МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА (МИИТ)»
(РУТ (МИИТ)

Одобрено кафедрой
«ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА И ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ»

Протокол № 2 от 8 сентября 201 8 г.

Автор: Воднев Николай Николаевич, к.т н., доцент

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ С МЕТОДИЧЕСКИМИ
УКАЗАНИЯМИ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

Теория случайных процессов

Уровень ВО: Бакалавриат

Форма обучения: Заочная

Курс: 2

Направление: 11.03.02 Инфокоммуникационные технологии и системы связи
(ИТб)

Профиль: (ИТ) Оптические системы и сети связи

Москва

Приложение 1

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ Д ЛЯ С ТУДЕНТОВ
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

Задачи, включенные в контрольную работу, взяты из сборника задач,
подготовленного коллективом преподавателей кафедры «Высшая и
прикладная математика» РОАТ МГУПС. Все задачи имеют тройную
нумерацию, которая включает номер раздела из программы по математике
для соответствующей специальности, уровень сложности задачи и
порядковый номер задачи. Студент выполняет те задачи, последняя цифра
которых совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Например,
студент, учебный шифр которого имеет последнюю цифру 7, в контрольной
работе решает задачи 20.1.7, 20.2.17, 20.1.27, 20.1.37.

Перед вьшолнением контрольной работы студент должен ознакомиться
с содержанием разделов математических дисциплин, на освоение которых
ориентирована вьшолняемая контрольная работа. Необходимую учебную
литературу студент может найти в рабочей программе по математике для
своей специальности (в программе указана как основная, так и
дополнительная литература).

Контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке
которой должны быть указаны: дисциплина, номер контрольной работы,
шифр студента, курс, фамилия, имя и отчество студента. На обложке вверху
справа указывается фамилия и инициалы преподавателя-рецензента. В конце
работы студент ставит свою подпись и дату выполнения работы.

В каждой задаче надо полностью выписать ее условие. В том случае,
когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая
условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из
соответствующего номера.

Решение каждой задачи должно содержать подробные вычисления,
пояснения, ответ, а также, в случае необходимости, и рисунки. После
каждой задачи следует оставлять место для замечаний преподавателя-
рецензента. В случае невьшолнения этих требований преподаватель
возвращает работу для доработки без ее проверки.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА.

Теория случайных процессов. Случайные последовательности и
функции.

1-10.

20.1.1. Пусть случайный процесс ^(0 определён следующим образом:
±(t) = tX\ Ге [0.1], где Х~Я[0.1] - случайная величина, равномерно
распределённая на отрезке [0.1]. Описать множество сечений и траекторий
случайного процесса £(г).
20.1.2. Пусть А', У— независимые случайные величины, имеющие
гауссовское распределение ^0,^j. Случайный процесс определён
соотношением ДО = - , f>0 Вычислить ^Н^-у ! для произвольного
/>0
20.1.3. Пусть £(/) = A<p(r), t^T^ _Где X — действительная гауссовская
случайная величина со средним — и дисперсией 2, _а Х0 - неслучайная
функция на Т . Найти характеристическую функцию процесса Х0
20.1.4. Пусть £(f)=A?²+» />0 — случайный процесс, где X и У -
независимые случайные величины с гауссовским распределением М.0.11

Найти вероятность того, что траектория монотонно не убывает.

20.1.5. Пусть А и У — независимые случайные величины с функциями
распределения ^(х) и ^(у). Пусть {£(г),г>0} - случайный процесс,
определённьш соотношением £(г) = А? + У. Описать траектории данного
процесса, найти семейство конечномерных функций распределения,
ю
20.1.6. Пусть ^(0 = У А^Дг) геТ _где X, - действительные
2-1 ¹

независимые и гауссовские случайные величины с распределением МОД) а
&(')} - заданные на Т детерминированные функции. Найти Т^СМ).

20.1.7. Найти плотность одномерного распределения гауссовского
случайного процесса <^(f) = X+t t>Q _Гд_е X — случайная величина с
гауссовским распределением М®Л) Показать, что " не имеет плотности
распределения порядка больше 2.
20.1.8. Пусть случайная последовательность ^(и), и = 0Д 2,...}
определена рекуррентным соотношением ^W = 2-(ч ~1) + ч_{л ?} л «1,2»..., £(0) = 0
где ^"^ ” последовательность независимых в совокупности гауссовских
случайных величин с параметрами ^(^я) ⁼ 0 ^Х£») = 1 Найти одномерную
функцию распределения случайной последовательности *.
20.1.9. Пусть ^(/),/>о} — процесс броуновского движения. Найти
среднее значение и ковариационную функцию процесса броуновского моста,
описываемого: йХг)”^)^-^^). сХ°) ^{= й}Х1) = ⁰
20.1.10. Найти ковариационную функцию процесса ^(0 = Хсов(/+У) _гдеX и У — независимы, X имеет распределение МОД) _а У имеет равномерное
распределение на [-^л^-]

11-20.

20.2.11. Вещественная случайная последовательность определена
соотношением “_t = .¥ + ^, где .У — случайный параметр М(Х)= — и £>(Х) = 1,

{ft} — центрированный дискретный белый шум, такой, что /Х^) =^» причём
1 "

X не коррелируете V*}- Вычислить М(л_п) и Л(^_л), если % =---^^ •

20.2.12. Пусть а_к,р_к — действительные некоррелированные случайные

величины, причём:

ковариационную

^) = М(Д) = 0, 2Xa*) = BG?_t) = ^ Найти

функцию ^(л) последовательности

“„ = Х(а* созДл + Д sm^n), предварительно проверив её стационарность.

20.2.13. Пусть последовательность {ту,} удовлетворяет рекуррентному

соотношению: у_л ~^~+^_п, где fc»} ^— вещественная стационарная случайная
последовательность. Найти моментные характеристики случайной
последовательности {/у,}.

20.2.14. Пусть случайная величина X имеет равномерное
распределение на [—л,л] _а случайная величина У распределена по закону
МОД) _{и не зависит от} ^. Найти ковариационную функцию и спектральную

Г У, ест л = О
плотность стационарной последовательности £_я = 5 ^ ^

20.2.15. Пусть
формулой ^=^ ₊ £₅

последовательность

линейное преобразование задано рекуррентной
где {^} — центрированная стационарная случайная

ковариационной функцией й_?(л) = -^Д. Найти

спектральную плотность случайной последовательности {ту,}.

20.2.16. Найти частотную характеристику

стационарной случайной последовательности
Л") = | (И") + Ии -1) + Ии - 2)).

преобразования
последовательность

20.2.17. Найти спектральную плотность стационарной случайной
последовательности {^_л}: rj_n где {^_л} — центрированный белый шум

„ 1
с днсперсиеи -.

20.2.18. Найти ковариационную функцию я, (и) стационарной
случайной последовательности, имеющей спектральную плотность
да)=—
20.2.19. Пусть стационарная случайная последовательность {^_л}
удовлетворяет уравнению авторегрессии ?7,=^- + -^- + ^. Найти 3/(7,),

если М(£)»|.

20.2.20. Пусть “„ =cos(m¥ + У), где У— случайная величина, равномерно
распределённая на [0,2л] _а X не зависит от У и имеет некоторую функцию
распределения -^(х) Проверить центрированность стационарной случайной
последовательности £ = £_я, л € Z}.

21-30.

20.1.21. Цепь Маркова задана стохастическим
графом. Найти вероятности состояний на третьем
шаге при условии, что в начальный момент цепь
Маркова находилась в состоянии q.
20.1.22. Найти финальные вероятности состояний цепи Маркова,
описывающей координаты частицы, блуждающей по целым точкам на
вещественной оси по следующей схеме из произвольной допустимой точки
на оси: а) с вероятностью 0,55 сдвигается на 1 вправо, а с вероятностью 0,45
остаётся на месте; б) с вероятностью 0,5 сдвигается на 1 вправо и с
вероятностью 0,5 — на 1 влево.
20.1.23. Пусть целые числа т > 0,М > 0 - начальные капиталы первого и
второго игрока соответственно. Проводятся последовательно игры, в
результате каждой из которых с вероятностью 0,65 капитал первого игрока
увеличивается на 1. Результаты любой игры не зависят от результатов любых
других игр. Пусть *_л — капитал первого игрока после л игр. Предполагается,
что в случае и_л=0 или ^^т+М игра прекращается (ситуация разорения

одного из игроков). Показать, что {;,} — образует цепь Маркова, найти
переходную матрицу и построить стохастический граф цепи.

20.1.24. Конечная цепь Маркова задана

стохастическим графом. Показать, что при любом

~(0) * -j--J финальные вероятности

не существуют.

20.1.25. Пусть '„ - координата частицы, блуждающей по целым точкам
на вещественной оси по следующей схеме из произвольной допустимой
точки на оси: а) с вероятностью 0,45 сдвигается на 1 вправо, а с
вероятностью 0,55 остаётся на месте; 6) с вероятностью 0,6 сдвигается на 1

вправо и с вероятностью 0,4 - на 1 влево. Провести
состояний цепи Маркова {.“,}, если “о=0.

20.1.26. Цепь Маркова задана
стохастическим графом, где

классификащпо

состояния е_а и е₃ - отражающие
барьеры. Найти стационарное
распределение т вероятностей состояний, если оно существует.

20.1.27. Пусть для эргодической цепи Маркова,
заданной стохастическим графом, определено
предельное стационарное распределение >т° = {я^,^},
удовлетворяющее соотношениям т° = Р*т° и

т₀ + Tj = 1. Найти

я⁰, при условии, что в начальный момент цепь Маркова

находилась в состоянии ^.

20.1.28. Пусть случайные величины {v₀,v₃,...} независимы в
совокупности и каждая принимает значения +1 и -1 с вероятностями у.
Проверить, какая из последовательностей _5л -----— и r]_n =г_л v„₊₁ является

цепью Маркова.

20.1.29. Цепь Маркова, описывающая

случайное блуждание частицы по целым t ( Го} Q Q Q •••
неотрицательным точкам прямой Е = с
поглощающим состоянием е₀ =0, задана

стохастическим графом, где р = -,5 = 1-р. Известно, что в начальный
момент времени частица находилась в некотором состоянии е_л = т >0. Найти
финальные вероятности состояний данной цепи Маркова.

20.1.30. Цепь Маркова задана стохастическим
графом. Найти стационарное распределение
вероятностей состояний.

31-40.

20.1.31. Случайная функция 4(f) задана на отрезке [0,1] следующим

распределённые случайные величины

Исследовать непрерывность “(f) в точке

со средним 0,8 и дисперсией 1.

^~2

20.1.32. Случайная функция
4(f) = Zj sin V2f + X₂ cos V2f, f > О, где Xj И
случайные величины с нулевым средним

4(f) определена формулой

Х₂ — независимые гауссовские
и единичной дисперсией. Найти

явный вид интеграла ^(f)= k(r)rfr (/>о) в среднеквадратическом смысле и

вычислить его математическое ожидание и дисперсию.

20.1.33. Пусть случайная функция 4(f) определена на отрезке [0,1]

следующим образом: 4(f) =

з=

если t<r

, где
ест t> г

случайная величина,

равномерно распределённая на [0,1], а X] и AS — гауссовские случайные
величины с одинаковым средним 0,6 и дисперсией 1. Случайные величины г
Xj и Х₂ независимы в совокупности. Показать непрерывность в
среднеквадратичном смысле случайной функции 4(f) на отрезке [0,1].

20.1.34. Случайная функция 77(f) (f>0) удовлетворяет соотношению:
т?'(0 = ^-77(f) + 4, t?(0) = v, где £,v образуют гауссовский случайный вектор.
Найти закон распределения случайной величины 77(f) при любом f>0, если
известно, что m_f =М^}, m_v = M{v}, D_t =D^}, D, = Z>{i}, p = cov^,i'}.
20.1.35. Пусть 4(f) - гауссовская случайная величина, такая что
тД/) = 0 и Af|4(f)-4(r)|²]=3|f-7| для всех f, те[0,1]. Показать, что 4(f) имеет
непрерывную модификацию.
20.1.36. Найти среднеквадратичную производную 4X0 для случайной
функции 4(f) = X]Sin(2f + X₂), где Xj и Х₂ случайные величины с конечными
вторыми моментами.
20.1.37. Пусть центрированная случайная функция ^(/) имеет
ковариационную функцию R,(t,r') = 2e^<t~^T?. Вычислить дисперсию D..(f), где
7(f) ^— производная в среднем квадратическом.
20.1.38. Пусть центрированная случайная функция Дг) имеет
ковариационную функцию 7?. (г, г) = 16* г. Вычислить Af^²}, если

7 = f7(0sm 4 !^Л

20.1.39. Для гауссовской случайной функции ^(Ол^К¹! с
математическим ожиданием м.(г) = 0 и ковариационной функцией
Л. (/, г) = 4Гг вычислить Р{-'(2) > 2}.
20.1.40. Пусть ^(f) = X_lr+X_2> где X_t и Х₂ — случайные величины с
конечными вторыми моментами. Решить дифференциальное уравнение:
у'(г) + 9^(0 = 817(0, при условии 7(0) = 0.

Скачать методический материал

Комментарии (0)

Чтобы оставить комментарий, нужно войти в личный кабинет или зарегистрироваться.

Физика