Метрология, стандартизация и сертификация

Эколого-биохимический мониторинг гидробионтов озер Карелии дал следующие
результаты тестирования липидного статуса популяций самок ряпушки (исследовалось по

5 образцов этого вида рыбы из каждого озера):

Рассчитайте:

• а)    среднее значение содержания триацетилглицеринов в органе или ткани своего
  варианта задачи, абсолютную и относительную погрешности измерения.

• б)    математическое ожидание средней величины содержания триацетилглицеринов в
  этом органе или этой ткани, дисперсию и среднеквадратичное отклонение результата
  измерений.

Используя распределение Стьюдента, определите верхнюю и нижнюю границы
доверительного интервала величины содержания триацетилглицеринов в данном органе
или данной ткани при доверительной вероятности 0,9.

Запишите результат измерения:

• -    Используя среднее значение, абсолютную и относительную погрешности
  измерения.

• -    Используя математическое ожидание и правило «трех сигм».

• -    Используя распределение Стьюдента.

Сформулируйте выводы и сделайте заключение о достоверности результатов
мониторинга и индикативности этого вида липидного обмена для эколого-биохимического
мониторинга природных водных ресурсов, если известно, что одно из озер было загрязнено
гербицидами.

Задание 2

При проведении радиационного мониторинга местности был получен следующий
ряд значений радиационного фона (dН/dt - мощность полевой эквивалентной дозы γ-
излучения, мкЗв/час) на обследованном участке:

Считая радиационный фон данного участка величиной постоянной, определить
среднее значение радиационного фона на обследованном участке, абсолютную и
относительную погрешности измерения.

Сформулируйте выводы и сделайте заключение по радиационному мониторингу
данного участка местности.

Определите математическое ожидание величины радиационного фона на
обследованном участке и среднеквадратичное отклонение результата измерений.
Используя распределение Стьюдента, определите верхнюю и нижнюю границы
доверительного интервала величины радиационного фона на исследованном участке
местности для доверительной вероятности 0,95.

Сформулируйте выводы и сделайте заключение по радиационному мониторингу
данного участка местности.

Определите градуировочную характеристику средств измерений. При градуировке
средства измерения с линейной функциональной характеристикой получены числовые
значения экспериментальных данных, приведенные в таблице вариантов к заданию 3. По
полученным данным найти методом наименьших квадратов аналитические выражения для
градуировочной характеристики и построить ее графически.

Составьте таблицу экспериментальных данных. Отобразите результаты расчетов
градуировочной характеристики СИ. Постройте функциональную зависимость у = f(x) в
графическом виде. Запишите выводы, укажите коэффициенты для градуировочной
характеристики.

Теоретические сведения к заданию 3

Средствами измерений (СИ) являются измерительные технические уст-
ройства, имеющие нормированные метрологические характеристики. Под
метрологическими характеристиками понимают такие свойства СИ, которые
позволяют оценить результат измерения физических величин и его погрешно-
сти. СИ способно хранить и воспроизводить единицы или шкалы измеряемых
величин и сохранять их размер неизменным в течение определенного времени.
Техническое средство непосредственно после изготовления становится изме-
рительным после передачи ему единицы (или шкалы) от другого более точно-
го СИ. Эта операция называется градуировкой. В более общем смысле градуи-
ровка СИ означает определение функциональной зависимости между входной
(в частности, измеряемой физической величиной) и выходной величинами с
использованием образцовых СИ на входе и выходе этого СИ. При этом в лю-
бых СИ осуществляются измерительные преобразования, сопровождающиеся
изменениями рода физических величин с требуемым качеством метрологиче-
ских характеристик.

Градуировка выполняется в условиях, когда измеряемая величина либо не
меняется, либо ее изменением можно пренебречь, а время позволяет снимать
показания после того, как указатель отсчетного устройства окончательно оста-
новится на какой-нибудь отметке шкалы.

Различают градуировку в отдельных точках диапазона измерений и по-
строение непрерывной градуировочной характеристики.

Градуировка в отдельных точках диапазона измерений является наиболее
простой. Так, например, при градуировке ртутного термометра в двух репер-
ных точках (при температуре таяния льда и температуре кипения воды) полу-
чают по и значений длины ртутного столба в каждой точке. Татем в центрах
рассеяния наносят отметки шкалы и присваивают этим отметкам значения О “Ц
и 100 "Ц, соответственно. Если длина ртутного столба прямо пропорциональна
измеряемой температуре, то расстояние между полученными отметками шка-
лы можно разбить на 100 равных частей и получить термометрическую шкалу
с ценой деления 1 ^аЦ^ь___________________________________________________

" Такая градуировка ртутных термометров осуществлялась в прошлом, когда в качестве единицы изме-
рения температуры использовался “Ц. При современных температурных шкалах, основанных на ■объемном
расширении веществ dT = kdV, где V - объем вещества, к - температурный коэффициент расширения вещест-
ва. ртутные термометры градуируются по образцовым манометрическим термометрам. "Это связано с тем. что
значение к зависит ог интервала измеряемый температур, т.е. шкалы ртутных термометров нелинейны. Ис-
пользование манометрических термометров обеспечивает адекватность “С и К как единиц измерения тем пера-
туры и их перевода с учетам разницы в реперных точках, т.е. Т [К] = Т ("С] + 273, 15 [К].

Построение градуировочной характеристики предполагает две возмож-
ности. Первая из них заключается в том. что зависимость между входным воз-
действием и откликом на него известна (например, линейная, квадратичная,
логарифмическая и т.п.), но неизвестны коэффициенты, входящие в соответст-
вующее алгебраическое уравнение. Вторая возможность состоит в необходи-
мости аппроксимации экспериментальных данных аналитической зависимо-
стью [3].

Если вид градуировочной характеристики Y — f(X), где X— входная вели-
чина, Y — выходная величина, известен, то задача состоит в том, чтобы в её
представлении полиномом соответствующей степени

Y = a₀+_ai-X + a₂-X² +... + а_т-Х^т

найти такие значения коэффициентов ^яо,^й1 ?^я2 »•••? ^т . при которых эта зави-
симость наилучшим образом соответствовала бы экспериментальным данным.

На рис. 1.1 показаны некоторые варианты построения линейной градуи-
ровочной характеристики по экспериментальным данным, обозначенным кру-
жочками. Вопрос о том, какой из вариантов лучше, должен решаться на основе
какого-то критерия. Если значения входных воздействий Х₁,Х₂,..._уХ_п из-
вестны точно, а отклики на них ^^>-^_л подчиняются нормальному закону
распределения вероятности, то обычно используется метод наименьших квад-
ратов (МНК).

Рис.1.1. Построение линейной градуировочной характеристики
по экспериментальным данным

Минимизируется сумма квадратов отклонений откликов по оси ординат
от градуировочной характеристики:

Коэффициенты ^о >^й । _s ^аз >--s ^л,, определяющие оптимальную по крите-

рию наименьших квадратов градуировочную характеристику, находятся из ус-
ловия равенства нулю производных от этой суммы по каждому коэффициенту.

II ри мер

При градуировке измерительного прибора с линейной градуировочной
характеристикой получены числовые значения экспериментальных данных,
представленные в табл. 1.1.

Экспериментальные данные

Таблица 1.1

Найти методом наименьших квадратов аналитическое выражение для гра-
дуировочной характеристики и построить ее графически.

Решение

• 1.    Линейная градуировочная характеристика описывается выражением:

У ⁼ д о Т л ] • jV _f
где коэффициенты ^ц и ^методом наименьших квадратов находятся из ус-
ловия:

13

^(^~о₀-а_гХ₍ / = min,

i=!

где i — номер опыта.

• 2.    Вышеприведенная функция минимальна в точке, где ее производные по
  ^о и я, равны нулю. Поэтому коэффициенты й₀ и Л| определяются в ре-
  зультате решения системы уравнений:

^(^-^-«.^«О;

/=|

^Г,-а_о-а,.Х,)Х, = 0

. 1=1

• 3.    Два уравнения с двумя неизвестными имеют единственное решение.
  Разделим левую и правую части каждого уравнения на 13, введем обозначе-
  ния:

где К , Л', Л V — оценки среднего значения.

Тогда получим выражение для коэффициентов ^о и #i в форме, выходя-
щей по своему значению за рамки частного примера:

• 4.    В рассматриваемом случае я₀= 0,7; #| = 0,124, так что аналитическое
  выражение для градуировочной характеристики имеет вид:

Y= 0,7 + 0,124 X.

Графически она построена на рис. 1.2, где точками нанесены эксперимен-
тальные данные.

Выражениями для ^ и Я], полученными в рассмотренном примере,
можно пользоваться при градуировке измерительных приборов с нелинейны-
ми градуировочными характеристиками.

Рис. 1.2. Градуировочная характеристика, найденная по МНК

Так, например, если она описывается зависимостью

= "о

то в формулы для коэффициентов До и й\

вместо X следует подставлять

L

1

—, точно так же. если

Y = а₀ + а_гХ\

то задача линеаризуется подстановкой Z =    .

Иногда для линеаризации может использоваться логарифмирование. Если,
например,

Y = а_о е- ^х ,

то после логарифмирования по основанию натуральных логарифмов получается:

In У = In Д_о + Л, ■ %.

(12)

Если градуировочная характеристика СИ имеет вид:

У = Л₀-е^х,                (ЬЗ)

то после логарифмирования выражения (1.3) с использованием натуральных
логарифмов получим

1пУ = 1пА-

Произведя замену переменных, составим линейное уравнение относи-
тельно новых переменных:

^ = «₀⁺«Г^,              (1.4)

где Z = In У,а₀ = In А^а, = А^И' = А¹.

Для линеаризации градуировочной характеристики СИ вида:

У = Л_о • In —                 (1.5)

представим выражение (1.5) в виде:

У = A'Jln A -InA-,).

Отсюда:

У = А₀ 1пА-Л₀in*,,
и получим линейную зависимость

У =^ + ^-7,                 (1.6)

где "о = -А_о • In А,^! = k^\Z = In А.

При наличии данных, аналогичных приведенным в табл. 1.1, решение про-
изводится по новым переменным с учетом их значений в формулах (1.2), (1.4)
и (1.6).

Если вид градуировочной характеристики неизвестен, то возникает задача
отыскания нанлучшей аппроксимации экспериментальных данных, получен-
ных при градуировке, аналитической зависимостью (рис. 1.3). Решение ее ме-
тодом наименьших квадратов (МНК) отличается от решения предыдущей за-
дачи только тем, что степень полинома

У — а^ ^ а ^’ А ■!• о, • А * 4"...

неизвестна. Она устанавливается на основании требований к точности градуи-
ровки. После этого минимизируется выражение (1.1). Количество уравнений
для определения коэффициентов ^о’^г^г’-- всегда равно числу неизвестных,
так что задача имеет единственное решение. В специальной литературе она
иногда называется задачей сглаживания.

Рис. 1.3. Построение градуировочной характеристики, вид которой неизвестен