Учебная практика

ЗАДАНИЕ НА УЧЕБНУЮ ПРАКТИКУ

ЗАДАНИЕ НА УЧЕБНУЮ ПРАКТИКУ

Результаты наблюдений за торможением отцепа представлены выборкой
отсчётов скорости его движения по парковой тормозной позиции сортировоч-
ной горки. Для микропроцессорной системы управления движением отцепов
методом рекуррентной идентификации оценить параметры линейной модели
динамики процесса v(t) = v₀ + a(t -1₀), по полученным результатам построить

прогноз момента окончания торможения. Для этого:

- вычислить последовательность коэффициентов v₀, а линейной мо-

дели динамики процесса;

• - построить последовательность прогнозируемых значений момента
  окончания торможения отцепа;
• - разработать структурную схему алгоритма вычислений и составить
  программу.

Расчётная скорость на выходе из замедлителей определяется длиной сво-
бодного участка паркового пути, удельным сопротивлением движению отцепа.
Значения скорости движения отцепа были даны в таблице 1, а вариант мною
выбран по последней цифре учебного шифра.

Таблица 1. Скорость движения отцепа

Таблица 2. Методы численного интегрирования

Работу выполняем в среде MathCad.

• 1) Чтобы вставить исходные данные в Mathcad, создадим текстовый файл, при-
  своим ему имя "INPUT.TXT", скопируем в него из таблицы 1 исходные значе-
  ния и используем функцию чтения из внешнего файла – READPRN. Аргумен-
  том этой функции является путь к файлу. Если файл расположен в той же пап-
  ке, что и файл Mathcad, то можно указать только имя файла
  WRITEPRN("INPUT.TXT "). В результате получаем считанные из текстового
  файла значения времени и скорости движения отцепа в формате векторов:

Считываем данные из файла INPUT.TXT в матрицу К К := READPRN("INPUT TXT")

Затем для удобства расчетов переводим строки в столбцы:

Т Т

Транспонируем строки в столбцы t := t V := V

/Л¹ А*Л<

Определяем количество измерений t nV: n := rows(t) n = 46

Индексируем значения t и V (отО до n-1): i := 0.. n - 1

• 2) Вычислим расчётную скорость на выходе из замедлителей У_вых ._да.

Расчётная скорость на выходе из замедлителей определяется длиной сво-
бодного участка паркового пути, удельным сопротивлением движению отцепа.
Согласно методических указаний эта величина принята равной
Vduoiaa = 0,8 + 0,1 x = 0,8 + 0,1 ■ 7 = 1,5 м/с, где x = 7 — последняя цифра моего шифра.

• 3) Выполним расчеты по полученной линейной модели изменения скоро-
  сти движения отцепа и получим значения скорости У_расч. .

Приближение равнопеременного движения широко используется при
описании динамики транспортных объектов. Его отличительной особенностью
является линейный закон изменений скорости движения. На небольшом интер-

вале наблюдений линейная модель служит хорошим приближением реальной
более сложной функциональной зависимости скорости движения от времени.
Линейное приближение позволяет оценивать параметры движения и прогнози-
ровать динамику развития транспортных процессов.

Линейная модель изменений скорости движения объекта имеет вид
v(t) = vо + at. (1)

Коэффициенты модели v0 и а характеризуют скорость в момент времени t = 1₀
и ускорение движения объекта, соответственно.

Оценки коэффициентов теоретической модели v₀, а вычисляются по ре-
зультатам наблюдений, представленных последовательностью значений скоро-
сти движения объекта v в дискретные моменты времени t . Их оптимальные
значения определяются условиями минимума квадратичного функционала,
представляющего собой сумму квадратов отклонений результатов наблюдений
от принятой теоретической модели:
n

U = S^[vi- vo ^- a¹ ti^)]2 .

i=1

Условия равенства нулю производных дU/dv₀ = 0, дU/дИ = 0 приводят к

системе линейных алгебраических уравнений для вычислений коэффициентов

модели

'M ₂ • а + M_f • b = M_tV

t t tV

M_t • a + n • b = M_v

n nnn

где M, 2 =£ ^²; Mt =X t; Mv = X tV; Mv =Z V

i=1 i=1 i=1i=1

В программе MathCad получаем решение:

Выразим из выражения (2) a и b, получим:

h-Mv-MM

n • M₂ - M_t ²

1 t² t (3)

b = M - Mt • a

n

В программе MathCad получаем решение:

n MtV - Mt-MV
a := ----------------- a = -0.545

n Mt2 - Mt

MV - Mt a
b := ------------ b = 6.7

n

Vras(t) := a t+ b Vbbix := 1.5 _Увых _ _b

tEbix := ---------- tBbix = 9.541

a

Подставим в (1) полученные выражения для a и b из (3), при условии, что
даны дискретные значения замеров скорости и времени V и t соответственно.
В итоге получаем линейную модель изменения скорости движения отцепа.

V^=-0,545ti+ 6,7 (4)

Для проверки найдем коэффициенты линейной модели с помощью встро-
енной функции linfit. Полученные значения полностью совпадают с коэффици-

ентами, найденными по методу наименьших квадратов. Линейная модель явля-
ется частным случаем степенной модели, для сравнения найдем коэффициенты

уравнения 6-й степени и сравним качество аппроксимации (функцию g6(t) ис-

пользуем для построения графика).

Находим коэффициенты аппроксимации с помощью функции linfit

Линейная аппроксимация (частный случай - 1-я степень)

fl(t):=l I si := linfit(t,V,fl) gift) := fl(t) sl

После того, как получена модель изменения скорости движения отцепа

(4), необходимо определить момент времени выключения замедлителей при

условии заданной величины скорости на выходе из замедлителей V_eblxода. Для
этого необходимо из выражения (4) выразить время t_;, а вместо расчетного зна-
чения скорости V_pacч., подставить заданную величину скорости на выходе из
замедлителей, после чего получим:

V....... -Ь 1,5-6,7

'-• = V^ = "-0J545 = 9’⁵⁴⁽ "^ (5)

Из полученных значений t_ebixoda необходимо выбрать одно, которое удо-

влетворяет условию (6):

V
расч^

^—выхода

(6)

Равенство выполняется при t₄₁ = 9,5 сек (—ы^₄₁ = 1,5223 ~ 1,5 i / пае).

В заключении определим путь пройденный отцепом, зная его зависи-

мость изменения скорости от времени V_paсч.(t_t). Пройденный путь S связан с

функцией изменения скорости V_{pa сч},( t_t):

tk

S = V_DaC₄ (6 )

расч^ its

tn

(7)

где t_n и t_k - начало и конец интервала замера скорости соответственно.

Находим путь, пройденный отцепом:
А-i

S := Vras(t) dt S = 11.142

• 4) Строим график зависимости V_расч,(ti) и полученных значений в ходе

замеров (таблица 1 в программе Excel. График V=f₁(t) выполним в виде точек,

график V_расч=f₂(t) выполним в виде линии:

График зависимости скорости V и V_pac4 от
времени t

CL

• 5) Определим момент выхода отцепа из тормозной позиции t_выхода с по-
  мощью блока программирования:

tEbix := imin ь О

for ie l..n- 1

imin <— i if |Уц^ - Vras itji | > IVbhx - Vras itji I

tEbIX <— tjn^

tEHX = 9.6

• 6) Определим пройденный отцепом путь методом из таблицы 2.

При исследовании математических моделей часто возникает необходимость
вычисления различного рода интегралов от соответствующих функций, а при-
b

менение формулы Ньютона-Лейбница j f (x)dx = F(b)- F(a) реализовать на
a

практике не всегда возможно, поскольку первообразная не всех функций может
быть выражена через элементарные или другие известные функции. В этих
случаях применяют методы приближенного интегрирования, позволяющими
найти численное значение определенного интеграла приближенно с любой точ-
ностью. Идея численного (приближенного) интегрирования вытекает из гео-
метрического смысла определенного интеграла – значение определенного инте-
грала численно равно площади криволинейной трапеции, ограниченной графи-
ком функции y = f (x), осью абсцисс и прямыми x = а и x = b. Площадь криво-
линейной трапеции и является значением интеграла.

Формально процедура численного интегрирования заключается в том, что отре-
зок [a, b] разбивается на n частичных отрезков, а затем подынтегральная функ-
ция заменяется на каждом отрезке легко интегрируемой функцией, интерполи-
рующей значения подынтегральной функции в точках разбиения. Наиболее
простым методом численного интегрирования является метод прямоугольни-
ков. Метод прямоугольников – это наиболее простой и грубый метод прибли-
женного интегрирования. Разобьем сегмент [a, b] на n равных между собой ча-
стей с помощью точек: x , x ,...x . Тогда длина части (в последующем – шаг

b - a
интегрирования) определяется как Лх =----. В этом случае аргумент любой

n

промежуточной точки разбиения х_к (к = 0,1 ,...n) можно найти из соотношения

x_k = a + кЛх. Тогда можно представить ординату подынтегральной функции у_к
в виде у_к = f (a + кЛх).

b

n

В этом случае суммы

f f (х)dx = lim ^ у_к_₁Лх ^
а ^дх о-к=1

b

n

j ^{f (х})^dx -У Ук-1^Лх и

a

k=1

b

n

[ f (х )dx = lim ^ у_к Лх ^

а ^Л о к=1

b

n

j f (x)dx « ^ y_k Лх будут интегральными для функции

a

k=1

f (x) на отрезке [a,b] (при рассмотрении первой суммы в качестве значения

функции на интервале Лх рассматриваются левые концы частичных сегментов
(элементарный прямоугольник строится справа от конца сегмента), а при со-
ставлении второй – правые (прямоугольник строится слева).

Окончательно формула правых прямоугольников имеет вид:

j^{f (х})^dx - b—a • ⁽у0 + у 1 + ... + у_п-1 )
aⁿ

Посредством формулы левых прямоугольников найдем численное значение ин-
теграла в программе MathCad:

Полученное значение близко совпадает с ранее найденным в пункте 3.

• 7) Построим в одной оси координат графики следующих функций:

Vpac4i (ti) , полученных значений в ходе замеров (таблица 1), Увыхода и V_Oac4i ⁽ti) .

Последнюю функцию построим при условии a и b где i = номеру замера, при

котором выполняется условие (6). Графики, полученные в пункте 7 и график

полинома 6-й степени показаны ниже:

Из графика видно, что линейная модель отражает общее направление из-
менения скорости по времени, а модель 6-й степени очень точно повторяет из-
меренные значения.