

Л

2

1

\ ^Л у

л

Л + Л1 +1²

Для неограниченного восстановления

K

П

¹ m+1

1

m+1( m +1)! (1

Е^
j=о ^j!

IЛ

^

у

m+1- j

1

²

2 1 + 21 +1

I л у Л

Л
21² + Л1 + Л²

Для рассматриваемого примера справедливо соотношение 1 >> Л и,
полученные выражения, могут с достаточной для практики точностью,
определены приближенно:

22

KПО » — *10-4; Kпн * * 0,5 -10-⁴.

1² 21²

При применении неограниченного восстановления по сравнению с
ограниченным величина коэффициента простоя уменьшилась в два раза.

Пример 4.12. Преобразователь состоит из рабочего блока и блока в
нагруженном резерве. Распределения времен между отказами и

восстановлениями подчиняются экспоненциальному закону с параметрами
Л = 8 -10^-3 1/ч, 1 = 0,8 1/ч. Определить значения коэффициента простоя и во
сколько раз уменьшается величина коэффициента простоя преобразователя
при применении неограниченного восстановления по сравнению с
ограниченным.

Решение. Для определения коэффициентов простоя для случаев
ограниченного и неограниченного восстановления воспользуемся
соответственно выражениями (4.14) и (4.15). Число возможных состояний

равно трем.

Для ограниченного восстановления

K П = Pm+1 =

1

m+11 A ^jjV

^ 7 А

j=о j! к ^Л У

1

2

¹+"+1^А

Л 2 к Л у

2 Л²

А ² + 2 Ла + 2 Л² .

Для неограниченного восстановления

K П = Pm+1 =

( Л

\ m+1

( Л

²

к ^{л +} А у

к ^{л + А} у

.

При а >> Л можно записать

2 Л²

K п . о * г * ²'10 ; K п . н

А

^2 * 10-4

А

Выигрыш при применении неограниченного восстановления также
получился равным двум.

Пример 4.13. радиоприемное устройство, состоящее из рабочего блока
и блока в нагруженном резерве, рассчитано на непрерывную круглосуточную
работу. Через три часа после включения это устройство может получить
команду на перестройку режима работы. Интенсивность отказов и
восстановлений каждого блока равны Л = 8 • 10=3 1/ч, а = 0,2 1/ч. Имеются

две дежурные ремонтные бригады. Определить вероятность застать
радиоприемное устройство в неработоспособном состоянии через три часа
работы (функцию простоя) и значение коэффициента простоя.

Решение. Радиоприемное устройство в любой момент времени может
находиться в одном из трех состояний:

G₀ - оба блока работоспособны;

G₁ - один блок неработоспособен;

G₂ - оба блока неработоспособны.

При нахождении в состояниях G₀ и G₁ устройство работоспособно, в

состоянии G₂

_-

неработоспособно. Граф состояний устройства с

соответствующими интенсивностями переходов показан на рис.4.8.

Л

G0 G1 ^G2

А 2 а

Рисунок 4.8. Граф состояний (к примеру 4.13)

Система дифференциальных уравнений, составленная по этому графу,

имеет вид:

dPi^ = -2ЛPo( t) + цр( t)
dt

■ d^ = 2P (t) - (Л + ц) P (t) + 2рР_г (t)
dt

dP^ = Лр( t) - 2 Ptt)
dt

Для определения функции простоя устройства решим эту систему при
начальных условиях Po (0) = 1; P (0) = P₂ (0) = 0. Переходя к изображениям,
получим систему алгебраических уравнений:

'(s + 2 Л) P0° (s) - X (s) = 1

• ■ - 2ЛP₀° (s) + (s + Л + ц)P° (s) - 2цP₂° (s) = 0
• - AP0 (s) + (s + 2 ц) I’ (s) = 0

Для получения величин Pi (s) используем правило Крамера:

А-

P( s) = ^ ’

где А - определитель, элементами которого являются коэффициенты при

О

О

О

P₀ (s), P (s), P₂ (s); Ai - определитель, который образуется из А путем
замены i -го столбца коэффициентами правой части системы.

В примере требуется определить функцию простоя P2(t), поэтому
найдем определители А и А 2:

Следовательно,

P," (s ) = ^А =---------------^{2 Л}------------у .

A s[ s² + 3(Л + ц) s + 2Л² + 4Лц + 2 ц²

Переходя от изображений к оригиналам, получим:

; 2

K (t) = P₂ (t) =--------- [1 - 2e"^(л+ц)t + e"^2(л+ц)t ].

(Л + ц)²

Используя это выражение, определим коэффициент простоя при t ^ ®

K

П =

Л²

(Л + a)².

Подставив числовые значения, получим:

K _П (3) = 2 -10-⁴, K _П = 1,5 -10^-3.

Пример.4.14. Поездная радиостанция включает в себя приемный и
передающий блоки, интенсивность отказов которых одинаковы и равны
Х = 10^-2 1/ч. Интенсивность восстановления р = 2 1/ч. Станцию обслуживает
одна ремонтная бригада. При неработоспособности любого из блоков
радиостанция неработоспособна. При этом работоспособный блок не
выключается, и в нем могут происходить отказы. Определить значения
коэффициентов готовности и простоя радиостанции.

Решение. Число возможных состояний поездной радиостанции равно
трем: G₀ - работоспособное состояние (оба блока работоспособны); G1 -
один из блоков неработоспособен; G₂ - оба блока неработоспособны. Граф
состояний представлен на рис.4.9.

2ЛЛ

G0 ^G1

А^

Рисунок 4.9. Граф состояний (к примеру 4.14)

Этому графу соответствует система дифференциальных уравнений:

dP^ = -2ЛР0( t) + цР1( t)
dt

• ^ = 2 ЛР0 (t) - (Л + a)Pi (t) + ^ (t)
dt

^ = Лр( t) - р t)

dt

При t ^ да переходим к системе алгебраических уравнений:
- 2ЛР0( t) + Ai( t) = 0

<2ЛР0(t) - (Л + a)Pi(t) + Рt) = 0

ЛР1( t) - аР2( t) = 0

При решении этой системы используем нормировочное уравнение:

Р0 + Р1 + Р, = 1,
которое может заменить любое из уравнений системы. В результате решения
системы уравнений либо подстановкой, либо по правилу Крамера получим:

Po = —; P = —; P = .

0 —² + 2—— + 2—2 —² + 2—— + 2—² —² + 2—— + 2—²

Коэффициент готовности поездной радиостанции равен:

2

^—

Kr = PO =9 9

0 —² + 2—— + 2—²

------------------= 0,99.

4 + 0,04 + 0,0001

Коэффициент простоя

Kn = P + P = ,^{2—— + 2—2} ,

—² + 2—— + 2—²

0,04 + 0,0002

4 + 0,04 + 0,0001

= 0,01.

Пример.4.15. Определить коэффициент готовности K_Ã и вероятность
безотказной работы за время t = 100 ч сети (рис.4.5,а), если интенсивность
отказа линий связи — = 0,2 •Ю"⁴ 1/ч, а среднее время восстановления

T- = 1000 ч. Узлы сети считать абсолютно надежными, а линии связи
равнонадежными. Для устройств справедлив экспоненциальный закон

надежности.

Решение. Для решения задачи воспользуемся эквивалентными
логическими схемами для расчета показателей надежности, приведенными на
рис.4.5,г, ж. Схема (рис.4.5,г) соответствует общему резервированию с
постоянно включенным резервом. Минимальную вероятность безотказной
работы сети за время t можно определить по формуле:

Г -2\³

P_^ (t) = 1 - (1 - e-^2—• t)³ = 1 -11 - e-^0,4'¹⁰ I = 0,999999936

Используя формулы (4.19) и (4.20), определим минимальный
коэффициент готовности сети
ⁿ

K_AJ = 1 - [1 - (1 - n + £ K,r,
i=1

где K_Ãi - коэффициент готовности отдельной линии связи.

По данным об интенсивности отказов и времени восстановления линии
связи определим коэффициент готовности отдельной линии связи K_Ãi

T_O
к j= ~—~

To + T

1

1 + — • T

Подставим полученное выражение в формулу для K_Ã.Í получим

KaJ = 1 - [1 — (1 — n + £к_Л)]³ = 1 —
i=1

( n

1

³

к

n - У

£11 + Л • Т_Л )

= 0,99994

Схема (рис.4.5,ж) соответствует раздельному нагруженному
резервированию. Максимальную вероятность безотказной работы сети
определим по формуле

Рл (t) = |1 - (1 - e^{- Л} )³ ]2

2

1 -[1 - e -°'²'¹⁰-2) = 0,999999984

Максимальный коэффициент готовности сети определим по формуле:

Кл.л = 1 - n + £[1 -(1 - Ka)³]= 1 - 2 + £
i=1 i=1

1 - 1

_-