Высшая математика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА
федеральное государств енное бюджетное образовательное учр еждение высшего
профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

(МИИТ)

ОДОБРЕНО:

Кафедра «Высшая и
прикладная математика»

УТВЕРЖДЕНО:

Декан ф-та УПП

«__» ______2012 г.

Составители: Блистанова Л.Д., д.ф.-м.н., проф., Голечков Ю.И., д.ф.-м.н., доц.,
Захарова М.В., к.ф.-м.н., доц., Сперанский Д.В., д.т.н., проф.

ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ № 1 – 2

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

для студентов 2 курса заочной формы обучения
направление – 280700.62 Техносферная безопасность
профили – Безопасность жизнедеятельности в техносфере (ЗББ)

Инженерная защита (ЗБО)

Москва 2012 г.

Методические указания по выполнению контрольных работ

Задачи, включенные в контрольную работу, взяты из сборника задач,
подготовленного коллективом преподавателей кафедры «Высшая и прикладная
математика» РОАТ МГУПС. Все задачи имеют тройную нумерацию, которая
включает номер раздела из программы по математике для соответствующей
специальности, уровень сложности задачи и порядковый номер задачи. Студент
выполняет те задачи, последняя цифра которых совпадает с последней цифрой
его учебного шифра. Например, студент, учебный шифр которого имеет
последнюю цифру 2, в контрольной работе №1 решает задачи 15.1.32, 15.2.12,
15.2.102, 15.3.22, 15.3.62; в контрольной работе №2 – 11.1.42, 16.1.2, 16.1.22,
16.1.32, 16.2.2.

Перед выполнением контрольной работы студент должен ознакомиться с
содержанием разделов математических дисциплин, на освоение которых
ориентирована выполняемая контрольная работа. Необходимую учебную
литературу студент может найти в рабочей программе по математике для своей
специальности (в программе указана как основная, так и дополнительная
литература).

Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке
которой должны быть указаны : дисциплина, номер контрольной работы, шифр
студента, курс, фамилия, имя и отчество студента. На обложке вверху справа
указывается фамилия и инициалы преподавателя‐рецензента. В конце работы
студент ставит свою подпись и дату выполнения работы.

В каждой задаче надо полностью выписать ее условие. В том случае,
когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая
условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из
соответствующего номера.

Решение каждой задачи должно содержать подробные вычисления,
пояснения, ответ, а также, в случае необходимости, и рисунки. После каждой
задачи следует оставлять место для замечаний преподавателя‐рецензента. В
случае невыполнения этих требований преподаватель возвращает работу для
доработки без ее проверки.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы.

Уравнения в частных производных.

15.1.31–15.1.40. Найти общее решение (общий интеграл)

дифференциального уравнения. Сделать проверку.

  • 15.1.31. xy ' = y + 2 x2 y3;

2y

  • 15.1.33. xy' = y + xe x ;
  • 15.1.35. x2 y ' = xy + x2 + y 2;

3y

  • 15.1.37. y' = y + ex ;

x

  • 15.1.39. x2 y ' = xy + 4 x2 + y 2;

y

  • 15.1.32. xy = y + x cos —;

x

  • 15.1.34. xy = y + xx — y ;
  • 15.1.36. xy ' = y + 3 x -3 y 4;
  • 15.1.38. xy‘ = y + 4 x2 — y2;
  • 15.1.40. xy3 y ' = x4 + y 4.

15.2.11–15.2.20. Найти общее решение дифференциального уравнения.

15.2.11.

xyn = 4y'; 15.2.12. xy" = 5y';

15.2.13.

xy" = 6y’; 15.2.14. xy" = —6y’;

15.2.15.

xy ” = -7 y ‘; 15.2.16. yy " = 5( y ')2;

15.2.17.

yy " = 6( y ')2; 15.2.18. yy " = 7( y ')2;

15.2.19.

yy * = —5(y ')2; 15.2.20. yy " = —6( y ')2.

  • 15.2.101– 15.2.110. Найти частное
    дифференциального уравнения.
  • 15.2.101. у" + 4у' – 12у = 8sin2x,
  • 15.2.102. у" – 6у'+ 9y = x2 – х + 3,
  • 15.2.103. у " + 4у = e—2x,
  • 15.2.104. у" – 2у' + 5у = xe2,
  • 15.2.105. у" +5у' + 6y = 12cos2x,
  • 15.2.106. у " - 5у' + 6у = (12x - 7)e— x,
  • 15.2.107. у" – 4y' + 13y = 26x + 5,
  • 15.2.108. у" – 4y' = 6x2+ 1,
  • 15.2.109. у" – 2у' + у=16ex,
  • 15.2.110. у " + 6у' + 9у = 10e^3x,

решение линейного неоднородного

у(0) = 0, у'(0) = 0;

y(0) = 4/3, у'(0) = 1/27;

y(0) = 0, y'(0) = 0;

y(0) = 1, y'(0) = 0;

y(0) = 1, у'(0) = 3;

y(0) = 0, y'(0) = 0;

y(0) = 1, у'(0) = 0;

y(0) = 2, у'(0) = 3;

y(0) = 1, y'(0) = 2;

y(0) = 3, у'(0) = 2.

15.3.21–15.3.30.

дифференциальных

найденного решения

Найти
уравнений
л/—d \
v dt J

общее решение системы линейных

в матричной форме. Сделать проверку

15.3.21.

15.3.23.

15.3.25.

15.3.29.

x' = 5 x + 2 y;
y' = 2 x + 2 y.

x =-x-2У;

l y= x - 4 y.

x' = 3 x + y;
y = 7 x — 3 y.

x' = 3 x + 2 y;

y = 3 x — 2 y.

x' = 3 x + y;

y = 6 x — 2 y.

15.3.22. «

'

X

'

L y

= — x + 8 y;

— x + y.

X

'

— 4 x + y;

15.3.24. j

l y

'

— 2x — y.

'

. x

=

— 2 x + 6 y;

15.3.26.

I y

—

x + 3 y.

'

x — 3 y;

15.3.28. j

. y

'

2 x — 4 y.

'

. „ x

=

— 2 x + 6 y;

15.3.30. x

1 y

=

x + 3 y.

15.3.61-15.3.70. Методом Даламбера найти уравнение u = u(x; t)

формы одной бесконечной струны, определяемой волновым уравнением

d 2 u
d t2

2 d2 u
= a —2

если в начальный момент t0=0 форма струны и скорость

точки струны с абсциссой x определяются соответственно заданными

функциями u

10 — 0 = f (x)

du

и

d t

,0 — 0 = F (x)

15.3.61. f(x) = x(2 – x),

F(x)

= e-x.

15.3.62. f(x) = x2,

F(x)

= sin x .

15.3.63. f(x) = ex,

F(x)

= ωx.

15.3.64. f(x) = cos x,

F(x)

= ωx.

15.3.65. f(x) = sin x,

F(x)

= v0.

15.3.66. f(x)= x,

F(x)

= cos x.

15.3.67. f(x) = sin x,

F(x)

= cos x.

15.3.68. f(x) = x(x – 2),

F(x)

= ex.

15.3.69. f(x) = cos x,

F(x)

= sin x.

15.3.70. f(x) = e-x,

F(x)

= v0.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Числовые ряды.

Теория функций комплексного переменного.

11.1.41–11.1.50. Выяснить,

для каких рядов

выполняется необходимое

условие сходимости?

4и3

11.1.41. а) Е 3n 4n + 2 ,
n=1 1 - 2 n + 7 n2

б) £ 3 - 2 n2 + 4 n
£5 n - 8 n2 + 7 n3

® 4 n + 5

, в)£o 7 ;
n=1 2 - 7n

3 - 4 n

11.1.42. а) У—;--------,

n=15 n + 2 n + 3

б) £ 5 n3 + 3 n + 2

£3-2n2 -4n4 ’

) у 5 n +1 _

B £3n2 + 4n + 2 ;

11 1 ч v 5 n2 + 2 n - 3

11.1.43. а) £

n=17 n - 3 n2 - 8 n3

б) £ —2 7 n—,
n=14 - 3 n2 + 5 n

/ V 2 - n2
в) £ д < ;
n=1 3 - 5n

11.1.44. а) 3n 1 ,

£ 4 - 8 n

б) у, 5 n + 2 n - 3

£4-7n-9n2 ’

) £ 2 n3 + 3 n + 4

в £4-5n2 -7n4 ’

\ 3 n - 2 n2

11.1.45. а) У— -------,

n=15 n2 - 7 n +1

б) £ 2 n3 - 3 n +1
£5-2n + 3n2 ’

, ” 1 - 4 n + 5 n2
в) £ a ;

n=12 - 4 n + 5 n3

-8и2

11.1.46. а) £ ——-------,

n=17 n2 - 3 n + 2

Л 5 - 3 n

б) £ 2 ,

n=1 4n - 2n - 3

, “ 5 n2 - 4 n +1

в) £ 7 C 3 1 ;

n=1 3n - 5n + 1

11 1 \ v14 - 3n - 8n2

11.1.47. а) £ 2

n=1 n + 3 n + 1

б) у 3 n2 + 4 n + 2

£5 - 7 n + 2 n3 ’

) у 3 - 4 n + n3 _
в £2n4 -2n +1;

x v 3 n + 4
11.1.48. а) У-----------г,

£2 - 5 n + 8 n2

у 4 - 3 n3 + 8 n
) n£5 n3 - 2 n2 +1,

, ” 4 n2 + 2 n + 3
в) £ . 1 ;

n=1 5n - 1

Л 3-5и
11.1.49. а) £ 2 ,

n=14 n + 3 n -1

. “ 5 n2 - 3 n + 2

б) £ 7 Я ,

n=12 - 4 n2 + 3 n3

в) £ rn^;

n=1 3n + 2

.^, и2
11.1.50. а)£ 3n + 4n + 5 ,
n=12 - 5 n - 8 n2

. “ 4 n2 + 5 n + 3

б) £ 7 Я ,

2 - 4 n2 + 8 n3

. 3 n + 2

в) £7 s 7 2.

n=1 3 - 5n - 7n

16.1.1–16.1.10. Найти значения функции ω = f(z) при а) z = z1, б) z = z2.

16.1.1. ω = z2 + z,

а) z = 1 + i,

б) z = 2 – i;

16.1.2. ω = z2+ z,

а) z = i,

б) z = –1;

16.1.3. ω = z2+ 5z,

a) z = 1 – i,

б) z = 2 + i;

16.1.4. ω = z2 – z,

a) z = 1+ i,

б) z = z – i;

16.1.5. ω = z2 – 2z,

a) z = 1 + 2i,

б) z = 3 – i;

16.1.6. ω = 2z2 + 3z,

a) z = 1 – 2i,

б) z = 1 + 2i;

16.1.7. ω = 2z2 + 3,

a) z = 1 + i,

б) z = – 2 + i;

16.1.8. ω = 3z2 – 1,

a) z = 2i,

б) z = 3 – i;

16.1.9. ω = 2z2 – 2,

a) z = –2i,

б) z = 3 + i;

  • 16.1.10. ω = 2z2 – 1, a) z = – 2 + 2i, б) z = 3 + 2i.
  • 16.1.21-16.1.30. Выясните, в каких точках z = x + iy комплексной
    плоскости дифференцируема указанная функция. Чему равна производная в

каждой из этих точек?

  • 16.1.21. f (z) = 2zz + 2z ;
  • 16.1.23. f (z) = zz - z + z ;
  • 16.1.25. f (z) = zz - 5z + 5z;
  • 16.1.27. f (z) = 7z - 4z + zz ;
  • 16.1.29. f (z) = 3zz - 3z + z;
  • 16.1.22. f (z) = 4 - 2z - 2z + zz ;
  • 16.1.24. f (z) = 9 - 3z + zz ;
  • 16.1.26. f (z) = zz - z + 4z;
  • 16.1.28. f (z) = 9z + zz - z ;
  • 16.1.30. f (z) = 6z - 2z - zz .
  • 16.1.31–16.1.40. Представить заданную функцию ω =f(z), где z=x+iy, в
    виде ω=u(x; y)+iv(x; у); проверить, является ли она аналитической. Если
    да, то найти значение ее производной в заданной точке z0.
  • 16.1.31. a = (iz)3, z0 =-1 + i.
  • 16.1.33. a = i(1 - z2) - 2z, z0 = 1.
  • 16.1.35. a = z3 + 3z - i, zо = -i.
  • 16.1.37. a = 2z2 - iz, zо = 1 - i.
  • 16.1.39. a = z3 + z2 + i, z0 = 2i/3.
  • 16.1.32. a = e-z2, z0 = 1.
  • 16.1.34. a = e1-2z, z0 = ni/3.
  • 16.1.36. a = e1-2iz, z0 = n /6

2

  • 16.1.38. a = elz , z0 = ni i/2.
  • 16.1.40. a = zez, z 0 =-1 + in.

16.2.1–16.2.10. Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности

точки z0 и определить область сходимости этого ряда.

  • 16.2.1. f(z) = -^-, z0 = 5/3.

3 z - 5

  • 16.2.3. f (z) = e11 z, z0 = 0

4 . Z -1

  • 16.2.5. f (z) = 1 n-----, z0 = 1.

z - 2

  • 16.2.7. f (z) = 1 z 0 = 0.

z (z - 1)

  • 16.2.2. f (z) = sin -z-, z0 = 1.
  • 1 - z
  • 16.2.4. f (z) = , 2 1n2, z0 = i.
    (z2 +1)2
  • 16.2.6. f (z) = cos ——, z0 = 1.

z -1

  • 16.2.8. f (z) = e1/(1-z), z0 = 1.

z

  • 16.2.9. f (z) = - ------, z0 = i.

1 + z 2

  • 16.2.10. f(z) = 12, z0 = 3.

(z - 3)

Скачать методический материал

Комментарии (0)

Чтобы оставить комментарий, нужно войти в личный кабинет или зарегистрироваться.
Вы недавно просматривали

Основы эргономики

Экспертиза проектов
2004 - 2026 «Помощь студенту» — оказываем помощь высшего качества. Политика конфиденциальности